1 SISTEMAS DE NUMERACIN Y CDIGOS Definamos primero

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SISTEMAS DE NUMERACIÓN Y CÓDIGOS Definamos primero lo que es un circuito combinacional y un circuito secuencial. Circuito combinacional es aquel que en cada instante presenta un estado de salida que depende únicamente del estado de sus entradas. Se observa, pues, que un circuito combinacional es, en realidad, una función lógica. Circuito secuencial es aquel en que la consideración de sus salidas no solo depende del estado de sus entradas en el momento dado, sino también del historial de las salidas anteriores. Para ello se requiere una memoria. Sistemas de numeración Los circuitos digitales funcionan mediante la aplicación a sus entradas de señales que toman un número finito de valores. Un componente físico puede construirse de manera que pueda presentar dos estados diferentes, que es el número de valores utilizados en las señales binarias. El sistema de numeración utilizado normalmente utiliza la base 10 o sistema decimal. Los circuitos digitales utilizan para su trabajo el sistema de numeración binario o en base dos. 2 Cualquier información que va a ser tratada por un circuito digital ha de ser codificada

en el sistema binario. La representación de un número N en un sistema de base b, se desarrolla por: N = anbn + an-1 bn-1 + …. . + a 1 b 1 + a 0 b 0 + an-1 bn-1 …. ai = coeficientes que representan las cifras del número. Ejemplo: a) Si b =10, 0≤ ai < 10. El número 423, 52 se puede expresar como: 423, 52 = 4. 102 +2. 101 + 3. 100 + 5. 10 -1 + 2. 10 -2 b) Si b = 2, 0≤ ai < 2. El número binario 1101, 101 se puede escribir como: 1101, 101 = 1. 23 + 1. 22 + 0. 21 + 1. 20 + 1. 2 -1 + 0. 2 -2 + 1. 2 -3 3

Sistema binario. Código binario natural Este sistema utiliza para su representación dos símbolos: 0 (cero) y 1 (uno). A cada uno de estos símbolos se le denomina bit. La utilización en sistemas de control y cálculo se debe a la respuesta de sistemas físicos que poseen dos estados diferentes. Para pasar de binario a decimal, se expresa el binario en su polinomio equivalente, al operar el polinomio se obtiene como resultado el número decimal correspondiente. Ejemplo: Expresar el número binario 101101, 11(2 en su equivalente decimal. 101101, 11 = 1. 25 + 0. 24 + 1. 23 + 1. 22 + 0. 21 + 1. 20 + 1. 2 -1 + 1. 2 -2 = = 32 + 0 + 8 + 4 + 0 + 1 + 0, 5 + 0, 25 = 45, 75(10 Para pasar de un número decimal entero a binario, se divide sucesivamente entre dos hasta que el último cociente sea inferior a dos. El último cociente será el bit más significativo, seguido de los restos de la división comenzando del último al primero. Para pasar de un número decimal fraccionario a uno binario, se multiplica este por dos y se toma la parte entera. La parte decimal del número obtenido se vuelve a multiplicar por dos, y el proceso se repite hasta que el resultado sea cero o lleguemos a 4 la precisión necesaria.

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Sistema hexadecimal. Es el que tiene base 16. para su representación se utilizan los diez primeros dígitos decimales (del 0 al 9) y las letras del alfabeto (A, B, C, D, E y F). Para pasar de binario a hexadecimal, en primer lugar se hacen grupos de cuatro bits, partiendo de la coma hacia la izquierda y hacia la derecha. Si el último grupo de cada lado de la coma está incompleto se añaden ceros por la izquierda o por la derecha, según estemos a un lado o a otro de la coma. En segundo y último lugar se realiza la equivalencia entre el número binario y el hexadecimal correspondiente. Ejemplo. Transforma el binario 1011101, 101101 en hexadecimal. 0101. 1101 , 1011. 0100 se han añadido un cero a la izquierda y dos ceros a la derecha, para completar los grupos de 4 bits. Utilizando la tabla tenemos: 5 D D , B 4 Equivalencia entre los códigos decimal, hexadecimal y binario 7

