Wykad 19 8 Dynamika relatywistyczna 8 1 Zasada

Wykład 19 8. Dynamika relatywistyczna 8. 1 Zasada zachowania pędu w szczególnej teorii względności- Pęd relatywistyczny 8. 2 Relatywistyczne równanie ruchu 8. 3 Zasada zachowania energii 8. 3. 1 Zależność pomiędzy pędem a energią dla ciała o masie spoczynkowej m 0 8. 3. 2 Transformacja pędu i energii pomiędzy dwoma układami poruszającymi się względem siebie prostoliniowo 8. 4 Interwał czasoprzestrzenny - czterowektor 09 -12 -2008 Reinhard Kulessa 1

8. Dynamika relatywistyczna 8. 1 Zasada zachowania pędu w szczególnej teorii względności- Pęd relatywistyczny Przy podejściu klasycznym zasada zachowania pędu dla N punktów materialnych w układzie nieruchomym U ma postać; . (8. 1) Wyrażenie to było słuszne dla transformacji Galileusza we wszystkich układach inercjalnych. W układzie U’ poruszającym się z prędkością v 0 względem układu U, pęd każdej cząstki zmienia się o miv 0, a całkowity pęd o. Przez to zmienia się jednak tylko wartość stałej, i prawo zachowania pędu jest również ważne w układzie U’. 09 -12 -2008 Reinhard Kulessa 2

. (8. 2) Jeśli jednak zastosujemy przejściu z układu U do U’ transformację Lorentza, prawo zachowania pędu w swej dotychczasowej postaci przestanie działać. Rozpatrzmy ten problem na przykładzie elastycznego zderzenia dwóch równych mas, przy czym U’=US=CM. A) v 1 S v’ 1 S b Proton 1 a Proton 2 B) U S y. S U y v 1 v 0 x. S x v 2’ v’ 2 S v 2 S 09 -12 -2008 v 1’ Reinhard Kulessa v 2 3

Układ laboratoryjny charakteryzuje się tym, że drugi proton w tym układzie nie porusza się wzdłuż osi x. Poniższa tabela przedstawia prędkości obydwu protonów przed i po zderzeniu w układzie środka masy US i transformację Lorentza tych prędkości do układu laboratoryjnego U. Układ środka masy US Proton 1: Proton 2: 09 -12 -2008 Układ laboratoryjny U m 0 Reinhard Kulessa 4

A) W układzie środka masy US obydwa protony przed zderzeniem posiadają prędkości v 1 S i v 2 S=-v 1 S. W zderzeniu składowe y-kowe prędkości zmieniają znak tak, że całkowity pęd nierelatywistyczny zostaje zachowany. B) Jeśli dokonamy transformacji pędu cząstek przed lub po zderzeniu z powrotem do układu laboratoryjnego U korzystając z relatywistycznej zasady dodawania prędkości, otrzymamy na składową y-kową całkowitego pędu przed zderzeniem Py, i po zderzeniu Py’ wyrażenia , oraz 09 -12 -2008 Reinhard Kulessa 5

. Ponieważ Py=-Py’ , pęd przed zderzeniem jest inny niż po zderzeniu. Zachodzi to dla wszystkich układów współrzędnych poruszających się z dowolną prędkością v 0, względem układu środka masy. Pęd zdefiniowany w sposób klasyczny p=m 0 v jest zachowany tylko w układzie środka masy. Okazuje się, że we wszystkich układach zachowany jest tzw. pęd relatywistyczny. . 09 -12 -2008 Reinhard Kulessa (8. 3) 6

m 0 jest masą spoczynkową ciała. Ażeby pokazać, że tak zdefiniowany pęd jest zachowany, policzmy znów składowe y-kowe przed i po zderzeniu w układzie środka masy US i układzie laboratoryjnym U. A) Układ US , Zmiana znaków składowych y-kowych w układzie U’=US gdyż v 1 = -v 2. Zachodzi więc (Psy)rel = 0, oraz (Psy’)rel = 0. Pęd jest więc zachowany. B) Układ U Dokonajmy transformacji do układu laboratoryjnego korzystając z relatywistycznego prawa dodawania prędkości. 09 -12 -2008 Reinhard Kulessa 7

. Proszę wykonać obliczenia we własnym zakresie. Mamy więc (Py)relv= (P 1 y)rel + (P 2 y)rel = 0 przed zderzeniem. Ten sam wynik uzyskamy licząc to po zderzeniu. (Py)rel = (Py’)rel , czyli pęd relatywistyczny jest zachowany. Wyrażenie na pęd relatywistyczny (8. 3) ma więc dwie ważne własności. 1. Dla v<<c jest ono identyczne z klasyczną definicją pędu p = m 0 v. 09 -12 -2008 Reinhard Kulessa 8

2. Wyrażenie to jest niezmiennicze ze względu na transformację Lorentza, tzn. zachowanie prel w jednym układzie inercjalnym oznacza zachowanie we wszystkich innych. We wzorze (8. 3) można opuścić oznaczenie rel. Podstawowym postulatem mechaniki relatywistycznej jest żądanie zachowanie relatywistycznego pędu we wszystkich układach inercjalnych. Z tego postulatu, oraz z klasycznego równania ruchu wynika cała dynamika relatywistyczna. Przy braku sił zewnętrznych relatywistyczne prawo zachowania pędu ma postać, . 09 -12 -2008 Reinhard Kulessa (8. 4) 9

Wyrażenie (8. 5) nazywamy masą relatywistyczną. Równanie p = m v jest znów ważne. Masa jest więc zależna od prędkości. 09 -12 -2008 Reinhard Kulessa 10

