Projekt Z FIZYK MATEMATYK I PRZEDSIBIORCZOCI ZDOBYWAMY WIAT

Projekt „Z FIZYKĄ, MATEMATYKĄ I PRZEDSIĘBIORCZOŚCIĄ ZDOBYWAMY ŚWIAT !!! " jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Program Operacyjny Kapitał Ludzki 2007 -2013 CZŁOWIEK – NAJLEPSZA INWESTYCJA Publikacja jest współfinansowana przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Prezentacja jest dystrybuowana bezpłatnie

• Nazwa szkoły: Gimnazjum im. Noblistów Polskich w Koźminku • ID grupy: 98/44_mf_g 2 • Opiekun: p. Edyta Trocha • Kompetencja: Matematyczna • Temat projektowy: Od równań liniowych do stycznych do krzywych drugiego stopnia • Semestr/rok szkolny: Semestr IV, rok szkolny 2011/2012

Temat, jaki wybraliśmy do realizacji projektu „Z fizyką, matematyką i przedsiębiorczością z dobywamy świat” w IV semestrze „Od równań liniowych do stycznych do krzywych drugiego stopnia” W ramach tego tematu, omawialiśmy najważniejsze zagadnienia dotyczące rozwiązywania równań i układów równań. Słuchaliśmy wykładu rozwiązywaliśmy przygotowane zadania i układaliśmy własne równania i układy równań wykorzystując rekwizyty.

Głównym naszym założeniem było: • doskonalenie umiejętności matematycznych zgodnych z podstawą programową, • rozwijanie własnych zainteresowań, • umiejętne selekcjonowanie i przetwarzanie wyszukiwanych przez nas informacji, • wyrabianie umiejętności współpracy z kolegami w grupie. Każdy z nas przygotowywał określone zadania według wcześniej wspólnie ustalonej instrukcji. Zapraszamy więc do obejrzenia efektów naszej pracy!

• Najstarszy zachowany podręcznik matematyki : • - egipski papirus sprzed 3500 lat • - w znacznej części jest poświęcony rozwiązywaniu równań. • Fragment tego słynnego papirusu „ Znajdź taką wielkość, która powiększona o jej siódmą część dla liczby 19”. Pomijając proste rachunki, równania stanowią zatem chyba najstarszą część szkolnej wiedzy.

Równanie postaci ax + b = 0 gdzie x jest niewiadomą oraz a i b są dowolnymi liczbami nazywamy równaniem liniowym z jedną niewiadomą. Liczby a i b nazywamy współczynnikami równania. Liczba rozwiązań równania liniowego zależy od wartości współczynników a i b. Równanie, które ma jedno rozwiązanie nazywamy równaniem oznaczonym. Równanie, które ma nieskończenie wiele rozwiązań nazywamy równaniem nieoznaczonym.

Równanie, które spełnia każdy obiekt z jego dziedziny, nazywamy równaniem tożsamościowym. Równanie, które nie ma rozwiązań nazywamy równaniem sprzecznym. Równania posiadające te same zbiory rozwiązań nazywamy równoważnymi. Np. . 2 x + 3 = x (równanie oznaczone - tylko jedno rozwiązanie) 2 = 1 (równanie sprzeczne - brak rozwiązań) sin 2 x + cos 2 x = 1 (równanie tożsamościowe) cos(x) = 0 (równanie nieoznaczone - nieskończenie wiele rozwiązań) x + y = 1 (równanie z dwiema niewiadomymi - ma nieskończenie wiele rozwiązań)

Układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi a 1 x+b 1 y=c 1 a 2 x+b 2 y=c 2 Układ równań gdzie a 1, a 2, b 1, b 2 c 1, c 2 są dowolnymi liczbami przy czym a 1 i a 2 oraz b 1 i b 2 nie mogą być jednocześnie zerami nazywamy układem dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi. Rozwiązaniem układu dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi nazywamy każdą parę liczb (x, y), która spełnia jednocześnie oba równania układu. Liczba rozwiązań układu dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi zależy od wartości współczynników obu równań liniowych układu.

Układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi może: • - mieć dokładnie jedno rozwiązanie, którym jest para liczb (układ oznaczony), • - mieć nieskończenie wiele rozwiązań (układ nieoznaczony), • - nie mieć rozwiązań (układ sprzeczny). Interpretacja geometryczna układu równań liniowych. Dla układu oznaczonego rozwiązaniem są współrzędne punktu przecięcia prostych o podanych równaniach, Dla układu nieoznaczonego proste mają nieskończenie wiele punktów wspólnych zatem proste się pokrywają. Dla układu sprzecznego proste nie mają punktów wspólnych, są równoległe.

Rozpatrywaliśmy przykłady układów równań sprzecznych Rozpatrywaliśmy przykład układu równań zależnych.

Niech będzie dany układ równań a 1 x+b 1 y=c 1 a 2 x+b 2 y=c 2 Metoda podstawiania Metoda polega na wyznaczeniu jednej niewiadomej z jednego z równań układu i podstawieniu wyznaczonej niewiadomej do drugiego równania. Uzyskujemy w ten sposób równanie liniowe z jedną niewiadomą. Wyznaczoną z tego równania niewiadomą podstawiamy do drugiego równania i otrzymujemy wartość drugiej niewiadomej.

Rozwiązywanie układów równań pierwszego stopnia z dwoma niewiadomymi metodą podstawiania Mamy dany układ równań: Z jednego równania wyznaczamy niewiadomą x lub y: Tak wyznaczoną niewiadomą wstawiamy do drugiego w układzie równania: W ten sposób doprowadziliśmy drugie równanie do równania z jedną niewiadomą. Rozwiązujemy je: Wyliczyliśmy jedną niewiadomą, którą teraz wstawiamy do drugiego równania:

Metoda przeciwnych współczynników Metoda ta polega na pomnożeniu równań układu przez odpowiednio dobrane liczby, tak aby po dodaniu równań stronami otrzymać równanie z jedną niewiadomą. (Tę metodę pokażemy w przykładach, które przygotowaliśmy) Metoda graficzna Metoda ta polega na wykreśleniu w prostokątnym układzie współrzędnych wykresu każdego równania układu i odczytaniu współrzędnych punktów wspólnych dla obu prostych. Jeżeli dwie proste są równoległe i nie mają punktów wspólnych, to układ równań nie ma rozwiązania, jeżeli natomiast równania układu opisują tę samą prostą, to rozwiązaniem układu równań są współrzędne wszystkich punktów należących do tej prostej - jest ich nieskończenie wiele.

jedno rozwiązanie –układ oznaczony Układ równań, który nie ma rozwiązań nazywamy sprzecznym. Układ równań, który ma nieskończenie wiele rozwiązań nazywamy nieoznaczonym. – proste się pokrywają.

Metoda wyznaczników polega na wyznaczeniu tzw. wyznaczników i na podstawie ich wartości przeprowadzeniu analizy rozwiązań układu równań. Wyznacznik utworzony ze współczynników przy niewiadomych nazywamy wyznacznikiem głównym i oznaczamy przez W. Liczby W, Wx, Wy nazywamy wyznacznikami. W jest wyznacznikiem głównym układu. Jeżeli rozwiązanie: Jeżeli to układ jest układem równań niezależnych i posiada dokładnie jedno układ jest układem równań sprzecznych i nie posiada rozwiązań. Jeżeli jest to układ równań zależnych i posiada nieskończenie wiele rozwiązań. (Metodę tę pokażemy w przygotowanym zadaniu)

• Zbiór punktów powstałych na przecięciu stożka (ściślej powierzchni stożkowej, której kierującą jest okrąg) i płaszczyzny. Krzywe stożkowe są nazywane inaczej krzywymi drugiego stopnia, gdyż można je w kartezjańskim układzie współrzędnych opisać równaniem algebraicznym drugiego stopnia względem obu zmiennych x i y. • Stożkowe są niezmiennikami przekształcenia rzutowego i stąd grają pewną rolę w geometrii rzutowej. Typ stożkowej może się przy tym zmieniać, stożkowe można w tym sensie uznać za rzuty okręgu na płaszczyznę.

