UNIDAD No 5 Series y criterios de convergencia

UNIDAD No. 5 Series y criterios de convergencia

SERIES ¢ ¢ El concepto de serie está íntimamente relacionado con el concepto de sucesión. Si {an} es la sucesión a 1, a 2, a 3, . . . , an, . . . , entonces la suma a 1+ a 2+ a 3+ … + an+ … se le llama serie infinita. Los elementos ak, k = 1, 2, 3, . . . se llaman los términos de la serie; ak se denomina término general. Se presentará una serie infinita en forma compacta como:

SUCESIÓN DE SUMAS PARCIALES ¢ Para cada serie infinita existe una sucesión de sumas parciales {Sn}, definida como sigue:

CONVERGENCIA DE UNA SERIE INFINITA ¢ Se dice que una serie infinita es convergente si su sucesión de sumas parciales es convergente. Esto es, ¢ El número S es la suma de la serie. Si no existe, se dice que la serie es divergente.

SERIES TELESCÓPICAS ¢ Determine si la serie infinita: es convergente o divergente

SERIES GEOMÉTRICAS ¢ A una serie infinita de la forma: se le denomina serie geométrica.

CONVERGENCIA DE SERIES GEOMÉTRICAS ¢ Una serie geométrica converge a para |r|<1 y diverge para |r|>1. ¢ Demuestre lo anterior. Para ello: 1. 2. 3. Determine Sn Multiplique Sn por r Efectúe la diferencia Sn-r. Sn

PROBLEMA ¢ Determine si la serie infinita es convergente o divergente. En caso de ser convergente, determine el valor de la suma.

SERIES ARMÓNICA ¢ Demuestre que la serie armónica es divergente.

CRITERIO PARA LA CONVERGENCIA DE UNA SERIE ¢ TEOREMA: Si la serie Si es convergente, entonces: no existe o si el entonces la serie diverge. ,

PRUEBA DE LA INTEGRAL Y ESTIMACIÓN DE LA SUMA ¢ Suponga que f es una función continua, positiva y decreciente y an=f(n). Entonces, la serie es convergente si y solo si la integral impropia: es convergente.

PROBLEMA ¢ Determine si la serie: es convergente. Estime el valor de la suma. ¢ Determine si la serie: es convergente.

SERIE P ¢ La serie p: converge si p>1 y diverge cuando p<1.

PRUEBAS DE COMPARACIÓN ¢ En las pruebas de comparación, la idea es comparar una serie dada con una serie conocida que sabemos puede ser convergente o divergente y a partir de ello, llegar a alguna conclusión con respecto a la serie dada.

TEOREMA Suponga que y son series de términos positivos. Entonces: ¢ Si converge y an<bn para toda n, entonces también converge. ¢ Si diverge y an>bn para toda n, entonces también diverge. ¢

PROBLEMA ¢ Pruebe la convergencia o divergencia de la serie:

PRUEBA DE COMPARACIÓN EN EL LÍMITE ¢ Suponga que y con términos positivos. son series Si: donde c es un número finito y c>0, entonces las series convergen o divergen simultáneamente.

PROBLEMA ¢ Pruebe la convergencia o la divergencia de la serie: ¢ Utilice la prueba de comparación en el límite considerando: y .

SERIES ALTERNANTES Una serie alternante es aquella cuyos términos son positivos y negativos (alternando signo). ¢ Ejemplos: ¢

PRUEBA DE LA SERIE ALTERNANTE ¢ Si la serie alternante: 1. bn>0 satisface las siguientes dos condiciones: bn+1 < bn para toda n. 2. entonces la serie converge.

CONVERGENCIA ABSOLUTA Y LAS PRUBAS DE LA RAZÓN Y LA RAÍZ ¢ La serie: es absolutamente convergente si la serie de valores absolutos converge.

PROBLEMA ¢ Muestre que la serie: es absolutamente convergente.

PRUEBA DE LA RAZÓN ¢ Si , entonces la serie es absolutamente convergente (y por lo tanto converge). ¢ Si entonces la serie o , diverge.

PROBLEMA ¢ Pruebe la convergencia absoluta de la serie:

PRUEBA DE LA RAÍZ ¢ Si , entonces la serie es absolutamente convergente (y, en consecuencia, convergente). ¢ Si o entonces la serie , es divergente.

PROBLEMA ¢ Compruebe la convergencia de la serie: