Unidad temtica 3 Anlisis de esfuerzos en un

Unidad temática 3 Análisis de esfuerzos en un punto Método Grafico. Circulo de Mohr Tutorial interactivo 3 a. Parte Ingenieria de los Materiales 3ª- PARTE MC. Daniel Ramírez Villarreal 1

3. 5 Método grafico. Circulo de Mohr Existe una interpretación grafica de las ecuaciones anteriores hecha por el ingeniero alemán Otto Mohr (1882) a partir del uso de un círculo, por lo que se ha llamado Circulo de Mohr. Pag 11 de los Materiales Ingenieria de. Ingenieria los Materiales 3ª- PARTE 2 MC. Daniel Ramírez Villarreal MC. Daniel Ramirez Villarreal

3. 5 Método grafico. Circulo de Mohr Las ecuaciones (3. 1) y (3. 2) son las ecuaciones paramétricas de una circunferencia. Rearreglando la ecuación 3. 1: (3. 1 y 3. 2) de los Materiales Ingenieria de. Ingenieria los Materiales 3ª- PARTE 3 MC. Daniel Ramírez Villarreal MC. Daniel Ramirez Villarreal

Elevando al cuadrado, sumando y simplificando, (3. 11) sx, sy, txy son valores conocidos que definen el estado plano de esfuerzo, mientras que s y t son variables. Ingenieria de los Materiales 3ª- PARTE MC. Daniel Ramírez Villarreal 4

Por lo tanto (sx +sy)/2 es una constante C, y el segundo miembro de la ecuación (3. 11) lo consideramos como otra constante R. sustituyendo, la ecuación (3. 11) se transforma en: (3. 12) Esta ecuación es análoga a la de una circunferencia: (x-c)2 + y 2= R 2 Ingenieria de los Materiales 3ª- PARTE MC. Daniel Ramírez Villarreal 5

Por lo que la circunferencia será de radio y centro: (3. 13) Construcción del circulo de Mohr Ingenieria de los Materiales 3ª- PARTE 11 MC. Daniel Ramírez Villarreal 6

La figura 3. 5 representa el círculo de Mohr para el estado plano de esfuerzos que se ha estudiado. El centro C esta a una distancia OC del origen que es la media aritmética de los esfuerzos normales, y el radio R es la hipotenusa del triangulo rectángulo CDA. Se puede comprobar fácilmente que las coordenadas de los puntos E, F, G corresponden a las expresiones deducidas en las ecuaciones (3. 5) y (3. 6), por lo que el circulo de Mohr representa gráficamente la variación de los esfuerzos dada por las ecuaciones (3. 1) y (3. 2). Ingenieria de los Materiales 3ª- PARTE MC. Daniel Ramírez Villarreal 7

Figura 3. 5 Circulo de Mohr estado plano de esfuerzo bidimensional Ingenieria de los Materiales 3ª- PARTE MC. Daniel Ramírez Villarreal 8

Método Gráfico. Circulo de Mohr Caso 1 1. Para el estado de esfuerzos biaxial en el punto, Determinar : sy = 300 MPa q x’ = -30 o sx= 500 MPa txy= 100 MPa a) Los esfuerzos componentes sx’, txy’ para q x’ = -30 o b) Los esfuerzos principales normales s 1, s 2. c) Su dirección y orientación d) Los esfuerzos principales cortantes t 1, t 2 y sn e) Su dirección y orientación Ingenieria de los Materiales 3ª- PARTE MC. Daniel Ramírez Villarreal 9

Método Gráfico: Circulo de Mohr (Solución) 1. Identificar el estado de esfuerzos Considerando el signo de acuerdo a la convención. sy = 300 MPa tyx b a sx = + 500 MPa (T) sy = - 300 MPa (c) txy = - 100 MPa tyx = 100 MPa txy= 100 MPa sx= 500 MPa 2. Representar los puntos a y b en el elemento, el a estará en la cara derecha y el b en la superior, como se indica en el dibujo. 3. El punto a y b tendrán como coordenadas: a (sx, txy) Ingenieria de los Materiales 3ª- PARTE y b (sy, tyx) MC. Daniel Ramírez Villarreal 10

