Dynamika m se zabv dynamika Zatmco kinematika pojednv

Dynamika

Čím se zabývá dynamika Zatímco kinematika pojednává pouze o prostorových a časových formách pohybu, zabývá se dynamika příčinami vzniku a změn pohybů. Vedle pojmů, jakými jsou poloha, čas, rychlost a zrychlení, přistupují v dynamice další fyzikální veličiny, kterými jsou v prvé řadě hmotnost a síla.

Inerciální soustavy Jak jme již poznali v kinematice, musíme pohyb libovolného tělesa vztáhnout na nějakou soustavu těles, která v daném kontextu považujeme za nehybná. Tato tělesa budeme nazývat referenčními tělesy. Soustavu souřadnic spojujeme vždy s nějakou soustavou referenčních těles. Rovnice, které popisují pohyby jsou obzvlášť jednoduché v soustavách, kde na tělesa působí pouze síly, mající svůj původ v jiných tělesech. V takových soustavách se volný hmotný bod pohybuje vždy rovnoměrně a přímočaře. Takové soustavy budeme nazývat inerciálními. Naše Země není inerciální soustavou, protože se otáčí a objevují se síly odstředivé a jak poznáme dále také síly Coriolisovy. Za inerciální soustavu můžeme považovat soustavu s počátkem ve

Dvě základní veličiny dynamiky Jak již bylo řečeno, jsou důležitými veličinami dynamiky hmotnost a síla. Tyto veličiny neumíme definovat klasickým způsobem, podobně jako v geometrii nedefinujeme pojem bod, přímka, rovina. Vlastnosti těchto geometrických pojmů vyplývají z Eukleidových axiomů. Podobně vlastnosti hmotnosti a síly vyplývají ze zákonů dynamiky. Zde jen naznačíme základní vlastnosti těchto veličin. Hmotnost charakterizuje schopnost těles klást odpor změnám pohybu. Je to veličiny skalární a v klasické mechanice ji považujeme za nezávislou na rychlosti. V teorii relativity ovšem poznáme, že při vysokých rychlostech tato poučka neplatí.

Sestává-li těleso ze dvou nebo více částí, je výsledná hmotnost složeného tělesa rovna součtu hmotností jednotlivých částí. Hmotnost je veličinou aditivní. Jednotkou hmotnosti je kilogram. Na obrázku je mezinárodní prototyp kilogramu.

Síla je veličina, která je mírou pro vzájemné působení dvou těles. Je to veličina vektorová a řídí se všemi pravidly pro vektory. Poznáme, že jde o vektor vázaný na přímku. Sílu také považujeme za příčinu změny tvaru a rozměrů těles. Intuitivně sílu spojujeme s vynakládáním svalové námahy. Jednotkou síly je newton. Na obrázku je etalon síly v PTB v Německu.

Dva omyly starověké mechaniky • Starověká filosofie se intenzívně zajímala o příčiny různých přírodních jevů. Vycházela z pozorování a získané poznatky se snažila zobecnit. • Mechanický pohyb je jedním z nejnápadnějších jevů v přírodě. Proto není divu, že se na jeho pozorování starověká věda zaměřila. Z pozorování došli starověcí filosofové k závěru, že pro udržení pohybu je nutné působení síly. Tato síla může mít u živočichů vnitřní původ (síla svalů) nebo může být vnějšího původu – u těles neživých.

• Aby vůz jel rovnoměrně po přímé silnici, musí koně vynaložit potřebnou sílu, aby pták letěl, musí mávat křídly. Naopak, když síla přestane působit, pohyb zaniká. I hladký kámen pohybující se po zamrzlé hladině rybníky se po proběhnutí určité dráhy zastaví. Odpor prostředí jako síla působící proti pohybu, nebyl vzat na zřetel. • Druhým omylem bylo, že starověcí myslitelé došli k závěru, že tělesa padají k zemi různě rychle. Těžší tělesa )kameny, kusy kovu) padají rychleji, lehčí tělesa kousky dřeva, otep sena) padají pomaleji.

