4 Mtodos matemticos Funciones Discretas Para estudiar la

4. Métodos matemáticos

Funciones Discretas • Para estudiar la eficiencia de los algoritmos, generalmente usamos funciones discretas, que miden cantidades tales tiempo de ejecución, memoria utilizada, etc. • Estas funciones son discretas porque dependen del tamaño del problema (n). Por ejemplo, n podría representar el número de elementos a ordenar. • Notación: f (n) o bien fn , representa al tiempo, por eso también se usa T(n) o Tn

Notación O • Se dice que una función f (n) es O(g(n)) si existe una constante c > 0 y un n 0 >= 0 tal que para todo n >= n 0 se tiene que f (n) <= cg(n). (cota superior de un algoritmo) • Se dice que una función f (n) es Ω(g(n)) si existe una constante c > 0 y un n 0 >= 0 tal que para todo n >= n 0 se tiene que f (n) >= cg(n). (cota inferior) • Se dice que una función f (n) es Θ (g(n)) si f (n) = O(g(n)) y f (n) = Ω(g(n)).

Ejemplos • • • 3 n = O(n) 2 = O(1) 2 = O(n) 3 n + 2 = O(n) An 2+ Bn + C = O(n 2) Alog n + Bn + C nlog n + Dn 2 = ? 3 = Ω(1) 3 n = Ω(n) 3 n = Ω(1) 3 n + 2 = Ω(n) Θ (n)

Ecuaciones de Recurrencia • Son ecuaciones en que el valor de la función para un n dado se obtiene en función de valores anteriores. • Esto permite calcular el valor de la función para cualquier n, a partir de condiciones de borde (o condiciones iniciales) • Ejemplo: Torres de Hanoi an = 2 an-1 + 1 a 0 = 0 • Ejemplo: Fibonacci fn = fn-1 + fn-2 f 0 = 0 f 1 = 1

Ecuaciones de Primer Orden • Consideremos una ecuación de la forma an = ban-1 + cn • donde b es una constante y cn es una función conocida. • Como precalentamiento, consideremos el caso b = 1: an = an-1 + cn • Esto se puede poner en la forma an - an-1 = cn • Sumando a ambos lados, queda una suma telescópica: • an = a 0 + Σ c k 1<=k<=n

Ecuaciones de Primer Orden: (cont. ) • Para resolver el caso general: an = ban-1 + cn • dividamos ambos lados por el “factor sumante” bn: an/bn = an-1/bn-1 +cn/bn • Si definimos An = an /bn, Cn = cn=bn, queda una ecuación que ya sabemos resolver: An = An-1 + Cn con solución An = A 0 + Σck 1<=k<=n • y finalmente an = a 0 bn + Σckbn-k 1<=k<=n

Ejemplo: Torres de Hanoi • El número de movimientos de discos está dado por la ecuación an = 2 an-1 + 1 a 0 = 0 • De acuerdo a lo anterior, la solución es an = Σ 2 n-k = Σ 2 k 1<=k<=n • Lo que significa an = 2 n-1 0<=k<=n-1

Propuesto • Generalizar este método para resolver ecuaciones de la forma an = bnan-1 + cn • donde bn y cn son funciones conocidas.

Ecuaciones Lineales con coef. Const. • Ejemplo: Fibonacci fn = fn-1 + fn-2 f 0 = 0 f 1 = 1 • Este tipo de ecuaciones tienen soluciones exponenciales, de la forma fn = λn: fn = fn-1 + fn-2 λn = λn-1 + λn-2 • Dividiendo ambos lados por λn-2 obtenemos la ecuación característica λ 2 - λ + 1 = 0 • cuyas raíces son Ф 1= (1+ sqrt(5))/2 ≈ 1. 618 Ф 2= (1 - sqrt(5))/2 ≈ 0. 618

