Trevin Uygulamalar 26 10 2020 1 A Artan

Türevin Uygulamaları 26. 10. 2020 1

A. Artan Ve Azalan Fonksiyonlar i) Her x 1, x 2 A için, x 1<x 2 iken, f(x 1)< f(x 2) ise, fonksiyonu, A kümesinde, artandır.

m=tan = f ’(x 1)>0 ise, f fonksiyonu (a, b) aralığında artandır.

ii) Her x 1, x 2 A için, x 1<x 2 iken, f(x 1)> f(x 2) ise, f fonksiyonu, A kümesinde, azalandır.

m=tan = f ’(x 1)<0 ise, f fonksiyonu (a, b) aralığında azalandır.

Sonuç: f: [a, b] R fonksiyonu, (a, b) aralığında artan ve türevli ise, fonksiyonun bu aralıktaki türevi pozitiftir Yani; f fonksiyonu, (a, b) aralığında artan bir fonksiyon ise bu aralığın her elemanı için f’(x)>0’dır. a b f’(x) +++++ f(x) artan

Sonuç: f: [a, b] R, fonksiyonu, (a, b) aralığında azalan ve türevli ise, fonksiyonun bu aralıktaki türevi negatiftir. Yani; f fonksiyonu, (a, b) aralığında azalan fonksiyon ise bu aralığın her elemanı için, f’(x)<0’dır. a b f’(x) ----- f(x) azalan

Uygulamalar

Soru: f(x)=x 2 -2 x fonksiyonunun artan veya azalan olduğu aralıkları bulunuz? Çözüm: : Fonksiyonunun, artan veya azalan olduğu aralıkları bulabilmek için, türevinin işaretini incelemeliyiz. f(x)=x 2 -2 x f’(x)= 2 x-2=0 x=1 olur. - f’(x) f(x) 1 - azalan + + artan

Soru: R-{-2} için, f(x)= fonksiyonu- nun daima artan olabilmesi için, m ne olmalıdır? Çözüm : Fonksiyonun daima artan olabilmesi için, f’(x)>0 olmalıdır. f’(x)= Buradan; = = bulunur.

Soru : y Y=f(x) -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x Şekilde, y=f(x) fonksiyonunun [-3, 4] aralığındaki grafiğini görmektesiniz. Bu grafiğe göre, f(x)’in türevinin pozitif veya negatif olduğu aralıkları bulunuz?

Çözüm : a) [-3, -1) aralığında, Fonksiyon azalan olduğundan, f ’(x)< 0 ‘dır. b) (-1, 3) aralığında, Fonksiyon artan olduğundan, f ‘(x) > 0’dır. c) (3, 4) aralığında, Fonksiyon azalan olduğundan, f ’(x)< 0 ‘dır

Soru : y Y=f’(x) -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x Şekilde, y=f(x) fonksiyonunun, [-3, 4] aralığındaki türevinin grafiğini görmektesiniz. Grafiğe bakarak, f(x)’in artan ve azalan olduğu aralıkları bu lunuz?

y Çözüm : a) [-3, -2) aralığında: Y=f’ (x) -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x f’(x) > 0 olduğundan, f(x) bu aralıkta artan’dır. b) (-2, 0) aralığında: f’(x) < 0 olduğundan, f(x) bu aralıkta azalan’dır. c) (0, 4] aralığında: x=3 noktası hariç, f’(x) > 0 olduğundan, f(x) bu aralıkta artan’dır.

B. Maksimum Ve Minimum Değerlerin Bulunması:

1. YEREL MAKSİMUM NOKTASI: Tanım: f: [a, b] R, y=f(x) fonksiyonu verilsin. x 0 (a, b) ve > 0 olsun. f fonksiyonu, (x 0 - , xo+ ) aralığında en büyük değerini x 0 noktasında alıyorsa, (x 0, f(x 0)) noktasında bir yerel maksimumu vardır. f(x 0) değerine, fonksiyonun bir yerel maksimum değeri denir. a f(x 0) f ’(x) Y=f(x) a x 0 - x 0 xo+ b f(x) x 0 + b - f(x 0) Maksimum

2. YEREL MİNİMUM NOKTASI: Tanım: f: [a, b] R, y=f(x) fonksiyonu verilsin. x 0 (a, b) ve > 0 olsun. f fonksiyonu, (x 0 - , xo+ ) aralığında en küçük değerini x 0 noktasında alıyorsa, (x 0, f(x 0)) noktasında bir yerel minimumu vardır. f(x 0) değerine, fonksiyonun bir denir. yerel minimum degeri a f ’(x) a f(x 0) x 0 - x 0 xo+ Y=f(x) x 0 - b + f(x 0) b Minimum

Sonuç: Yerel f(b) maksimum a + ++ - + c - f(c) d - f(a) - - + + + + f(d) Yerel minimum f ’(x)>0 f ’(x)<0 f ’(x)>0 y=f(x) b

Uygulamalar

Soru : f(x)= x 3 -3 x 2+1 fonksiyonunun yerel maksimum ve yerel minimum noktalarını bulunuz? Cözüm: Önce, f(x)’in türevini alıp, türevin işaretini incelemeliyiz: f’(x)= 3 x 2 -6 x = 0 x 1= 0 ve x 2= 2 x 1= 0 f(0)= 1 x 2= 2 f(2)= -3 - f’(x) + 0 f(x) 1 0 2 - 0 -3 + +

Soru : + - -4 y -2 – 1 0 Şekilde, y=f(x) fonksiyonunun türevinin grafiğini görüyorsunuz. Bu grafiğe bakarak, y=f(x) fonksiyo+x 5 nunun, yerel maksimum ve y=f ’(x) yerel minimum noktalarını bulunuz? 3 Cözüm : -4 f’(x) f(x) - 5 + -