Ejemplo. Pasar el número 4735(10 a hexadecimal y viceversa. Códigos binarios. Un código es una representación de cantidades, de forma que a cada una de éstas se le asigna una combinación de símbolos determinada, y viceversa. Los más utilizados dentro de los binarios son los códigos BCD. Con n cifras binarias o bits se pueden obtener 2 n combinaciones diferentes, a cada combinación se le puede asignar una cantidad diferente. Para codificar un número decimal mediante este sistema, cada una de sus cifras se representa por separado. El número de bits necesarios para representar cada cifra es de cuatro y, por tanto, se pueden efectuar 24 = 16 combinaciones distintas. 8

Códigos binarios. El código mas utilizado es el BCD natural, que emplea las diez primeras combinaciones. El código BCD Aiken utiliza las cinco primeras y las cinco últimas que pueden formarse con 4 bits. El BCD exceso 3, no toma las tres primeras ni las tres últimas sino las 10 centrales. Otra clase de códigos binarios son los progresivos, en los que una combinación difiere de la anterior y de la siguiente en un solo bit. Los códigos detectores y correctores de error detectan y corrigen el error en la información binaria. El código de paridad añade 0 o 1 a la derecha del número binario según la cantidad de unos de este. Si el número de unos es par se añade un cero y si es impar, un uno. Hay códigos que se emplean para representar información de letras y símbolos especiales el más importante es el ASCII y sque se utiliza en ordenadores e impresoras. 9

Ejemplo. Codifica el número decimal 342, 75 utilizando los distintos códigos BCD. 10

ÁLGEBRA DE BOOLE. DEFINICIONES El álgebra de Boole opera con variables que admiten únicamente los valores 0 y 1. Estos representan dos estados diferentes de un dispositivo activado 1 o desactivado 0. Lógica de niveles. En los circuitos digitales se utiliza la lógica de niveles para establecer una correspondencia entre los niveles de tensión y los elementos de información binaria. En lógica positiva, al nivel más elevado se le asigna el estado 1, y al más bajo el estado 0. En lógica negativa es al revés. Al hablar de operaciones y funciones lógicas hay que tener en cuenta el tipo de lógica con la que trabajamos. Lógica positiva Lógica negativa 11

OPERACIONES BÁSICAS EN EL ÁLGEBRA DE BOOLE Suma lógica o unión (puerta O). Suponiendo dos variables de entrada a y b. La suma lógica S = a + b toma el valor lógico 1 cuando las dos o al menos una de ellas toma el valor 1. Los circuitos electrónicos que realizan esta operación se denominan puertas O. Tabla de la verdad Circuito eléctrico Comercialmente en tecnología TTL existe el circuito 7432 de cuarto puertas O con dos entradas. 12

Producto lógico o función intersección (puerta Y). La función lógica aplicada a dos variables a y b será S = a. b tomará el valor 1 cuando a y b presenten un 1. Tabla de verdad Circuito equivalente Existen varios circuitos integrados diseñados con tecnología TTL entre ellos el 7408 formado por cuatro puertas Y de dos entradas. 13

Función igualdad. Su expresión matemática es S = a Función negación o inversora (puerta NO) Se aplica a una sola variable de entrada que equivale a invertir el estado lógico anterior, se conoce como inversora. El circuito integrado 7404 contiene seis inversores. 14

POSTULADOS, PROPIEDADES Y TEOREMAS DEL ÁLGEBRA DE BOOLE §Propiedades. • Propiedad conmutativa. • Propiedad asociativa. • Propiedad distributiva. §Postulados. 15

§Teoremas. 16

Función o puerta NOR Esta función se obtiene al invertir la salida de la función OR. El resultado es la negación de la función suma. Para dos variables su expresión matemática es: Si se aplica el teorema de Morgan, resulta: Tabla de verdad NOR Símbolos de las puertas NOR Circuito integrado 7402 de cuatro puertas NOR con dos entradas. 17

Función o puerta NAND Realiza la función lógica Y y luego la complementa, es decir, realiza la función NAND, la salida de la función NAND es, si a y b son las variables de entrada: Que al aplicar Morgan, también se puede expresar: Tabla de la verdad de una puerta NAND Las puertas NORD y NAND se les denomina también puertas universales debido a que todas las funciones lógicas se pueden formar a partir de ellas. Circuito 7400 de 4 puertas NAND de dos entradas. 18