Ecuaciones Lineales con coef. Const. • La solución general se obtiene como una combinación lineal de estas soluciones: fn = A Ф 1 n + B Ф 2 n • La condición inicial f 0 = 0 implica que B = -A, esto es, fn = A(Ф 1 n - Ф 2 n) • y la condición f 1 = 1 implica que A(Ф 1 - Ф 2) = A sqrt(5) = 1 • con lo cual obtenemos finalmente la fórmula de los números de Fibonacci: fn =(1 /sqrt(5)) (Ф 1 n - Ф 2 n) • Nótese que Ф 2 n tiende a 0 cuando n tiende a infinito, de modo que fn = Θ (n)

Teorema Maestro (div. para reinar) • Consideremos la ecuación de la forma T(n) = p. T(n/q) + Kn • Supongamos que n es una potencia de q, digamos n = q k Entonces T(q k ) = p. T(q k -1 ) + Kq k • Y si definimos a k = T(q k ) tenemos la ecuación: a k = pa k -1 + Kq k • La cual tiene solución a k = a 0 p k + K Σqjpk-j (ver al principio) 1<=j<=n

Teorema Maestro (cont. ) • Como k = log q n, tenemos T(n) = T(1)plog q n + Kplog q n Σ(q/p)j 1<=j<=log q n • Y observamos que plog q n = (qlog q p) log q n =(qlog q n) log q p =(n) log q p • Por lo tanto: T(n) = (n) log q p (T(1) + K Σ(q/p)j ) 1<=j<=log q n

Teorema Maestro: caso p < q T(n) = p. T(n/q) + Kn

Teorema Maestro: caso p = q T(n) = p. T(n/q) + Kn

Teorema Maestro: caso p > q T(n) = p. T(n/q) + Kn

Dividir para Reinar Este es un método de diseño de algoritmos que se basa en subdividir el problema en sub-problemas, resolverlos recursivamente, y luego combinar las soluciones de los sub-problemas para construir la solución del problema original. Ejemplo: Multiplicación de Polinomios. Supongamos que tenemos dos polinomios con n coeficientes, o sea, de grado n-1: A(x) = a 0+a 1*x+. . . +an-1*xn-1 B(x) = b 0+b 1*x+. . . +bn-1*xn-1 representados por arreglos a[0], . . , a[n-1] y b[0], . . , b[n-1]. Queremos calcular los coeficientes del polinomio C(x) tal que C(x) = A(x)*B(x).

Solulción Un algoritmo simple para calcular esto es: // Multiplicación de polinomios for( k=0; k<=2*n-2; ++k ) c[k] = 0; for( i=0; i<n; ++i) for( j=0; j<n; ++j) c[i+j] += a[i]*b[j]; Evidentemente, este algoritmo requiere tiempo O(n 2). ¿Se puede hacer más rápido?

Dividir-componer Supongamos que n es par, y dividamos los polinomios en dos partes. Por ejemplo, si A(x) = 2 + 3*x - 6*x 2 + x 3 entonces se puede reescribir como A(x) = (2+3*x) + (-6+x)*x 2 y en general A(x) = A'(x) + A"(x) * xn/2 B(x) = B'(x) + B"(x) * xn/2 Entonces C = (A' + A"*xn/2) * (B' + B"*xn/2) = A'*B' + (A'*B" + A"*B') * xn/2 + A"*B" * xn

Dividir-componer (cont. ) C = (A' + A"*xn/2) * (B' + B"*xn/2) = A'*B' + (A'*B" + A"*B') * xn/2 + A"*B" * xn Esto se puede implementar con 4 multiplicaciones recursivas, cada una involucrando polinomios de la mitad del tamaño que el polinomio original. T(n) = 4*T(n/2) + K*n donde K es alguna constante cuyo valor exacto no es importante. Por lo tanto la solución del problema planteado (p=4, q=2) es T(n) = O(nlog 2 4) = O(n 2) lo cual no mejora al algoritmo visto inicialmente.

Dividir-componer (cont. ) Pero. . . hay una forma más eficiente de calcular C(x). Si renombramos : D = (A'+A") * (B'+B") E = A'*B‘ F = A"*B" entonces C = E + (D-E-F)*xn/2 + F*xn Lo cual utiliza sólo 3 multiplicaciones recursivas, en lugar de 4. Esto implica que T(n) = O(nlog 2 3) = O(n 1. 59)