Discrete dynamische systemen Johan Deprez Dag van de

Discrete dynamische systemen Johan Deprez Dag van de Wiskunde, Kortrijk 19/11/05 slides en bijkomend materiaal op www. ua. ac. be/johan. deprez

Kennismaking economisch hoger onderwijs van 2 cycli, wiskunde en statistiek in de kandidaturen/Bachelor stuurgroep T 3 academische lerarenopleiding wiskunde redactie tijdschrift Uitwiskeling

Kennismaking Hoe goed zijn jullie vertrouwd met discrete, dynamische systemen? (goed/een beetje/helemaal niet) Hoe goed zijn jullie vertrouwd met het gebruik van een TI 83/84 in het algemeen? (goed/een beetje/helemaal niet) Hoe goed zijn jullie vertrouwd met het gebruik van een TI 83/84 voor rijen en recursieve vergelijkingen? (goed/een beetje/helemaal niet)

Overzicht • • • Inleiding Voorbeeld: Medicijnspiegel Werkmoment Lineaire recursievergelijkingen van. . . Een niet-lineaire recursievergelijking Slot

Bronnen J. D. en Jan Roels, Discrete dynamische systemen, Uitwiskeling 20/3, mei 2004

Bronnen C. Biront, J. D. , Wiskundige begrippen en methoden – deel 3, Wolters-Plantyn, 1998

Discrete wiskunde in de leerplannen • leerplan VVKSO 3 de graad ASO - 6 u: – “De leerlingen kunnen problemen met betrekking tot discrete veranderingsprocessen wiskundig modelleren en oplossen. (DI 3)” – keuze-onderwerp iteratie – vrije ruimte • discrete veranderingsprocessen/iteratie ook toegankelijk voor andere richtingen in ASO en TSO van vrij onderwijs via keuze-onderwerpen • (gemeenschapsonderwijs: zou passen bij de facultatieve uitbreiding)

Medicijnspiegel elke dag toedienen van een dosis van 1500 mg in één dag verdwijnt 25% van de hoeveelheid • begin: 1500 (mg) • elke dag: eerst 0. 75, dan +1500 (mg) combineren van ‘recursieve bewerkingen’ bij meetkundige en rekenkundige rij! Hoe evolueert de hoeveelheid medicijn in het bloed?

Medicijnspiegel: basisscherm TI 84 • vertraagd. . . • . . . stijgend • met limietwaarde 6000

Medicijnspiegel: vergelijking en tabel via [MODE] via [2 nd] [TBLSET] via [2 nd] [TABLE] beginterm heeft rangnummer 0 u boven [7] n via [X, T, , n] via [Y=] accolades worden door de rekenmachine geplaatst !

Medicijnspiegel: grafiek via [GRAPH] via [TRACE] • vertraagd. . . • . . . stijgend • met limietwaarde 6000 via [WINDOW]

Medicijnspiegel: alternatieve grafische voorstelling via [2 nd] [FORMAT] daarna [GRAPH]

Medicijnspiegel: alternatieve grafische voorstelling recursievergelijking 1 ste bissectrice

Medicijnspiegel: alternatieve grafische voorstelling [TRACE] x-coördinaat van de cursor is beginwaarde (1500, 0)

Medicijnspiegel: alternatieve grafische voorstelling [pijltje rechts] y-coördinaat van de cursor is H 1 (1500, 2625) vul 1500 in voor H 0 in (1500, 0) vul 1500 in voor x in

Medicijnspiegel: alternatieve grafische voorstelling H 1 wordt m. b. v. de 1 ste bissectrice overgebracht van de y- naar de xcoördinaat [pijltje rechts] (1500, 2625) (2625, 2625) (1500, 0)

Medicijnspiegel: alternatievegrafische voorstelling [pijltje rechts] (1500, 2625) (2625, 3468. 75) (2625, 2625) vul 2625 in voor H 1 in (1500, 0) vul 2625 in voor x in

Medicijnspiegel: alternatieve grafische ? ? !! voorstelling enzovoort SPINNENWEBDIAGRAM vertraagd stijgend met limietwaarde 6000: trap die omhoog gaat met steeds kleinere treden en die ‘eindigt’ in het snijpunt van de twee rechten opeenvolgende waarden van H: - zie opeenvolgende verticale lijntjes OF - zie opeenvolgende horizontale lijntjes (op beginterm na)

Medicijnspiegel: limiet en evenwicht op lange termijn is de hoeveelheid actieve stof in het bloed in evenwicht (? !) limietwaarde 6000 is evenwichtswaarde

Medicijnspiegel: dynamisch evenwicht bij evenwicht: 1500 mg verdwijnt uit lichaam 1500 mg wordt toegevoegd HOEVEELHEID medicijn blijft gelijk, maar het zijn niet allemaal dezelfde moleculen: dynamisch evenwicht

Medicijnspiegel: stabiel evenwicht aanvankelijk 6000 mg medicijn in bloed beginnen met 4500 mg medicijn in bloed Iemand neemt het medicijn al jaren in en vergeet een bepaalde dag het medicijn in te nemen. Wat gebeurt er? evenwicht wordt hersteld Als het systeem eerst in evenwicht is en daarna uit evenwicht gebracht wordt, dan keert het terug naar het evenwicht: stabiel evenwicht.