• Pokusy starověká věda zpravidla nekonala. • Tyto omyly se přenesly i do středověku prostřednictvím Aristotelových spisů (v tomto případě „Fysiky“), které i scholastická věda uznávala jako zdroj poznatků. • Teprve Galileo Galilei na základě pokusů dospěl k poznání, že zanikání mechanických pohybů je způsobeno odporem prostředí. Kdyby byl odpor prostředí zcela vyloučen, těleso uvedené

• Do rovnoměrného přímočarého pohybu, by v něm pokračovalo bez omezení. • To byl vznik principu setrvačnosti. • Je třeba poznamenat, že již před Galileem se podobné myšlenky objevovaly, ale zdůvodnění nebylo tak přesvědčivé, jako u Galilea.

Galileův myšlenový pokus k principu setrvačnosti Na obrázku vidíme kuličku, která se odvalí z levé pozice a při malém tření vystoupí prakticky do stejné výšky z jaké byla vypuštěna. Budeme-li postupně naklánět pravou část dráhy k vodorovné rovině, dorazí kulička vždy dále od své výchozí polohy. Kdyby přešel levý oblouk ve vodorovnou rovinu, musela by se kulička dostat do nekonečna.

Hybnost je vektorová veličina daná vztahem Je-li hmotnost tělesa konstantní, je hybnost přímo úměrná rychlosti. Tato definice platí i pro případ, kdy se hmotnost při pohybu mění. V teorii relativity pro hybnost volné částice platí vztah Hmotnost tělesa se stává závislou na velikosti rychlosti.

Nevtonovy principy dynamiky Newton formuloval zákony dynamiky ve svém latinském spisu „Philosophiae naturalis principia mathematica“ , který vyšel v roce 1687.

Principy dynamiky Princip setrvačnosti Každé těleso setrvává ve stavu klidu nebo přímočarého rovnoměrného pohybu, není-li nuceno vnějšími silami tento stav změnit. „Corpus omne perseverare in statu suo quiescendi vel movendi uniformiter in direktum, nisi quatenus illud a viribus imprassis cogitur statum suum mutare. “

Princip síly Časová změna hybnosti je úměrná vtištěné síle a má s ní stejný směr. „Mutationem motus proportionalem esse vi motrici impressae et fieri secundum lineam rectam, qua vis illa imprimitur“ Princip akce a reakce Každá akce způsobuje vždy stejnou reakci opačného směru čili vzájemná působení těles jsou stejně veliká a opačného směru. „Actioni contrariam semper et aequalem esse reactionem sive corpurum duorum actiones in se mutuo semper esse aequales et in partes contrarias dirigi. “

Matematické vyjádření 1. a 2. pohybového zákona První pohybový zákon vypovídá o chování těles, na která nepůsobí žádná vnější síla. Druhý zákon popisuje chování tělesa pod vlivem síly. Spojením obou zákonů v matematickou formuli získáme vztah:

Hlavní důsledek třetího pohybového zákona Uvažujme o dvou na sebe působících tělesech, která jsou mechanicky oddělena od ostatních těles. Podle principu akce a reakce působí těleso A na těleso B silou F a těleso B působí na těleso A silou – F. Potom A po úpravě

Hlavním důsledkem platnosti principu akce a reakce je zákon zachování hybnosti pro mechanicky izolovanou soustavu.

Řešení pohybových rovnic Z pohybové rovnice vyplývá diferenciální rovnice pro polohu hmotného bodu ve tvaru Zde je vyznačeno, že síla může záviset na poloze, rychlosti a času. Závislost na poloze se uplatňuje při pohybu hmotného bodu v nehomogenním silovém poli (např. těleso v radiálním poli planety nebo hvězdy, nabitá částice v nehomogenním poli elektrickém nebo magnetickém atd. ).

