www nr no Forelesning 3 HSTAT 1101 Ola

www. nr. no Forelesning 3 HSTAT 1101 Ola Haug Norsk Regnesentral 01. 09. 2004

Husker du? ► Komplementregelen: ► Addisjonsregelen: Spesialtilfelle: A og B disjunkte begivenheter ► Stokastisk uavhengighet: www. nr. no

Dagens temaer ► Betinget sannsynlighet ► Oppdeling av utfallsrommet - total sannsynlighet ► Bayes’ lov ► Diagnostiske tester ► (Kombinatorikk) www. nr. no

Betinget sannsynlighet ► Betinging: Hvordan tilleggsinformasjon påvirker sannsynligheten for en begivenhet ► Betinget sannsynlighet for A gitt B skrives P(A|B) og er gitt ved formelen (definisjon) ► Skjematisk: www. nr. no

Eksempel - kreft ► Kreft rammer oftere eldre mennesker enn yngre ► Definer følgende begivenheter for en tilfeldig utvalgt person: ▪ ▪ ► A: Personen får kreft i løpet av et år B: Personen tilhører aldersgruppen 70 -79 år Spørsmål: Hva er sannsynligheten for at en vilkårlig person i aldersgruppen 70 -79 år får kreft i løpet av et år, mao. hva er P(A|B)? www. nr. no

Betinget sannsynlighet ► Multiplikasjonsregelen: ► Uavhengighet: Merk at for uavhengige begivenheter A og B så er P(A|B) = P(A), dvs. tilleggsopplysningen ”B har inntruffet” endrer ikke den ubetingede sannsynligheten. Da blir www. nr. no

Eksempel - fargeblindhet Menn Kvinner Totalt Fargeblinde 37 7 44 Ikke fargeblinde 495 461 956 Totalt 532 468 1000 ► Hva er sannsynligheten for at en tilfeldig mann er fargeblind? ► Hva er sannsynligheten for at en person som vi vet ikke er fargeblind er kvinne? www. nr. no

Oppdeling av utfallsrommet - total sannsynlighet ► Ved to disjunkte hendelser total sannsynlighet at og , sier loven om ► Generelt: Hvis utfallsrommet deles inn i n disjunkte hendelser B 1, B 2, …, Bn gjelder at ► Spesielt (n=3): www. nr. no

Eksempel - doping ► Vi har tre (disjunkte!) kategorier av idrettsutøvere: A. De som doper seg nå (2%) B. De som har dopet seg tidligere (14%) C. De som aldri har dopet seg (84%) ► Spørsmål: Hva er sannsynligheten for at en tilfeldig dopingtest skal være positiv? www. nr. no

Bayes’ lov ► Fra siste del av multiplikasjonsregelen: ► og uttrykket for total sannsynlighet: ► kan vi nå avlede Bayes’ lov: ► Bayes’ lov spiller en sentral rolle i beregning av usikkerhet i diagnostiske tester www. nr. no

Eksempel – doping (forts. ) ► Spørsmål: Hva er sannsynligheten for at en idrettsutøver som avlegger positiv dopingtest, virkelig er dopet? www. nr. no

Diagnostiske tester ► Bakgrunn: Diagnostiske tester (HIV-test, graviditetstest, røntgen, . . . ) er beheftet med usikkerhet ▪ ▪ ► Falske positive (indikerer sykdom hos frisk person) Falske negative (fanger ikke opp sykdom hos syk person) Ex. HIV-test: Oppdager antistoffer mot HIV ▪ ▪ Positiv test: det er antistoffer i prøvematerialet Negativ test: det er ikke antistoffer i prøvematerialet ▪ ▪ Falsk positiv: det er antistoffer i prøven mot et beslektet virus Falsk negativ: antistoffer mot HIV er ennå ikke dannet www. nr. no

Diagnostiske tester ► Viktige begreper I ▪ Sensitivitet: Sannsynligheten for at en test slår ut positivt, gitt at personen er syk (evne til å avdekke sykdom hos syke). P(+ test | virkelig syk) Ex. HIV-test: 98. 0% Mammografi 98. 0% ▪ Spesifisitet: Sannsynligheten for at en test slår ut negativt, gitt at personen er frisk (evne til å utelukke sykdom hos friske). P(- test | frisk) Ex. HIV-test: 99. 8% Mammografi 95. 0% www. nr. no