Método Gráfico: Circulo de Mohr (Solución) 4. Estado de esfuerzos conocidos sx = + 500 MPa (T) sy = - 300 MPa (c) txy = - 100 MPa tyx = 100 MPa sy = 300 MPa txy= 100 MPa b a sx= 500 MPa 5. Hacer una escala; dividiendo el valor mayor de todos entre 10 cm, resultando en este caso : 500 MPa/10 cm= escala: 50 Mpa= 1 cm. 6. Pasar los puntos a y b a centímetros dividendo c/u entre la escala; Mpa = cm a (500, -100) = (10, -2) b (-300, 100) = (-6, 2). Ingenieria de los Materiales 3ª- PARTE MC. Daniel Ramírez Villarreal 11

Método Gráfico: Circulo de Mohr (Solución) 7. Trazar los ejes s vs. t en el papel milimétrico. t 8. Marcar los puntos a y b y unirlos con una línea. Y b -s 9. Marcar el origen O y el centro C. s C o a X 10. Indicar el eje X de Ca y el Y de Cb. 11. Con radio ca o cb y centro C trazar el circulo de Mohr. -t Ingenieria de los Materiales 3ª- PARTE MC. Daniel Ramírez Villarreal 12

Método grafico. Circulo de Mohr 12. A partir del centro en C identificar los ejes principales. 13. Obtener el estado de los esfuerzos principales y sus magnitudes midiendo en el papel milimétrico cada punto indicado en la figura a partir del origen O, activar siguiente diapositiva : Verifique estos resultados en su papel milimétrico o en su hoja cad. s Max =10. 3 cmx 50=515 MPa(+) s Min = -6. 3 cm x 50=-315 MPa t Max = 8. 3 cm x 50= 415 MPa t Min = -8. 3 cm x 50= -415 MPa sn = 2 cm x 50 = 100 MPa Ingenieria de los Materiales 3ª- PARTE MC. Daniel Ramírez Villarreal 13

Método grafico. Circulo de Mohr sy = 300 MPa t s n (s ntmax , ) b 1’ a txy= 100 MPa tmax Y b -s sx= 500 MPa (s 1 , 0) s 1 2 (s 2 , 0) O smin C a X -tmin 2’ -t (s n , tmin, ) Ingenieria de los Materiales smax 3ª- PARTE Pag 13 MC. Daniel Ramírez Villarreal 14

Método grafico. Circulo de Mohr 14. Obtención de la dirección de los esfuerzos principales normales y cortantes Los ángulos en el circulo son el doble del valor Real y se miden a partir del eje X, considere angulos positivos en contra de las manecillas del reloj. Hágalo en su papel milimétrico o cad y Verifique estos resultados: 2 q Max = +15 o 2 q. Min = - 165º 2 q ’Max = + 105 o 2 q ’Min = - 75 o Ingenieria de los Materiales q 1 =+ 7. 5 o q 2 = - 82. 5 o q 1’ =+52. 5 o q 2’ = - 37. 5 o 3ª- PARTE MC. Daniel Ramírez Villarreal 15

Medición de los angulos en el Circulo de Mohr t Y (s ntmax , ) sy = 300 X b a 1’ sx= 500 txy= 100 Y b -s (s 2 , 0) 2 q 1’ (s 1 , 0) C 2 2 q 1 O 2 q 2 s 1 2 q 2’ a X +2 q 2’ -t (s n , tmin, ) Ingenieria de los Materiales 3ª- PARTE -2 q MC. Daniel Ramírez Villarreal X 16

txy= 100 MPa q = - 30 sx= 500 MPa X sy = 300 MPa 15. Obtención de las componentes de esfuerzos sx’, txy’ para qx’=-30 o y sus correspondientes componentes a 90 o ; sy’, tyx’. 16. Se marca en el circulo a partir del eje X el ángulo 2 q trazándose el nuevo eje X’ desde el centro del circulo C y la intersección con el circulo será el punto cuyas coordenadas son: sx’, txy’ y a 90 o del eje X’ se encuentra el eje Y’ en cuya intersección con el circulo representa el punto con coordenadas sy’, tyx’. Activar el procedimiento en la siguiente diapositiva. Ingenieria de los Materiales 3ª- PARTE MC. Daniel Ramírez Villarreal 17

Calculo de: sx’ , txy’ para q = - 30º en el circulo es el doble 2 q = - 60º y para sy’ , t xy’ t es q’ = -30 + 90 º s y’ º q’ =60 , 2 q’ =120 b’ Resultado Y sx’ =+2. 4 cmx 50=120 MPa txy’ =-6 cmx 50=-300 MPa -s o b -t Ingenieria de los Materiales 2 q’=120 o 2 t xy’ y’ c t yx’ 1 +s a a’ s x’ 3ª- PARTE 2 q=-60 o X x’ MC. Daniel Ramírez Villarreal 18