Závislost na rychlosti se uplatní při pohybu tělesa v odporujícím prostředí. Pohybuje-li se těleso ve vzduchu, můžeme pro odporující sílu obecně psát: První člen, který závisí na rychlosti lineárně, je způsoben viskozitou vzduchu a uplatňuje se zejména při malých rychlostech. Druhý člen závisí na rychlosti kvadraticky a je vyvolán tím, že těleso musí ze své dráhy odstranit vzduch nebo jiné prostředí. Síla odporu prostředí je vždy namířena proti vektoru rychlosti. Závislost na času se projeví vždy, kdy síla je vyvolána časově proměnným polem. Např. v poli kondenzátoru, na jehož deskách je časově proměnné napětí, působí na nabitou částici časově proměnná síla. Pohybovou rovnici můžeme rozepsat do souřadnic:

Tyto rovnice jsou ovšem provázané prostřednictvím svých pravých stran. Jsou to diferenciální rovnice druhého řádu, v nichž nezávisle proměnnou je čas.

Příklad řešení pohybové rovnice Jako příklad vyřešíme závislost rychlosti a polohy parašutisty na času při volném pádu. Osu z zvolíme orientovanou svisle dolů, počátek souřadnic volíme v místě kde parašutista vyskočil. Sestavíme pohybovou rovnici: Součinitel stanovíme ze skutečnosti, že ustálená rychlost volného pádu parašutisty bývá 60 m/s. Po dosazení

dostaneme a po dosazení do pohybové rovnice a malé úpravě bude Všimněte si, že obě strany této diferenciální rovnice mají rozměr zrychlení. Ukážeme, jak takovou rovnici vyřešíme pomocí tabulkového procesoru EXCEL.

Postupujeme v těchto krocích: 1. Nadepíšeme úlohu „Závislost polohy a rychlosti parašutisty na času“ 2. Zadáme počáteční podmínky a časový krok pro řešení. 3. Nadepíšeme slupce B až E následovně: t, a, v, z spolu s jednotkami. 4. Do první řádky zadáme počáteční podmínky. Vyplníme první sloupec tak aby čas rostl předepsaným krokem. Na časový krok se odkazujeme absolutně. 5. Do sloupce pro zrychlení napíšeme (podle významu) 6. Do sloupce pro rychlost napíšeme:

7. Do sloupce pro polohu napíšeme vztah podle rekurentního vzorce 8. Řádku „protáhneme“ pro všechny vypočtené časy 9. Sestrojíme grafy v(t), z(t).

Závislost polohy a rychlosti parašutisty na času při volném pádu Počáteční podmínky počáte ční poloha = 0 m počáte ční rychlo st= 0 m/s maxim ální rychlo st = 60 m/s časov ý krok = 0, 5 s

a/ (m/s 2) t/s v / (m/s) z/m 0 9, 81 0 0 0, 5 9, 81 4, 905 2, 4525 1 9, 008033 9, 409016 7, 157008 1, 5 8, 271626 13, 54483 13, 92942 2 7, 59542 17, 34254 22, 60069 2, 5 6, 974495 20, 82979 33, 01559 3 6, 40433 24, 03195 45, 03156 3, 5 5, 880776 26, 97234 58, 51773

Závislost rychlosti na času

Závislost polohy na času

Při pohledu na grafy vidíme, že se rychlost volného pádu ustálí skutečně na 60 m/s a poloha se po dosažení této rychlosti mění lineárně s časem, jak odpovídá rovnoměrnému pohybu. Podobným způsobem můžeme řešit další úlohy. Užití počítače nám dává možnost vyhnout se analytickému řešení, které může být v některých případech značně složité.

Časový účinek síly Představme si pokus podle obrázku

Kladivo, otáčející se kolem naznačené osy udeří do koule. V okamžiku nárazu bude na kouli působit síla, jejíž časový průběh je znázorněn na dalším obrázku. Výraz F nazýváme impulsem síly. Je představován plochou ohraničenou na grafu křivkou F(t) a osou t. t t 1 Δt

Dosadíme-li do vztahu pro impuls síly z pohybové rovnice, dostáváme: Tento vztah znamená, že změna hybnosti za určitý časový okamžik je roven změně hybnosti tělesa, na něž síla působí. Je zřejmé, že stejné změny hybnosti může být dosaženo krátkodobým působením velké síly nebo delším působením síly malé. Nastane-li změna hybnosti za malý časový interval, působí velká síla. (Proto bolí, když se klepneme kladívkem. )

Dráhový účinek síly Působí-li síla na hmotný bod, který se pohybuje po nějaké trajektorii, má význam určit součin F α C Δr Skalární veličinu d. A nazýváme elementární prací, kterou vykoná síla na úseku dráhy Δr. D

Sečteme-li všechny elementární příspěvky podél oblouku trajektorie od bodu C do bodu D, dostáváme práci:

Kdy síla nekoná práci a) Když se hmotný bod nepohybuje b) Když má síla nulovou velikost c) Když je síla kolmá k rychlosti

Práce a kinetická energie hmotného bodu Práce, kterou vykoná síla na hmotném bodu je rovna přírůstku jeho kinetické energie.

