Wiskunde B 12 tot 2007 Wiskunde B vanaf

Wiskunde B 12 tot 2007 Wiskunde B vanaf 2007 760 uur 600 uur Vaardigheden. informatievaardigheden onderzoeksvaardigheden oriëntatie op studie en beroep technisch instrumentele vaardigheden informatievaardigheden onderzoeksvaardigheden technisch instrumentele vaardigheden oriëntatie op studie en beroep Algebraïsche vaardigheden Functies en grafieken 100 Functies en grafieken Discrete Analyse 40 Discrete Analyse Meetkunde 40 Combinatoriek en kansrekening 100 Differentiaal en integraalrekening 120 Continue dynamische modellen 40 Goniometrische functies 40 Normale verdeling en toetsen van hypothesen 40 Keuzeonderwerpen Voortgezette meetkunde 120 Voortgezette meetkunde Voortgezette analyse 80 Differentiaal en integraalrekening Goniometrische functies 1

Waarom extra onderwerpen statistiek in wiskunde D? Statistiek en kansrekening 120 + 40 Meetkunde 80 Complexe getallen 40 Dynamische modellen 80 Vervolg dynamische modellen 40 Keuzeonderwerp 40 2

üHet is het grootste onderdeel van wiskunde D üEr is ruimte gereserveerd voor een profielspecifieke invulling üEigen gezicht aan wiskunde D üMogelijkheden van de populatie benutten. • Ze hebben allemaal wiskunde B • Niemand hoeft tegen zijn zin wiskunde B te kiezen. üMaatschappelijk relevante en/of moderne onderwerpen. • Waaraan moet een goed onderzoek voldoen? • Wachttijdentheorie • Financiële wiskunde 3

Wachttijdentheorie: een prachtig stukje wiskunde B! ü Hoe zou een leerlijn voor dit onderwerp eruit kunnen zien? ü En is dat volgens u te behappen voor de leerlingen? 4

Geometrische verdeling Wachten totdat een gebeurtenis (met kans p op succes) zich voor het eerst voordoet. X is het nummer van de eerste keer succes. De kansverdeling van X: k 1 2 3 4 5 P(X)=k p qp q 2 p q 3 p q 4 p … 5

De Poissonverdeling 6

De som van al deze kansen is 1 en de verwachtingswaarde is natuurlijk … Hierbij gebruik je Op wisk-B niveau is dit aan te tonen door te differentiëren en met de beginvoorwaarde rekening te houden. Voor de verwachtingswaarde geldt: 7

Algemeen: Stel er komen gemiddeld klanten per tijdseenheid t en Xt is het aantal klanten dat per t tijdseenheden binnenkomt, Dan is: 8

Wachten op de volgende klant en dus is dus de verdelingsfunctie en de afgeleide is de bijbehorende kansdichtheidsfunctie. en 9

Het M/M/1 systeem Dit is een systeem met één bewerkingsfase en één loket. Er gelden nog de volgende voorwaarden • Klanten worden geholpen volgens het FIFO-systeem. First In First Out. • Iedere klant wacht tot hij geholpen is. • Het aankomstgedrag van iedere klant is onafhankelijk van dat van andere klanten, maar gemiddeld is het aantal klanten dat per tijdseenheid binnenkomt constant • Er zijn oneindig veel klanten (Poissonproces) • Behandelduren verschillen van klant tot klant en zijn onafhankelijk van elkaar, maar gemiddeld is het aantal klanten μ dat per tijdseenheid geholpen kan worden constant. • Behandeltijden zijn volgens een negatief exponentiele kansverdeling verdeeld • μ> 10

De verwachtingswaarde van het aantal malen dat toestand n wordt bereikt, is De verwachtingswaarde van het aantal malen dat toestand n wordt verlaten is Er is evenwicht als 11

Het getal noemen we de verkeersintensiteit en dus en dit geeft 12

Omdat we ook nog weten dat de som van alle kansen 1 is krijgen we de relatie 13

Het verwachte aantal klanten in het systeem is dan (gebruik nu de somformule van een rekenmeetkundige rij) 14

Nog een belangrijkere grootheid is het gemiddeld aantal klanten dat in de wachtrij staat: 15

Factoren vanuit de klant gezien: de verwachte waarde van de totale verblijftijd en de verwachte waarde van de wachttijd. Omdat: kunnen we afleiden 16

M/M/k systeem o o Het vervolg is duidelijk: wat gebeurt er als er een tweede loket bij geopend wordt met dezelfde capaciteit. Enzovoort. De formules worden dan snel ingewikkelder. In de dagelijkse praktijk bestaan er spreadsheets waarmee je snel kunt (laten) doorrekenen wat de effecten van maatregelen zijn. Deze zijn ook voor de leerlingen beschikbaar en heel illustratief. 17

Tips Na bestudering van het theoretische deel van de stof kan dan een echte case worden doorgerekend. o Bijvoorbeeld de situatie bij een laadperron. Meerdere bedieningspunten openen kost geld, maar als een vrachtwagen in de rij moet staan kost ook geld. Door meerdere systemen door te laten rekenen met de daaraan verbonden kosten kan de directeur beslissen hoe hij zijn geld het beste kan besteden. o Of je laat de leerlingen echte tellingen verrichten en de uitkomsten vergelijken met die volgens de theorie o Of je laat een van de aannames van het M/M/k model weg en laat de leerlingen zelf het bijbehorende model opstellen. 18

Bronnen o o Wachttijden: Profimateriaal ontwikkeld door Freudenthal Instituut. Geschreven voor middelbare scholieren. Na wat bewerkingen zeer bruikbaar als lesmateriaal in de klas. Huisman en de Witt: Beter beslissen 1, Kwantitatieve methoden in de praktijk. Wolters Noordhof. ISBN 90 -01 -40879 -4 Zeer bruikbaar als je wat meer met spreadsheets wil werken in de klas. Ook tal van casestudies achter in het boek. Een halve module besliskunde 2 uit de 1 e graads wiskundeopleiding aan de Fontys Hogeschool Tilburg. Erg theoretisch, wiskunde op hoog niveau. Geschikt studiemateriaal voor de docent. Redeneren, argumenteren en modelleren, dr. ir. P Terlouw, Universiteit Twente. Een dictaat dat studenten bestuurskunde en bedrijfskunde(met dus mogelijk alleen maar WA 1 in hun pakket!) in het eerste jaar van hun studie moeten bestuderen. 19

Vragen o o Is dit geschikte stof voor de 40 uur profielspecifieke invulling? Om te voorkomen dat docenten ieder voor zich tijdrovende dictaten moeten gaan schrijven: is er behoefte aan het ontwikkelen van deze module? 20