• Hiperbola - jeżeli kąt pomiędzy płaszczyzną tnącą, a osią stożka jest mniejszy od kąta pomiędzy osią stożka a jego tworzącą. • Hiperbola powstaje również, gdy płaszczyzna tnąca jest równoległa do osi stożka, ale nie obejmuje tej osi. W szczególnym przypadku, gdy oś stożka jest zawarta w płaszczyźnie tnącej, otrzymuje się parę przecinających się prostych, będącą zdegenerowanym przypadkiem hiperboli.

• Parabola - jeżeli kąt pomiędzy płaszczyzną tnącą, a osią stożka jest równy kątowi pomiędzy osią stożka, a jego tworzącą. Czyli tworząca jest równoległa do płaszczyzny tnącej. • W szczególnym przypadku, gdy płaszczyzna tnąca pokrywa się z tworzącą, otrzymuje się prostą (parabola zdegenerowana).

• Elipsa to gładka krzywa zamknięta symetryczna względem jej środka. Odległość między punktami antypodycznymi elipsy czyli parami punktów, których środek odcinka przez nie wyznaczany jest zarazem środkiem symetrii elipsy, jest maksymalna i minimalna wzdłuż dwóch prostopadłych kierunków – osi wielkiej (średnicy transwersalnej) oraz osi małej (średnicy sprzężonej). • Półoś wielka i półoś mała (oznaczone na rysunku odpowiednio przez a i b) są połowami odpowiednio osi wielkiej i małej. Jeżeli a jest równe b, to ogniska pokrywają się ze środkiem i wówczas elipsa staje się okręgiem o promieniu r = a = b.

Okrąg o środku (0, 0) i promieniu r jest zbiorem punktów P = (x, y), spełniających warunek: x 2 + y 2 = r 2. Warunek ten nazywamy równaniem okręgu. Ćw. 1. Napisz równanie i narysuj okrąg o środku (0, 0) i promieniu: a)6; odp: x 2 + y 2 =36 b) 3 odp: x 2 + y 2 =9 Ćw. 2. Narysuj okrąg o równaniu: a) x 2 + y 2 = 49; odp. s(0, 0) r=7 b) x 2 + y 2 = 25; odp. s(0, 0) r=5

Równaniem okręgu o środku (a, b) i promieniu r jest: (x - a)2 + (y - b)2 = r 2. Ćw. 3. Napisz równanie i narysuj okrąg o podanym środku S i promieniu r: a) S = (-4, 1), r = 6; odp: (x + 4)2 + (y - 1)2 = 62. b) S = (2, -1), r = 3 Ćw. 4. odp: (x - 2)2 + (y + 1)2 = 32. Narysuj okrąg o równaniu: a) (x + 3)2 + (y - 4)2 = 25; odp: s(-3, 4) r=5 b) (x - 1)2 + (y + 3)2 = 1; odp: s(1, -3) r=1

Wielkości wprost proporcjonalne to dwie zmieniające sie wielkości w taki sposób, że wzrost jednej powoduje wzrost drugiej o tyle samo np. Jeśli długość trasy rośnie, to i zużycie paliwa teź rośnie. Jeśli długość trasy rośnie dwukrotnie i zużycie paliwa także rośnie dwukrotnie.