Práce, kterou síla vykoná na uzavřené dráze bude: Kroužek na integrálu vyznačuje, že jde o integrál po uzavřené křivce. Tento integrál může být rozložen na dvě části: Oba integrály jsou probíhány ve stejném smyslu, jak je naznačeno na obrázku. Zaměníme-li u druhého integrálu smysl probíhání, bude:

Konzervativní síly Někdy práce, kterou síla při pohybu hmotného bodu vykoná, nezávisí na tvaru trajektorie, ale pouze na poloze výchozího a konečného bodu. Jestliže je tato vlastnost obecná pro daný typ sil, říkáme, že silové pole je konzervativní. Uvažujme o práci, kterou konzervativní síla vykoná při pohybu po uzavřené dráze (obr. B A

Výsledná práce je nulová, protože v poli konzervativních sil je práce závislá jen na poloze počátečního a koncového bodu. Z tohoto výkladu plyne důležitá poučka : V poli konzervativních sil je práce vykonaná po uzavřené dráze vždy nulová. Které přírodní síly jsou konzervativní? Jsou to nám dobře známé síly gravitační. (Jestliže vyběhneme z učebny ve 2. poschodí, seběhneme do přízemí a vrátíme se zpět, nevykonáme ve fyzikálním smyslu žádnou práci, i když se zadýcháme a cítíme námahu. ) Dále to jsou síly elektrostatické. Také v elektrostatickém poli přenosu náboje vykonáme práci, která závisí jen na výchozí a konečné pozici náboje.

Nekonzervativní síly Když posunujeme bednu po vodorovné podlaze, konáme práci. Hybná síla vždy působí ve směru pohybu. Příspěvky k práci jsou vždy kladné a velikost práce závisí na délce dráhy a ne pouze na počáteční a konečné poloze. Síly tření, které překonáváme nejsou konzervativní. Také elektrické síly v případě, kdy elektrické siločáry jsou uzavřené, nejsou konzervativní.

Tření Jistě jste někdy zkoušeli posunout těžkou bednu po vodorovné podlaze. Pokud vynaložíme malou sílu, bedna se nepohne. Síla , kterou vynakládáme, je kompenzována silou statického tření. Až do určité hodnoty je vnější vtištěná síla v rovnováze se silou statického tření. Těleso nemůže být uvedeno do pohybu. Je-li ovšem tato hranice překročena, začne se těleso pohybovat. Je-li tento pohyb rovnoměrný, je vtištěná síla v rovnováze se silou smykového tření. Závislost mezi vnější vtištěnou silou a silami tření je patrna z následujícího grafu.

Závislost mezi vnější silou a třením Fsm x Fs a Ft

Z grafu můžeme usoudit, že a) Statické tření vyrovnává vtištěnou sílu až do jisté mezní hodnoty. b) Po překročení této hodnoty nastupuje tření smykové (dříve se užíval název vlečné). Toto smykové tření je za stejných podmínek menší než maximální hodnota statického tření. Pro maximální hodnotu statického tření platí vztah, který lze experimentálně ověřit Zde je součinitel statického tření, je normálová síla působící mezi tělesem a podložkou.

Smykové tření je rovněž úměrné normálové síle působící mezi tělesem a podložkou: nazýváme součinitelem smykového tření. Tření vzniká vzájemným působením molekul (atomů, iontů) podložky a tělesa v místě skutečného kontaktu. Účinná plocha dotyku je značně menší než geometrická plocha vypočtená z rozměrů tělesa. To je znázorněno i na následujícím obrázku.