Medicijnspiegel: evenwicht berekenen, evenwicht en beginwaarde evenwicht is het getal E waarvoor E = 0. 75 E + 1500, dus E = 6000 beginwaarde komt in deze vergelijking niet voor! evenwichtswaarde (= waarde op lange termijn) is onafhankelijk van de beginwaarde!

Medicijnspiegel: evenwicht en spinnenwebdiagram limietwaarde 6000: trap ‘eindigt’ in het snijpunt van de twee rechten geeft evenwichtswaarde

Medicijnspiegel: evenwichtswaarde als vast punt recursievergelijking: rechte uit spinnenwebdiagram: eerstegraadsfunctie: (dus: . . . ) berekening evenwichtswaarde: evenwichtswaarde is een vast punt van de functie f expl. vgl. overslaan

Medicijnspiegel: expliciete vergelijking

Medicijnspiegel: expliciete vergelijking partieelsom van een meetkundige rij met reden 0. 75

Medicijnspiegel: verklaring voor het verloop grafiek spiegelen t. o. v. horizontale as en uitrekken met factor 4500 vertraagd dalende MR met limietwaarde 0 grafiek over 6000 eenheden verschuiven naar boven

Medicijnspiegel: expliciete vergelijking en evenwicht E = 6000 Hn – E is meetkundige rij met reden 0. 75 via beginvoorwaarde: C = -4500

Werkmoment keuze tussen • werktekst A: BASIS inoefenen van deel 1 a. d. h. v. een ander voorbeeld • werktekst B: UITBREIDING vooruitlopen op deel 2 a. d. h. v. een ingewikkelder recursievergelijking

Werktekst A – inleiding: vergelijking (1) product met productietijd van ongeveer één jaar (wintertarwe, varkens, …) beslissing om te produceren (en product op de markt aan te bieden) valt één jaar vóór het effectief aanbieden vergelijking (1), aanbod: aanbod reageert met vertraging op de prijs

Werktekst A – inleiding: andere vergelijkingen vergelijking (2), vraag: vergelijking (3), evenwicht: mechanisme: prijs van jaar n – 1 bepaalt aanbod van jaar n in jaar n stijgt/daalt prijs om evenwicht te krijgen er worden geen voorraden opgebouwd (product is bederfbaar, modegevoelig, …) vergelijking (4), begin:

Werktekst A – inleiding rechtstreeks ! via recursieve vergelijking en nu: aan het werk!

Lineaire recursievergelijkingen van de eerste orde met constante coëfficiënten en constant rechterlid recursievergelijkingen van de vorm (a en b getallen) mogelijkheden verkennen m. b. v. spinnenwebdiagrammen

Lineaire recursievergelijkingen van de eerste orde met constante coëfficiënten en constant rechterlid belangrijke punten i. v. m. verloop / limiet en evenwicht: • niet alleen stijgen en dalen maar ook ‘schommelen’ • er is niet altijd een (eindige) limietwaarde • ook als er geen limietwaarde is, is er in de meeste gevallen evenwichtswaarde; het evenwicht is dan labiel

Werktekst B: een niet-lineaire recursievergelijking – vraag 2 in webgrafiek: parabool! limietwaarde 0. 6 (cfr. snijpunt parabool en rechte) stabiel evenwicht: verstoring herstelt zich; aantrekkend helling vd grafiek (raaklijn) in 0. 6 ligt tussen -1 en 0 gedempt schommelend

Werktekst B – vraag 4 en 5 rij is constant, in 5/7 snijden parabool en rechte elkaar helling vd grafiek (raaklijn) in 5/7 is < -1 + onnauwkeurigheid in de beginwaarde: dus explosief schommelend, onstabiel evenwicht, afstotend

Werktekst B – vraag 6 geen problemen met afrondingen! rij met periode 2

Werktekst B – vraag 7 grafiek van f en rechte snijden elkaar in 5/7 onstabiel evenwicht: raaklijn heeft ‘grote’ helling

Werktekst B – vraag 7 hernummeren constante rijen

Werktekst B – vraag 7

Werktekst B – vraag 8 periode 4 onderzoeken m. b. v.

Werktekst B – vraag 8 grafiek f 4 een snijpunt uitvergroten helling in snijpunt, aantrekkend helling in ander snijpunt, afstotend

Verwant materiaal J. D. en Jan Roels, Discrete dynamische systemen, Uitwiskeling 20/3, mei 2004, zie www. uitwiskeling. be J. D. , Discrete dynamische systemen, workshop op T 3 -symposium 2004, zie www. ua. ac. be/johan. deprez, www. t 3 vlaanderen. be C. Biront, J. D. , Wiskundige begrippen en methoden – deel 3, Wolters-Plantyn, 1998 J. D. , Rijen en differentievergelijkingen, nascholing PEDIC (Gent), zie www. ua. ac. be/johan. deprez J. D. , Dirk Janssens, Discrete dynamische systemen: wiskundige modellen met rijen, vectoren en matrices, zie http: //home. scarlet. be/~p 1925850/vliebergh_april_2005 J. D. , Discreet en dynamisch, plenaire lezing op T 3 -symposium 2005, zie www. ua. ac. be/johan. deprez, www. t 3 vlaanderen. be

Verwant materiaal: wat? meer voorbeelden i. v. m. basiszaken toepassingen niet-lineaire recursievergelijkingen: • groei van de Amerikaanse bevolking • numeriek oplossen van een differentiaalvergelijking verband met matrixmodellen (Markovmodellen en Lesliemodellen)

Bedankt voor uw aandacht!