Wielkości odwrotnie proporcjonalne to dwie zmieniające się wielkości w taki sposób, że wzrost jedenj powoduje zmniejszenie się drugiej. • np. im więcej robotników, tym czas wykonania pracy jest krótszy. Zależność y=a*x, gdzie x jest różne od 0, a jest różne od 0 nazywa się proporcjonalnością prostą, a liczba a nazywa się współczynnikiem proporcjonalności. Zależność między dwiema wielkościami x i y, wyrażona wzorem y*x=a lub y=a/x, gdzie x jest różne od 0, a jest wielkością stałą "a" różne od 0, nazywamy proporcjonalnością odwrotną. Liczbę "a" nazywamy współczynnikiem proporcjonalności odwrotnej.

v Ciekawostki v Aryabhata. VI wiek n. e. Twórca algebry. Rozwiązywał równania kwadratowe. v Brahmagupta VII wiek n. e. Podał ogólne rozwiązanie równania liniowego z dwiema niewiadomymi. Pierwszy używał liczb ujemnych. v Abu-l-Wafa. X wiek n. e. Badał równania sześcienne i dwukwadratowe. v Ibn Al Haitham (Alnazen) XI wiek n. e. Rozwiązywał równania dwukwadratowe v Chin Chiu Shoa. XIII wiek n. e. Podał numeryczne metody rozwiązywania równań dowolnego stopnia. Rozwiązywał układy kongruencji liniowych. v Leonardo da Vinci. XV wiek n. e. Rozwiązywał równania sześcienne typu x 3+mx=n.

v Niccolo Fontana (Tartaglia)XVI wiek n. e. Odkrył ogólną metodę rozwiązywania równań trzeciego stopnia. v Gerolamo Cardano XVI wiek n. e. Podał rozwiązania równań trzeciego stopnia z użyciem liczb urojonych. v Lodovico Ferrari XVI wiek n. e. Odkrył ogólną metodę rozwiązywania równań stopnia czwartego. v Francois Viete XVI wiek n. e. Korzystając z trygonometrii otrzymał rozwiązanie równania sześciennego. v Colin Maclaurin XVIII wiek n. e. Podał wzory na rozwiązywanie układów równań liniowych. v Jean Baptiste Fourier XIX wiek n. e. Badał układy równań różniczkowych.

v Niels Henrik Abel XIX wiek n. e. Wykazał nieistnienie ogólnych wzorów na pierwiastki równań stopnia wyższego niż cztery. v Evariste Galois XIX wiek n. e. Podał kryteria charakteryzujące te równania stopnia wyższego niż cztery, które daje się rozwiązać za pomocą podstawowych działań arytmetycznych. v Henri Poincare XIX wiek n. e. Jeden z twórców topologii i jakościowej teorii równań różniczkowych. v Elie Cartan. XX wiek n. e. Udowodnił wiele podstawowych twierdzeń dotyczących teorii grup, geometrii różniczkowej, układów cząstkowych równań różniczkowych.

Pociąg przejechał 300 km w ciągu 4 godzin. Ile kilometrów przejechał w ciągu 6 godzin? 300 km – 4 h 150 km – 2 h 450 km – 6 h Odp. W ciągu 6 godzin przejechał 450 km.

Fale głosowe w powietrzu rozchodzą się z prędkością 1 km w ciągu 3 s. W jakiej odległości od nas uderzył piorun, jeżeli usłyszeliśmy huk po 15 sekundach ? Odp. Piorun uderzył w odległości 5 km.

Cztery maszynistki mogą przepisać rękopis w ciągu 8 i 1/3 h. Ile trzeba zatrudnić maszynistek, żeby ta praca mogła być przepisana o 1 h i 40 minut szybciej ? Zakładamy, że tempo pracy każdej maszynistki jest takie same. Odp. Potrzeba 5 maszynistek, aby tekst przepisany został w ustalonym czasie.

Książka ma 160 stronic, na każdej stronie są 44 wiersze, a w każdym wierszu 72 litery. Ile stronic będzie liczyło nowe wydanie tej książki, jeżeli na każdej stronie będzie 36 wierszy, a w każdym wierszu 55 liter ? Odp. Nowe wydanie będzie liczyło 256 stron.