Obrázek ukazuje zvětšenou část povrchu v místě dotyku těles. Skutečný kontakt vzniká jen v místech, kde se dotýkají výstupky obou povrchů.

Na obrázku je mikroskopický snímek vyleštěného povrchu oceli. Nepravidelné výstupky dosahují velikosti až 10 -5 cm.

Na obrázku je počítačový model, ukazující atomy zlata (tvořícího podložku), které ulpívají na niklovém hrotu.

K vysvětlení statického tření Maximální statické tření je úměrné mikroskopické dotykové ploše. Ta je ovšem úměrná tlaku mezi povrchy Součin je nezávislý na velikosti mikroskopického dotyku a závisí jen na tlakové síle. Proto platí vztah: Pro statické tření obecně platí:

Experimentálně ověřené zákonitosti tření 1. 2. Závisí na relativní rychlosti těles. V rozmezí 1 cm/s do několika m/s je tato závislost zanedbatelná (to je známo jako Coulombův zákon pro tření). 3. závisí na kvalitě povrchů, ale ne na mikroskopické ploše dotyku.

Pohyb tělesa po nakloněné rovině Síla působící podél nakloněné roviny: Ft FN Fa mg

Pro zrychlení tělesa dostáváme: Je-li zrychlení nulové (těleso klouže po nakloněné rovině rovnoměrně, což nastane při kritickém úhlu náklonu , platí V grafu na následující stránce je závislost zrychlení tělesa na nakloněné rovině pro součinitel smykového tření 0, 4. Extrapolací pro nulové zrychlení je možno určit kritický úhel.

Z grafu vidíme, že kritický úhel, při němž těleso začne klouzat je asi 22 o.

Valivé tření Ft S Fv Fe r d FN

Po vodorovné rovině se valí válec o poloměru r. Na podložku působí silou FN. Podložka se mírně deformuje a po odvalení válce deformace mizí. Výslednice elastických sil Fe (značena žlutě) je poněkud posunuta směrem vpřed o vzdálenost d. Podle principu akce a reakce jsou síly FN a Fe stejně velké a vytvářejí dvojici, která působí proti odvalování válce. Moment síly valivého tření r Ft je roven momentu d FN. . Odtud Veličina d má význam součinitele valivého tření a je udávána v metrech a označena μv. Velikost tohoto koeficientu pro valení pneumatiky auta po betonu je 0, 01 až 0, 02 m. Při valení kola vagonu po koleji je 0, 001 až 0, 002 m.

Tření a jízda automobilu V dalším výkladu se seznámíme s důležitou poučkou, která říká, že vnitřními silami nemůže být žádná mechanická soustava jako celek uvedena do pohybu. Představme si, že auto stojí na dokonale hladké ploše. Mezi jeho pneumatikami a plochou není tření. V tomto případě by se kola auta sice točila, ale auto by nejelo vpřed. Aby auto získalo potřebné zrychlení, musí působit vnější síla. Na obrázku jsou vyznačeny vnější síly působící na auto. FN 1 Fs FN 2

Tíhová síla mg se rozloží na dvě paralelní složky FN 1. FN 2. Tyto složky vyvolají statické tření (pokud pneumatiky neprokluzují). Pneumatika působí na silnici vtištěnou silou –Fv a podle předchozího výkladu pokud není překročena hodnota Fsmax, , ) , je síla statického tření rovna vtištěné síle. Síla tření Fs působí na pneumatiku podle principu akce a reakce. Tato síla působí zrychlení auta. Kdyby řidič stlačil plynový pedál příliš silně, překročila by vtištěná síla horní hranici statického tření. Pneumatiky by začaly prokluzovat a tření by se změnilo na smykové. To je ovšem za stejných podmínek menší než tření statické. Pro rychlý rozjezd auta je proto třeba volit jen takový výkon motoru, aby prokluzování nenastalo. Při zrychlování auta bez prokluzování pneumatik zůstává plocha dotyku pneumatiky a silnice v klidu. Jde tedy o klidové tření. Při prokluzování pneumatik jde o tření smykové. Při statickém tření můžeme pro zrychlení auta psát.

