Wiskunde en verkeer Johan Deprez Nationale Wiskunde Dagen

Wiskunde en verkeer Johan Deprez Nationale Wiskunde Dagen – Noordwijkerhout, 05/02/10 slides: www. ua. ac. be/johan. deprez > Documenten

lerarenopleiding wiskunde Kennismaking redactielid tijdschrift Uitwiskeling (www. uitwiskeling. be) lid stuurgroep T 3 (www. t 3 vlaanderen. be) economisch hoger onderwijs van 2 cycli, wiskunde in de Bachelor Handelswetenschappen 1

Deze sessie • gebaseerd op materiaal uitgewerkt met Hilde Eggermont voor tijdschrift Uitwiskeling • vorm Ø twee werkmomenten + oplossingen • oversteken / de fietser niet gezien • verkeerslichten Ø eventueel, kort: verkeersdrempels • slides op www. ua. ac. be/johan. deprez > Documenten • werkbladen: www. uitwiskeling. be > Werkbladen • volledige tekst: Uitwiskeling 25/3 (zomer 2009) • tekst over het verkeerslichtenprobleem verschijnt in Nieuwe Wiskrant 2

Oversteken • • Arne en kleine zusje Emma steken de straat over… … tussen geparkeerde auto’s. Zien ze rijdende auto’s tijdig aankomen? Zie werkblad (opgaven + tekening) 3

De fietser niet gezien fietspad fietser verborgen achter stijl Hoe snel reed de fietser? Welke verdere gegevens heb je nodig? Verzin passende gegevens en bereken daarmee de snelheid van de fietser! 4

Oversteken: oplossing 7. 75 m 8. 51 m 2. 14 m 5

Oversteken: commentaar • Is het Nederlandse verkeersreglement anders op dit punt? • Een meer open versie kan ook: niet met deelvraagjes werken Ø leerlingen informatie laten opzoeken: regels uit het verkeersreglement, afmetingen van auto’s, … Ø • Je kan ook de 3 de dimensie toevoegen. 6

De fietser niet gezien: oplossing fietspad snelheid auto = 10 km/h S bestuurder B stijl 55 cm 110 cm Fietser rijdt 20 km/h (werk met afstand i. p. v. snelheid; gebruik gelijkvormige driehoeken) C 7

Het verkeerslichtenprobleem • Op een lange rechte weg nader je een verkeerslicht. Het springt op oranje. Wat doe je? • Zet de eerste stappen in het ontwerp van een chip die de snelheid van de auto regelt 25 seconden tot groen Ø beginsnelheid: 20 m/s Ø 200 m tot het verkeerslicht Ø auto is alleen op de weg Ø • tips gebruik aanvankelijk alleen bewegingen met constante snelheid of constante versnelling Ø grafische voorstellingen kunnen helpen Ø wat is de ‘beste’ manier om de snelheid te regelen? Ø 8

Eerste model • Rem met een gepaste constante negatieve versnelling a zo dat je het verkeerslicht op het juiste moment passeert. • x(t): positie i. f. v. tijd • ? a zo dat x(25)=200 ? ? ? We rijden het licht • geeft a = – 0. 96 m/s 2 eerst voorbij en keren daarna terug… • geeft eindsnelheid v(25) = – 4 m/s x(t) 9

Tweede model: eerst afremmen, dan met constante snelheid verder versnelling a tot tijdstip t 1 snelheid v 1 a=helling van de schuine rechte x(25)=oppervlakte onder de grafiek v-t-grafiek is beter dan x-t-grafiek! 10

Tweede model 2 onbekenden: a en t 1 1 voorwaarde: x(25)=200 1 vrijheidsgraad over versnelling a tot tijdstip t 1 snelheid v 1 schrijf a en v 1 i. f. v. t 1 bijkomende voorwaarde: maximaliseer v 1 11

Tweede model ? a en t 1 zo dat x(25)=200 schrijf a en v 1 i. f. v. t 1 versnelling a tot tijdstip t 1 snelheid v 1 i. f. v. t 1 a i. f. v. t 1 1) 0 t 1 25 2) v 1<0 uitsluiten 12

versnelling a tot tijdstip t 1 a i. f. v. t 1 Tweede model snelheid v 1 i. f. v. t 1 bijkomende voorwaarde: maximaliseer v 1 lijkt maximaal (v 1=8) als t 1=0 ? ? ? ‘ogenblikkelijk afremmen’ (a=– ) tot v 1=8 a begrensd: a=– 8 (noodstop), a=– 4 (beschaafd) Besluit: v 1 is maximaal als a=– 4 (t 1=3. 21, v 1=7. 16) 13

Nog beter (hogere min. snelheid)? helling nergens lager dan – 4 a = – 4 (helling) in eerste deel ligt volle lijn niet onder stippellijn nergens lager dan v 1 in tweede deel ligt volle lijn niet onder stippellijn oppervlakte onder beide grafieken moet 200 zijn Besluit: grafieken vallen samen 14

Beter? (min. tijdverlies ipv. zuinigste) andere criterium voor ‘het beste’! Andere interpretatie van ‘beter’ geeft andere oplossingen bij groen rijd je het verkeerslicht voorbij aan 20 m/s: minder tijdverlies 5 s stilstaan op 100 m van het verkeerslicht nu wordt geaccelereerd van 0 tot 20 m/s: minder zuinig 15

De verkeersdrempel 16

17

18

Aan 10 m/s over de drempel verticale versnelling massacentrum van de wagen hoogte drempel tijd achterliggende wiskunde: differentiaalvergelijking gedwongen harmonische trilling (zonder demping, al dan niet door de leerlingen op te stellen/op te lossen) absolute waarde versnelling maximale absolute waarde versnelling 19

horizontale snelheid = 10 m/s Verschillende snelheden toename van de maximale versnelling is maximaal 20

Bedankt voor uw aandacht!