7 kg benzyny ma objętość 10. 5 litrów. Jaka pojemność powinno mieć naczynie, aby pomieściło 12. 6 kg benzyny ? Odp. Naczynie powinno mieć pojemność 18, 9 l.

W sklepie z zabawkami 3 misie i 2 lalki kosztują 48 złotych. 3 lalki i 5 piesków kosztuje 51 złotych. 4 pieski i 6 misiów kosztuje 60 złotych. Oblicz cenę każdej z zabawek. Odp. Miś kosztuje 8 zł, lalka 12 zł a piesek 3 zł.

W szufladzie Mateusza jest 16 ołówków i długopisów. Długopisów i piór jest 9. Piór i ołówków jest 13. Ile jest piór, ile ołówków a ile długopisów w szufladzie Mateusza? Odp. W szufladzie Mateusza jest 10 ołówków, 6 długopisów i 3 pióra.

Zosia kupiła 7 bułek. Podała Pani ekspedientce monetę 2 złotową i otrzymała 25 groszy reszty. Ułóż równanie, które pozwoli Ci obliczyć cenę x – cena bułki 7 x = 2 – 0, 25 7 x = 1, 75 | : 7 x = 0, 25 Odp. Jedna bułka kosztuje 25 groszy. jednej bułki.

Apolonia ma 7 razy więcej monet 2 złotowych niż monet 5 złotowych. W sumie ma 323 zł. Ile Apolonia ma monet 5 złotowych a ile 2 złotowych? Odp. Apolonia ma 119 monet 2 -złotowych i 17 monet 5 -złotowych.

Cenę telewizora dwukrotnie obniżono o 10% ile kosztuje obecnie telewizor jeżeli jego cena jest o 190 zł niższa od początkowej? 100% - 10% = 90% * 10 % = 9% 100% - 10% - 9% = 81% 100% - 81% = 19%x = 190 | : 0, 19 x = 1000 zł 1000 zł – 190 zł = 810 zł Odp. Telewizor kosztuje 810 zł.

Klient wziął z banku kredyt. Po roku wpłacił do banku 2300 zł jako spłatę kredytu wraz z należnymi odsetkami. Oprocentowanie kredytu wynosi 15%, ile złotych stanowiły odsetki? x – kredyt x + 15%x = 2300 1, 15 x = 2300 x = 2000 2300 – 2000 = 300 zł Odp. Odsetki stanowiły 300 zł.

Rozwiąż graficznie układ równań: b) a b y 1 y 2 x y 1 y 2 -3 -5 -6 2 2 -2 -3 -4 -1 -1 -2 1 0 0 1 3 2 2 5 4 3 7 6

Rozwiąż algebraicznie układ równań: O nie jest równe -1

Rozwiązaniem układu równań jest para liczb x=-1 i y=2. Znajdź liczby m i n. 2 m=6/: 2 m=3 Liczba m to 3 a n to -2.

Rozwiąż metodą wyznacznikową i graficznie następujący układ równań: W=|-5 -15|=9*(-5) -20 *(-15)=-45+300=255 |20 9| Wx=|-6 -15|=9*6 -(-15)*10=54+150+204 |10 9 |

W=|-5 -15|=9*(-5) -20 *(-15)=-45+300=255 |20 9| Wx=|-6 -15|=9*6 -(-15)*10=54+150+204 |10 9| Wy=|-5 6 |=-50 -120=-170 |20 10| X= = Y= =-170/255 =0, 8 =-0, (6) a b y 1 y 2 x y 1 y 2 -1 1 30 -0, 5 3, 5 20 0 6 10 5 -20 0, 5 8, 5 0 6 10 1 1, 5 11 13, 5 -10 -20 2 16 -30

Jeżeli do liczby dwucyfrowej dodamy liczbę jedności , to otrzymamy 38. Jeżeli w tej liczbie przestawimy cyfry i od tej otrzymanej odejmiemy sumę jej cyfr, to otrzymamy 36 znajdź ta liczbę. Odp. Liczba szukana to 34.

Układy równań z których jedno jest liniowe

X 2+y 2=25 y=5 Rozwiązaniem jest punkt (0, 5)

x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 y 1 2 2 2 2 2 y 2 32 18 8 2 0 2 8 18 32 y= 2 x 2 Rozwiązaniem są pkt. (-1, 2) oraz (1, 2)

y=x+1 y= x 2+1 x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 y 1 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 y 2 17 10 5 2 1 2 5 10 17

1. Na początku pewnego ważnego spotkania było o 5 kobiet więcej niż mężczyzn. Po 15 min przyszli spóźnieni pan Józio i 3 kobiety. Wtedy pan Tadzio zauważył, że kobiet jest dwa razy więcej niż mężczyzn. Ile osób było na spotkaniu ?

x-kobiety y-mężczyźni x=y+5 x+3=2(y+1) -x =-11 |*(-1) x=11 x-y=5 x+3=2 y+2 x=y+5 11 -5=y y=6 x-y=5 |*(-2) x-2 y=2 -3 x=11 y=6 -2 x+2 y=-10 x-2 y=-1 Odp. 11 kobiet + 6 mężczyzn = razem 21 osób.

Ania i Bogdan ważą razem 70 kg. Gdyby Ania przytyła 4 kg, a Bogdan 3 kg schudł to oboje ważyliby tyle samo. Ile waży Ania , a ile Bogdan? ? a – waga Ani b – waga Bogdana a + b = 70 kg a + 4 kg = b – 3 kg a + b = 70 kg a – b = - 7 kg 2 a = 63 kg| : 2 a = 31, 5 kg + b = 70 kg b = 38, 5 kg Odp. Ania waży 31, 5 a Bogdan 38, 5 kilograma. a = 31, 5 kg b = 38, 5 kg

Ania, Ola i Kasia mają razem 40 lat. Suma wieku Ani i Kasi jest taka sama jak wiek Oli. Ania ma 3 razy więcej lat niż Kasia. Ile lat mają dziewczyny? x + y + z = 40 x - wiek Asi 2 * 3 z + 2 z=40 15 + z = 40 3 z=x y - wiek Oli z = 20 z - wiek Kasi 8 z = 40 /: 8 z = 5 x+y+z=40 x=15 x+z=y y=20 3 z = x 3 z=x 3 * 5 = x x = 15 2 x + 2 z = 40 3 z=x Odp. Asia ma 15 lat, Ola 20 lat a Kasia 5 lat.

Mam x ocen z matematyki, a moja średnia wynosi 4, 33 . Ocen celujących mam , bardzo dobrych 25%, dobrych , a reszta ocen to oceny dostateczne. Ile mam ocen z matematyki? x – liczba ocen z matematyki 4, 33= x = 12 Odp. Mam 2 oceny celujące, 3 oceny bardzo dobre, 4 dobre i 3 dostateczne

Wnuczek ma tyle miesięcy co dziadek lat. Razem mają 91 lat. Ile lat ma dziadek, a ile wnuczek. n - lata/miesiące n+n/12=91*12 13 n=1092 n=84 84: 12=7 Odp. Dziadek ma 84 lata a wnuczek 7 lat.

Ela i Jola są bliźniaczkami. Ile lat ma Kasia? Jeśli Jola powiedziała: Jestem o 8 lat starsza. x - wiek Kasi A Ewa: Jestem 3 razy starsza od Kasi. 8 + x = 3 x 3 x – x = 8 2 x = 8 | : 2 x = 4 Odp. Kasia ma 4 lata.