Podobná situace je i při brždění. Je-li brzdící síla menší než maximální hodnota statického tření, je auto bržděno silou statického tření. Když však se brzdy zablokují a pneumatiky po silnici kloužou, jde o tření smykové, které je menší. Zablokování brzd tedy vede k prodloužení brzdné dráhy. Zcela jiná je ovšem situace, kdy auto jede po silnici stálou rychlostí. V tomto případě se pneumatiky odvalují po silnici a jde tedy o tření valivé. To je značně menší než tření smykové, jak již bylo ukázáno. Za této situace je značná část výkonu motoru (při jízdě po vodorovné silnici) spotřebována na překonání odporu vzduchu. Příklad: Auto jede po vodorovné silnici rychlostí 90 km/h. Součinitelé statického a smykového tření jsou.

Jaká bude brzdná dráha když a) se kola ještě otáčejí b) jsou kola blokována ? Řešení Auto je bržděno silou tření, která nyní působí proti rychlosti. V případě a) je , b) je , Rychlost . V případě a) je s = 63, 7 m b) s = 106, 2 m

Zákon všeobecné gravitace Na přelomu 16. a 17. století se tehdejší astronomie rozhodovala mezi Ptolemaiovou a Koperníkovou soustavou. K dispozici byla přesná Tychonova měření pohybu planet. Kepler, který působil na dvoře Rudolfa II. měl tyto podklady k dispozici a vyhodnotil je. Podařilo se mu stanovit zákony pro pohyb planet: 1. Planety se pohybují po elipsách málo odlišných od kružnice, v jejichž společném ohnisku je Slunce. 2. Průvodič vedený od Slunce k planetě opisuje ve stejných dobách stejně velké plochy. 3. Poměr druhých mocnin oběžných dob planet je roven poměru třetích mocnin velkých poloos jejich drah.

Fyzikální příčinu těchto zákonů Kepler nenalezl. Pod vlivem Gilbertova díla „De Magnete…“ se domníval, že Slunce a planety se přitahují jako magnety (v té době bylo známo, že Země je velkým magnetem). Teprve Newtonovi se podařilo najít univerzální zákon přitažlivosti těles. Poprvé zákon zveřejnil ve výše uvedeném spisu v r. 1687. V následujícím textu naznačíme odvození gravitačního zákona z Keplerových zákonů.

Uvažujme o pohybu planety po kružnici o poloměru r. Potom Kde k je konstanta shodná pro všechny planety. Dostředivé zrychlení na této dráze bude Dostředivá síla proto bude kde m je hmotnost planety. ,

Kdybychom uvažovali, že Slunce obíhá Zemi, dostali bychom pro sílu mezi zemí a Sluncem Zde M je hmotnost Slunce k´ nová konstanta. Podle principu akce a reakce jsou obě síly stejně velké. Aby oba vztahy byly splněny současně, stačí položit konstantu k rovnu: Potom pro velikost síly dostáváme: G je gravitační konstanta.

Formulace zákona všeobecné gravitace Dva hmotné body o hmotnostech m 1 , m 2 se vzájemně přitahují silou, která je úměrná součinu jejich hnmotností a nepřímo úměrná čtverci jejich vzdáleností. Síla působí ve směru spojnice obou bodů. Gravitační konstanta má hodnotu. Je to malá hodnota a proto gravitační síly jsou nejslabšími silami ze čtyř základních sil v přírodě.

Vlastnosti gravitačních sil 1. Gravitační síly jsou universální – působí mezi každými dvěma tělesy. 2. Nedají se odstínit. 3. Působí na dálku a také ve vakuu.

Vektorové vyjádření zákona všeobecné gravitace m 1 m 2 F O

Jak Newton ověřoval platnost gravitačního zákona Newton ověřoval gravitační zákon na soustavě Země – Měsíc. V té době již bylo známo, že vzdálenost Měsíce od země je rovna šedesátinásobku poloměru Země: Odtud pro dostředivé zrychlení Měsíce dostáváme: Z gravitačního zákona pro sílu na povrchu Země dostáváme pro gravitační zrychlení vztah:

Pro dostředivé zrychlení Měsíce potom Vydělíme tyto dva vztahy, takže Shoda obou nezávisle získaných hodnot dostředivého zrychlení Měsíce je evidentní. Z historického hlediska je zajímavé, že hodnoty poprvé užité Newtonem nedaly dobrý souhlas. Teprve po upřesnění údajů nalezl shodu s naměřenými výsledky. Tím se zveřejnění gravitačního zákona oddálilo o několik let.