Función puerta O-Exclusiva. La puerta O-Exclusiva de dos variables a y b, se define como aquella que presenta a su salida un valor 1 cuando las variables de entrada no coinciden, y 0 cuando el valor de las variables de entrada coincide. También se llaman EXOR Esta puerta lógica también presenta una función equivalente a un comparador binario de un bit, e indica si dos bits son iguales o distintos. 19

OBTENCIÓN DE LA FUNCIÓN LÓGICA A PARTIR DE LA TABLA DE LA VERDAD A partir de la tabla de la verdad se puede obtener a función lógica de dos formas canónicas. La forma canónica de una función es todo producto de sumas o toda suma de productos en las que aparecen todas las variables, bien en forma directa, bien en forma complementaria. Primera forma canónica (minterms). Se obtiene sumando todos los productos lógicos que dan salida 1, asignando el estado 0 a la variable inversa y el estado 1 a al variable directa. En la tabla de verdad de la figura para tres variables, la salida S será: 20

Segunda forma canónica (maxterms). El razonamiento es el siguiente: La salida en forma de productos de sumas será igual a 2 n -1 - i, donde i es el lugar que ocupan los términos que dan salida 0. En la tabla las combinaciones que hacen S = 0, son las combinaciones 0, 2 y 5. i=0 7– 0=7 i=2 7– 2=5 i=5 7– 5=2 También se podía haber obtenido esta forma canónica de forma directa, observando las combinaciones que hacen S = 0, y sustituyendo en cada una de ellas el valor 0 por una variable directa y el valor 1 por su expresión inversa. 21

SIMPLIFICACIÓN DE FUNCIONES Método gráfico de Karnaugh. Normalmente se emplea hasta con seis variables. Su fundamento se basa en la determinación, a partir de la tabla de la verdad, de unas tablas denominadas tablas de Karnaugh, cuya forma depende del número de variables de entrada que se utilicen. Tablas de Karnaugh para dos, tres y cuatro variables. El número dentro del cuadro indica el equivalente decimal de la combinación correspondiente. El lugar que ocupan estos números depende del peso que tomen las variables, en nuestro caso son d, c, b y a de mayor a menor. 22

Los cuadros correspondientes a los términos canónicos que forman parte de la función se indican mediante un 1, y los correspondientes a los términos que no forman parte de ella se dejan en blanco. En el caso que existan combinaciones con términos indefinidos (X), estos términos se representan como más interese 1 o 0. El procedimiento para agrupar es el siguiente: -Se toman los unos sueltos que no puedan formar parte de un grupo de dos. -Se toman los grupos de dos unos que no puedan formar parte de un grupo de cuatro. -Se toman los grupos de cuatro que no puedan formar parte de un grupo de ocho. -Cuando se cubren todos los unos el proceso se termina. -Tener en cuenta que un 1 puede estar incluido en tantos grupos como sea necesario. Ejemplo. El circuito tendrá salida 1 cuando se cumpla la ecuación: Obtener la función lógica 23

Ejemplo. Una función corresponde a la ecuación: Obtener la función lógica. Obtenemos la salidas, 2ª forma canónica señalándolas en el mapa de Karnough con un 0. Las agrupaciones serán: 24

Ejemplo. Una lámpara debe accionarse mediante la combinación de tres pulsadores (c, b y a); cuando se cumplan las condiciones siguientes: 1)Se accione un solo pulsador. 2)Se accionen dos pulsadores simultáneamente que no sean a y b. Planteamos la solución por suma de productos. La ecuación será: Hacemos la tabla de la verdad y la ecuación canónica es: Señalando las salidas en el mapa de Karnaugh y se obtiene la función simplificada: Representación eléctrica Representación por puertas lógicas. 25

Ejemplo. Resolver el problema anterior por maxterms o producto de sumas. Las combinaciones que hacen la salida S = 0 son los lugares i = 0, 3 y 7 luego aplicando la expresión 2 n -1 - i , sabiendo que n = 3 tendremos: 2 n -1 - i = 8 – 1 – 7 = 0, 8 – 1 – 3 = 4 y 8 – 1 – 0 = 7 Po demos poner entonces: Traspasando los resultados al mapa de Karnaugh y tomando los grupos para simplificar, tendremos: La salida simplificada será: Representación eléctrica. 26

Ejemplo. Simplificar e implementar mediante puertas lógicas, una función de la forma: a) Se sustituyen en cada suma las variables directas por 1 y las negadas por 0. Quedando: b) En el mapa de Karnaugh se inscriben las combinaciones correspondientes y se realizarán tres grupos: La expresión final esta compuesta por los términos: c) La implementación por puertas lógicas 27

