Vukov materil zpracovn v rmci projektu EU penze

Výukový materiál zpracován v rámci projektu EU peníze školám Registrační číslo projektu: CZ. 1. 07/1. 5. 00/34. 0208 Šablona: III/2 č. materiálu: VY_32_INOVACE_79 Jméno autora: Mgr. Iva Vrbová Třída/ročník: 3. E/ třetí ročník Datum vytvoření: 2. 12. 2012

Vzdělávací oblast: Člověk a logické myšlení Tematická oblast: Komplexní čísla Předmět: Matematika Název učebního materiálu: Binomická rovnice – odvození řešení Výstižný popis způsobu využití, případně metodické pokyny: Prezentace obsahuje odvození obecného vztahu a znázornění kořenů binomické rovnice jako vrcholů pravidelných rovinných útvarů. Rozdíl řešení v oboru reálných a komplexních čísel. Klíčová slova: Binomická rovnice; Kořeny binomické rovnice; Grafické znázornění kořenů binomické rovnice Druh učebního materiálu: prezentace

Binomická rovnice

Binomickou rovnicí n se nazývá rovnice tvaru: , kde n postup řešení (nepište): 1) Uvědomíme si, že rovnice má n kořenů. 2) Separujeme n-tou mocninu proměnné x. 3) KČ a převedeme z AT na GT – včetně period funkcí sinus a kosinus. 4) Rovnici odmocníme – opakem n-té mocniny je n-tá odmocnina: a) na levé straně získáme hodnotu proměnné x, b) na pravé straně odmocníme KČ a pomocí Moivreovy věty.

rovnice má n kořenů osamostatníme a C xna lze zapsat v AT , GT opakem n-té mocniny je n-tá odmocnina umocňujeme-li součin, umocňujeme každého z činitelů užijeme Moivreovu větu

Znázornění čísla xk v Gaussově rovině n Kořeny x 0, x 1, x 2, . . . , xn – 1 binomické rovnice leží pro n > 2 v Gaussově rovině ve vrcholech pravidelného n-úhelníku vepsaného do kružnice: • se středem v počátku , • s poloměrem. n Pravidelným n-úhelníkem je pro • n = 3: rovnostranný trojúhelník, • n = 4: čtverec, • n = 5: pravidelný pětiúhelník, . . .

x 2 y x 1 x 0 x 3 další kořeny 0 x

Porovnejte řešení rovnice: • v oboru čísel reálných: R, • v oboru čísel komplexních: C.

Řešení rovnice v R: rovnice má 3 kořeny n Závěr: – Nalezli jsme pouze jeden ze tří kořenů dané rovnice, který je reálný. – Zbývající dva kořeny zřejmě nejsou reálné.

Řešení rovnice v C vzorec

xk = 2. cos(0 + k. 120 ) + i sin(0 + k. 120 ) , k = 0, 1, 2 k = 0: (0 + 0. 120 ) = 0 x 0 = 2. (cos 0 + i sin 0 ) k = 1: (0 + 1. 120 ) = 120 x 1 = 2. (cos 120 + i sin 120 ) k = 2: (0 + 2. 120 ) = 240 x 2 = 2. (cos 240 + i sin 240 ) G Vycházeli jsme z AT (zadání rovnice), tudíž výsledky x 0, x 1, x 2 opět převedeme z GT na AT.

n Závěr: V oboru komplexních čísel jsme nalezli všechny tři kořeny zadané rovnice: – první z kořenů je reálný, – další dva imaginární.

Znázornění kořenů x 0, x 1, x 2 v Gaussově rovině: xk = 2. cos(0 + k. 120 ) + i sin(0 + k. 120 ) , k = 0, 1, 2 y x 1 x 0 0 x 2 x

n poznámka: K řešení binomické rovnice dospějete, když Ø dodržíte postup, který jsme uplatnili při odvození vztahu (vzorce) pro kořeny binomické rovnice nebo Ø přímo dosadíte do odvozeného vzorce (vztahu) pro kořeny binomické rovnice.

Použitá literatura: n PETRÁNEK, O. ; CALDA, E. ; HEBÁK, P. Matematika pro střední odborné školy a studijní obory středních odborných učilišť 4. část. 5. vyd. Praha : Prometheus, 2004. ISBN 8071960403. Kapitola 1, s. 9– 47 n JIRÁSEK, F. ; BRANIŠ, K. ; HORÁK, S. ; VACEK, M. Sbírka úloh z matematiky pro střední odborné školy a studijní obory středních odborných učilišť 2. část. 3. vyd. Praha : Prometheus, 2003. ISBN 8071960128. Kapitola 1, s. 11– 46