Diagnostiske tester ► Viktige begreper II ▪ Positiv prediktiv verdi: Sannsynligheten for at en person med positiv test virkelig er syk P(syk | + test) ▪ Negativ prediktiv verdi: Sannsynligheten for at en person med negativ test faktisk er frisk P(frisk | - test) www. nr. no

Eksempel – positiv prediktiv verdi ► Spørsmål: Hva er sannsynligheten for at en person med positiv HIV-test virkelig er HIV-smittet (positiv prediktiv verdi)? www. nr. no

Diagnostiske tester ► Avhengighet av prevalens ▪ ▪ Positiv prediktiv verdi (PPV) kan være veldig avhengig av prevalensen. Tabellen nedenfor viser hvordan PPV fra eksempelet med HIV-testen endrer seg med prevalensen: Prevalens PPV P(ikke HIV | +) 1 / 10 000 5% 0. 95 1 / 1000 33 % 0. 67 1 / 100 83 % 0. 17 1 / 10 98 % 0. 02 OBS! For sjeldne sykdommer/tilstander gir dette et problem ved masseundersøkelser: De fleste av personene med positiv prøve kan faktisk være friske! www. nr. no

Kombinatorikk ► Læresetninger som tallfester mulige utfall i et eksperiment (nyttig ved bruk av gunstige/muligemetoden på store utvalg) ► Modell: Trekker s kuler fra en urne med n (nummererte/merkede) kuler og teller opp antall mulige utfall av en slik trekning ► Ulike måter å trekke på: ▪ ► Med eller uten tilbakelegging Ulike måter å organisere de uttrukne kulene på ▪ Ordnede eller ikke-ordnede utvalg www. nr. no

Kombinatorikk ► Trekking med tilbakelegging ▪ ► Etter at en kule er trukket ut, legges den tilbake i urnen igjen og har dermed samme sjanse som de øvrige kulene til å bli trukket ut på nytt. Merk at her kan s > n. Trekking uten tilbakelegging ▪ Uttrukne kuler legges ikke tilbake i urnen. Enhver kule kan dermed trekkes ut kun én gang. www. nr. no

Kombinatorikk ► Ikke-ordnede utvalg ▪ ► Betrakter kun de s kulene i det uttrukne utvalget og tar ikke hensyn til rekkefølgen de trekkes i Ordnede utvalg ▪ Skiller mellom utvalg som inneholder de samme s kulene, men hvor kulene er trukket ut i forskjellig rekkefølge www. nr. no

Kombinatorikk ► Læresetninger: ▪ Antall ordnede utvalg når s kuler trekkes blant n kuler med tilbakelegging: ▪ Antall ikke-ordnede utvalg når s kuler trekkes blant n kuler uten tilbakelegging: leses ”n over s” og kalles binomialkoeffisienten www. nr. no

Eksempel - Lotto ► Spørsmål: Hvor mange forskjellige lottorekker fins det? ▪ ▪ ▪ I Lotto trekkes s=7 kuler(!) ut fra totalt n=34. Trekkingen skjer uten tilbakelegging. Rekkefølgen kulene trekkes ut i er uten betydning, dvs. vi kan se på et ikke-ordnet utvalg. Antall mulige utvalg (=rekker) er da www. nr. no

Eksempel - tipperekker ► Spørsmål: Hva er antall mulige rekker man kan føre opp på en tippekupong? ▪ ▪ ▪ En tipperekke kan tenkes å ha fremkommet ved at n=3 kuler merket ”H”, ”U” og ”B” trekkes s=12 ganger, dvs. vi trekker med tilbakelegging Kamprekkefølgen tas hensyn til gjennom å se på ordnede utvalg (HUU… gir en annen tipperekke enn UHU…) Antall mulige rekker: 312 = 531 441 www. nr. no

Eksempel – tilfeldig utvalg ► En gruppe studenter består av 5 gutter og 6 jenter ► Trekker et utvalg på 4 personer tilfeldig fra gruppen ► Spørsmål: Hva er sannsynligheten for at utvalget blir sammensatt av kun jenter? www. nr. no

Kommentar ► Utfordring: ▪ ► Vi har et sett av regneregler for sannsynligheten av hendelser, men utfordringen er ofte å spesifisere ”hensiktsmessige” hendelser slik at vi kan anvende formelverket Tips ▪ Prøv å bryte informasjonen som er gitt ned i hendelser med kjent sannsynlighet. Bygg deretter opp mer komplekse sannsynligheter ut fra disse + regnereglene www. nr. no