Určování gravitační konstanty Brzy po zveřejnění gravitačního zákona se ukázalo, že jeho plnému využití je třeba znát gravitační konstantu. To bylo možné uskutečnit jen experimentálně. V průběhu 18. a 19. století bylo vypracováno několik metod, které umožňovaly určit alespoň hrubě hodnotu G. Zde si uvedeme jen rámcový přehled těchto metod. 1. Odchylka svislice v blízkosti hory. Svislý směr je určen olovnicí nebo jako kolmice k rovině vodorovné. Představme si situaci jak je na obr.

Kdyby bylo měření prováděno a hora nebyla v blízkosti, směřovaly by svislé směry do středu země, jak je ukázáno plně vyznačenými čarami. Přítomnost hohy způsobí, že se olovnice vychýlí, jak je naznačeno čárkovaně. Od úhlu, který tyto nové směry svírají odečteme původní rozdíl úhlů. Tatp měření se prováděla na stejném poledníku, takže původní úhel svislic byl roven rozdílu zeměpisných šířek. ε

Hmotnost hory musí být odhadnuta z jejího objemu a průměrné hustoty. Měření na tomto základě provedl v roce 1738 Bouguer na hoře Chimboraso v Peru a v roce 1774 Maskelyne a Hutton na horském hřbetu Schiehallion (Skotsko). Znovu byla taková měření opakována Jamesem u Edinburgu. Výsledky byly zatíženy značnými chybami. 2. Měření gravitační konstanty kyvadlem. Již na střední škole se užívá pro dobu kmitu kyvadla vztah Gravitační zrychlení, které v tomto vztahu vystupuje lze ovšem určit z gravitačního zákona.

V tomto vztahu známe poloměr zemský, ale neznáme hmotnost Země. Proto se provede nové měření gravitačního zrychlení na dně hluboké šachty, kde zrychlení bude mít hodnotu Zde m je hmotnost celé zemské vrstvy, která je nad úrovní dna šachty (obr. ). Obecně platí, že. To je způsobeno tím, že jádro Země má větší hustotu než povrchové vrstvy a na dně dolu jsme tomuto jádru blíže než na povrchu. Tato měření byla prováděna několikrát, mimo jiné na šachtě sv. Vojtěcha v Příbrami. Měření nebyla příliš přesná, neboť bylo nutno odhadnout hmotnost m povrchové vrstvy, která zahrnuje i oceány a moře.

Měření g na povrchu a na dně šachty. šachta m

3. Měření G pákovými vahami. Tato měření provedl Jolly na univerzitě v Mnichově ve věži univerzitní budovy. Hlavní myšlenka je patrná z obrázku. Na čtyřech miskách byly čtyři stejné uzavřené nádobky. Dvě byly naplněny rtutí, dvě byly prázdné. Potom byly pod jednu dvojici postavena velká olověná koule. Uplatnilo se přitahování mezi nádobkou se rtutí a koulí. Jazýček vah se vyklonil, jak je naznačeno. Když se nádobky i koule přesunuly, byla výchylka na opačnou stranu. Dvě prázdné nádobky měly vyrovnávat rozdíl vztlaku vzduchu.

4. Cavendishova metoda torsních vah. Cavendishova metoda využívá torsních vah. Na tenkém drátku je zavěšena lehká tyčinka, na jejíž koncích jsou umístěny dvě stejné kuličky o hmotnosti m (viz obr. ). Když přiblížíme dvě velké koule, přitažlivá síla pootočí raménkem, jak je naznačeno na obrázku. Po přesnu velkých koulí do pozice II se situace obrátí. Z hmotností a rozměrů se dá vypočítat G.

Podrobnější informace o měření gravitační konstanty v historii fyziky se lze dočíst v knize: Záviška, F. : Mechanika, JČMF, Praha 1933.