8. 2 Relatywistyczne równanie ruchu możemy napisać w postaci: . (8. 6) Otrzymamy więc, . Rozpisując to równanie na składowe otrzymujemy; (8. 7) Zasadnicza różnica pomiędzy tym równaniem a klasycznym 09 -12 -2008 Reinhard Kulessa 11

ruchu polega na tym, składowa siły np. Fx jest przyczyną przyśpieszenia o składowych we wszystkich kierunkach. Mamy więc sprzężenia pomiędzy współrzędnymi. 8. 3 Zasada zachowania energii Odstępstwa relatywistycznego równania ruchu od klasycznego prowadzi do zmiany zależności pomiędzy energią kinetyczną a prędkością. Zależność tą znajdziemy z faktu, że praca jaką wykonuje siła przyśpieszeniu ciała jest równa energii kinetycznej przyśpieszanej cząstki. , gdyż 09 -12 -2008 . Reinhard Kulessa 12

Otrzymujemy więc całkując przez części; . Z kolei z powodu . 09 -12 -2008 Reinhard Kulessa 13

Jeśli zażądamy, aby dla zerowej prędkości energia kinetyczna również była zero, otrzymujemy; . Na relatywistyczną energię kinetyczną otrzymujemy ostatecznie wyrażenie; . (8. 8) Zgodnie z tym równaniem zmiana energii kinetycznej powoduje zmianę masy; . 09 -12 -2008 Reinhard Kulessa 14

Jeśli jakaś zewnętrzna siła wykonuje na swobodnej masie pracę, to ta masa relatywistyczna zmienia się o wielkość dostarczonej energii dzielonej przez c 2. Podobna rzecz jest również ważna dla energii potencjalnej. Dla dwóch punktów masowych energia potencjalna; . Dla układu izolowanego zmiana energii potencjalnej powoduje zmianę energii kinetycznej, a tym samym masy. Całkowita masa relatywistyczna jest zachowana. Musi się więc zmienić masa spoczynkowa cząstek; . 09 -12 -2008 Reinhard Kulessa 15

Z równania (8. 8) mamy; . Z faktu że wynika, że całkowita energia relatywistyczna ciała(punktu) o masie m jest równa; . (8. 9) E 0 jest energią masy spoczynkowej m 0. Dla układu N punktów materialnych o całkowitej energii potencjalnej , całkowita energia wynosi w układzie, w którym środek masy porusza się z prędkością a jest prędkością i-tego punktu w układzie środka masy; 09 -12 -2008 Reinhard Kulessa 16

. Widzimy więc, że gdy na układ nie działają żadne siły zewnętrzne, energia relatywistyczna, która tak jak energia klasyczna jest sumą energii kinetycznej i potencjalnej jest zachowana. 09 -12 -2008 Reinhard Kulessa 17

8. 3. 1 Zależność pomiędzy pędem a energią dla ciała o masie spoczynkowej m 0 W oparciu o równania (8. 3) i (8. 9) otrzymujemy; . Eliminując z tych równań v 2 otrzymujemy; . Podstawiając do tego równania 09 -12 -2008 Reinhard Kulessa (8. 10) , otrzymamy; 18

. (8. 11) Często używamy również wyrażenia: . (8. 12) 8. 3. 2 Transformacja pędu i energii pomiędzy dwoma układami poruszającymi się względem siebie prostoliniowo W oparciu o równania (8. 3) i (8. 9) możemy wyrazić energię i pęd poprzez masę spoczynkową cząstki i prędkość. Masa spoczynkowa jest niezależna od układu współrzędnych. 09 -12 -2008 Reinhard Kulessa 19

Poznaliśmy również wyrażenia na transformację prędkości. Przyjmijmy, że układ U’ porusza się względem układu U z prędkością. Wtedy, . (8. 13) 09 -12 -2008 Reinhard Kulessa 20

8. 4 Interwał czasoprzestrzenny - czterowektor Pamiętamy, że miarą odległości między punktami 1 i 2 jest interwał, lub przedział przestrzenny zdefiniowany jako; . W fizyce relatywistycznej nie można rozpatrywać współrzędnych przestrzennych niezależnie od czasu. Czas należy traktować jako czwartą współrzędną, która razem ze współrzędnymi tworzy czasoprzestrzeń. Aby zgadzały się wymiary za czwartą współrzędną używa się ct. Miarą odległości w cztero- wymiarowej przestrzeni jest interwał czasoprzestrzenny, 09 -12 -2008 Reinhard Kulessa 21

, w układzie nieruchomym, a w układzie ruchomym; (8. 14) Jeśli wykorzystamy transformację Lorentza do porównania obydwu wielkości, okazuje się, że. Okazuje się więc, że interwał czasoprzestrzenny jest niezmiennikiem transformacji Lorentza i jest w każdym układzie taki sam. 09 -12 -2008 Reinhard Kulessa 22

Z kolei z równania (8. 10) mamy; . Lewa strona tego równania jest kwadratem energii spoczynkowej ciała. Wielkość ta musi być taka sama we wszystkich układach współrzędnych. . (8. 15) Możemy więc napisać: . Wyrażenie to ma postać analogiczną do interwału czasoprzestrzennego, 09 -12 -2008 Reinhard Kulessa 23

. Możemy więc napisać, że m 0 c jest bezwzględną wartością. czterowektora pędu i energii. Notacje dla czterowektorów bywają różne. Przytoczę tutaj jedną z nich. p Do analogicznego wniosku dochodzimy w oparciu o transformację pędu, daną wzorem (8. 13). 09 -12 -2008 Reinhard Kulessa 24

Składowe pędu i energii transformują się analogicznie jak współrzędne x, y, z i t. Czyli tworzą również czterowektor. Prawo zachowanie pędu i energii można więc ująć razem w zasadę zachowania czteropędu; . 09 -12 -2008 Reinhard Kulessa (8. 16) 25