W gospodarstwie było w sumie 40 sztuk owiec i kur. Zwierzęta razem mają x- owce y- kury razem 124 nogi. Ile było owiec a ile kur ? 4 x+2 y=124 88+2 y=124 2 y=36/: 2 x+y=40/*(-2) y = 18 4 x+2 y=124 x=22 -2 x-2 y=-80 y=18 4 x+2 y=124 2 x=44/: 2 x=22 Odp. W tym gospodarstwie było 22 owiec i 18 kur.

Flamaster jest o 1 zł tańszy od batonika. Razem kosztują tyle co 2 grube zeszyty każdy po 2, 20 zł. Ile kosztuje flamaster a ile batonik? x- cena flamastra y=2, 70 y-1=x y- cena batonika y=2, 70 2, 20 *2=4, 40 2, 70 -1=x x = 1, 70 x+y=4, 40 y-1=x y=2, 70 x=1, 70 x+y=4, 40 -x+1 = -y 2 y=5, 40/ : 2 Odp. Flamaster kosztuje 1, 70 zł a batonik 2, 70 zł. y=2, 70

Ania i Robert mają w sumie 26 lat temu Ania miała tyle lat ile Robert ma teraz. Ile lat ma Ania a ile Robert? x - wiek Ani y - wiek Roberta x+y=26 x-6=y /*(-1) x+y=26 -x+y=-6 2 y=20/: 2 y=10 x+y=26 x=26 -10 x = 16 y=10 x=16 Odp. Ania ma 16 lat, a Robert 10 lat.

Stół i 6 krzeseł kosztowały 1020 zł. Cenę stołu obniżono o 10%, a cenę krzesła o 20%. Teraz za zestaw trzeba zapłacić 846 zł. Ile kosztował stół, a ile x-cena stołu y- cena krzesła x+6 y=1020 0, 9 x+6*0, 8 y=846 x=1020 -6 y 0, 9(1020 -6 y)+4, 8 y=846 krzesło przed obniżką? x=1020 -6 * 120 x=1020 -720 x = 300 y = 120 Odp. Stół kosztował 300 zł a krzesło 120 zł. 918 -5, 4 y+4, 8 y=846 -0, 6 y=-72 /(-o, 6) y=120

Ania kupowała prezenty dla rodziny. Dla sióstr kupiła 2 miśki, dla babci portfel a dla mamy biżuterie. Portfel był o 5 zł droższy od miśka, a biżuteria o 5 zł tańsza od dwóch miśków. Prezenty kosztowały 60 zł. Ile kosztował każdy prezent? x-cena misia 2 x+x+5+2 x-5=60 5 x=60/5 x=12 Odp. Miśki kosztowały 24 zł, portfel 17 a 19 zł biżuteria.

W hotelu "Pod różami’’ jest 70 miejsc noclegowych w pokojach dwuosobowych i trzyosobowych. Wszystkich pokoi jest 29. Ile jest w tym hoteliku pokoi dwuosobowych , a ile trzyosobowych? ? x- pokoje dwuosobowe y- pokoje trzyosobowe 2 x + 3 y = 70 x + y = 29 |*(-2) 2 x + 3 y = 70 -2 x – 2 y = -58 y = 12 2 x + 36 = 70 2 x = 70 – 36 2 x = 34 I : 2 x = 17 y = 12 x = 17 Odp. Pokoi trzyosobowych jest 12, a dwuosobowych 17.

Wnioski • Wiadomości, które omawialiśmy na projekcie wzbogaciły naszą wiedzę , która ułatwia nam rozwiązywanie trudniejszych zadań matematycznych a tym samym pomaga w utrwaleniu równań i nierówności do egzaminu gimnazjalnego • Wyszukiwanie w podręcznikach, czy też na stronie internetowej treści na określony temat nauczyło nas wybierania tego co najważniejsze.

v v v v www. wikipedia. pl www. ściąga. pl www. bryk. pl www. moskat. pl http: //www. bazywiedzy. com www. math. edu. pl http: //www. jakubas. pl http: //www. matematyka. pl v „Matematyka – zabiór zadań” Jacek Lech