FUNCIONES CON PUERTAS NAND Y NOR Las puertas NAND y NOR son puertas universales ya que todas las funciones se pueden construir con ellas. Para ello se deberá aplicar el teorema de Morgan las veces necesarias hasta que toda la función se exprese en forma de productos o sumas negadas. Funciones básicas con puertas NORD y NAND de dos entradas Recordar la tabla de la verdad de ambas puertas (NAND y NOR). En ambas, cuando las dos entradas valen lo mismo, 1 o 0, la salida es 0 o 1 respectivamente. 28

Ejemplo. Realiza el circuito que responda a la tabla de la verdad de la figura con puertas NAND de dos entradas. a) La salida responde a la ecuación de la primera forma canónica: b) Llevamos las salidas al mapa de Karnaugh La expresión final está formada por la suma lógica de los tres grupos c) Implementación por puertas NAND Se da a la función una doble inversión: Se opera con una de las inversiones para transformar las sumas en productos. 29

Ejemplo. Construye con puertas NOR de dos entradas un circuito digital que responda a la tabla de la verdad siguiente. a) Se puede observar que las combinaciones 14 y 15 son términos indefinidos, por lo que se pueden tomar como 1 o 0, según convenga. b) Como el circuito se realizará con puertas NOR, se resuelve por la segunda forma canónica o producto de sumas, cuya ecuación será: c) Se simplifica la tabla de Karnaugh El resultado será el producto lógico de cada uno de los tres términos. 30

d) Se da a la función una doble inversión y convertiremos los productos en sumas. e) Se construye el circuito con puertas NOR de dos entradas. 31

CIRCUITOS COMBINACIONALES INTEGRADOS Un circuito combinacional es aquel en el que el estado de sus salidas depende únicamente del estado de sus entradas. Analizaremos estos circuitos según la función que realizan, utilizando el concepto de “caja negra”con unas entradas, unas salidas y en caso necesario, unas entradas de control. Codificadores. Un codificador es un circuito combinacional que posee n salidas y 2 n entradas, de tal forma que, al accionarse una de sus entradas, en la salida aparece la combinación binaria correspondiente al número decimal asignado a esa entrada. Los codificadores pueden ser con prioridad y sin prioridad. En los decodificadores sin prioridad no puede activarse mas de una entrada al mismo tiempo. Los más utilizados son los decodificadores con prioridad, en los que se produce una acción simultanea de varias de sus entradas, en la salida se representa el código de aquella entrada que tenga signado mayor peso significativo, que normalmente es la de mayor valor decimal. 32

En la figura se ve el codificador 74148, que tiene ocho líneas de entrada y tres líneas de salida. Decodificadores. Son dispositivos combinacionales que poseen n entradas y un número de salidas menor o igual a 2 n. Básicamente convierten la información codificada (en cualquier tipo de código) en información sin codificar. Además se utilizan en los demultiplexores y en generación de funciones lógicas. 33

Demultiplexor. Son circuitos lógicos con binacionales con una sola entrada , N salidas y n entradas de control. Su misión es trasmitir la información desde la entrada a la salida seleccionada mediante las entradas de control. Hay circuitos con la función decodificador/demultiplexor, como el circuito integrado 74138. 34

Multiplexor. Es un circuito lógico combinacional que canaliza varias fuentes de información binaria hasta una línea común de salida. En general posee 2 n entradas de información denominadas Do a Dm n entradas de selección, y una sola salida de información W. El funcionamiento es el siguiente: cuando se presenta una combinación binaria en las entradas de selección en la salida aparece un solo dato, correspondiente a la entrada que lleve asignada esta combinación binaria. 35

Comparador. Es un circuito capaz de detectar las relaciones mayor (>), igual (=) y menor (<) entre dos magnitudes binarias. Un comparador digital presenta: -Dos grupos (A y B) de n líneas de entrada. Cada grupo de líneas canaliza hacia la entrada del comparador una palabra binaria de n bits. -Tres líneas de salida. Al comparar las dos palabras binarias introducidas en el comparador, el sistema combinacional responderá activando una de las tres salidas siguientes: A > B, A = B o A < B. Comparador 7485 de dos palabras de 4 bits. 36