C. İkinci Türevin Geometrik Anlamı

f: [a, b] R fonksiyonu, (a, b) aralığında ikinci basamaktan türevli olsun: y=f(x) B A a x 1 x 2 b Eğrinin çukurluk yönü yukarı doğru bakmaktadır. a’dan b’ye, teğetlerin eğim açılarının büyüdüğüne dikkat!

y=f(x) B A a x 1 x 2 b Bu teğetlerin eğimleri; m 1= tan =f’(x 1) ve m 2=tan =f’(x 2) tan < tan f’(x 1) < f’(x 2) ‘dir. Yani; x 1< x 2 için, f’(x 1) < f’(x 2) olduğundan, f’ fonksiyonu artan’dır. f’ fonksiyonu artan olduğundan, türevi, f’’(x) > 0 ‘dır.

Şimdi de, eğrilik yönü aşağı doğru olan bir eğri inceleyelim: B A a x 1 x 2 b a’dan b’ye , teğetlerin eğim açılarının küçüldüğüne dikkat! Bu teğetlerin eğimleri; m 1= tan =f’(x 1) ve m 2= tan =f’(x 2) ‘dir.

B A tan > tan a x 1 x 2 b f’(x 1) > f’(x 2) ‘dir. Yani; x 1< x 2 için, f’(x 1) > f’(x 2) olduğundan, f’ fonksiyonu azalan’dır. f’ fonksiyonu azalan olduğundan, türevi, f’’(x) < 0 ‘dır.

SONUÇ: Bir f fonksiyonu için, aralığın her noktasında, f’’(x)< 0 oluyorsa, f fonksiyonunun bu aralıktaki grafiğinin çukurluk yönü aşağı doğrudur. Bir f fonksiyonu için, aralığın her noktasında, f’’(x)> 0 oluyorsa, f fonksiyonunun bu aralıktaki grafiğinin çukurluk yönü yukarı doğrudur. f’’(x)< 0 Konkav(İç bükey) f’’(x)> 0 Konveks(Dış bükey)

Soru : f: R R, f(x)= x 3+x 2 -2 x fonksiyonunun, konveks ve konkav olduğu aralıkları araştırınız? Çözüm : Öncelikle, f’in ikinci türevini alıp, işaretini incelemeliyiz. f’(x)=3 x 2+2 x-2 f’’(x)=6 x+2 = 0 x= -1/3 - f’’(x) f(x) -1/3 - + +

Bir önceki örnekte görüldüğü gibi, fonksiyon eğrisi, eğrilik yönünü bazı noktalarda değiştirmektedir: Tanım: Bir f fonksiyonunun grafiğinin, çukurluğunun yön değiştirdiği ve fonksiyonun sürekli olduğu noktaya, Dönüm (büküm) noktası denir.

Şekilleri dikkatle inceleyiniz!!! f(x 0) a f(x 0) x 0 0 f ’’(x)<0 b f ’’(x)>0 f ’’(x 0)=0 Dönüm noktası 0 a x 0 f ’’(x)>0 b f ’’(x)<0 f ’’(x 0)=yok Dönüm noktası DİKKAT: İkinci türevin işaret değiştirdiği nokta DÖNÜM noktasıdır.

Uygulamalar

1. f: R R, f(x)= x 4+x 3 -2 x fonksiyonunun, konveks ve konkav olduğu aralıkları ve varsa, dönüm noktalarını bulunuz? Çözüm : f’(x)= 4 x 3+3 x 2 -2 f’’(x)= 12 x 2+6 x İkinci türevin kökleri: 12 x 2+6 x=0 6 x(2 x+1) = 0 6 x=0 (2 x+1)= 0 x 1= 0 x 2=-1

x - f’’(x) + -1/2 0 + - + konkav konveks f(x) konveks Dönüm noktası

2. f: R R, f(x)=(x-2)4 fonksiyonunun, varsa, dönüm noktasını bulunuz? Çözüm : f’(x)=4(x-2)3 f’’(x)= 12(x-2)2 ve 12(x-2)2=0 x 1=x 2=2 x f’’(x) - + 2 + + f(x) konveks ?

x=2 noktası, ikinci türevin kökü olduğu halde, dönüm noktası değildir Türev bu noktada, işaret değiştirmemektedir! Yani; f’’(x 0)=0 olması, x 0 noktasının DÖNÜM noktası olmasını gerektirmez!!!!

D. L’HOSPITAL KURALI (TÜREVİN, LİMİT KAVRAMINDA KULLANIMI)

Tanım: f ve g , [b, c] aralığında sürekli ve (b, c) aralığında türevli iki, fonksiyon olsun. f ve g fonksiyonları, a (b, c) olmak üzere, bir a noktasında türevli ve g’(a) 0 olsun. ve = varsa,

L’HOSPITAL KURALI BELİRSİZLİK HALLERİNE UYGULANIR

Uygulamalar

1. limitinin değerini bulunuz? Çözüm : = = belirsizliği var = =

2. limitinin değerini bulunuz? Çözüm : belirsizliği var = = = 1 = =

3. limitinin değerini bulunuz? Çözüm : = belirsizliği var - sinx cosx = = = 0

4. limitinin değerini bulunuz? Çözüm : = belirsizliği var = 0 0 ex - sinx

5. limitinin değerini bulunuz? Çözüm : = belirsizliği var = cosx/sinx = 2 cos 2 x/sin 2 x cosx/sinx 2 cos 2 x/sin 2 x Cosx. sin 2 x 2 cos 2 x. sinx

Cosx. sin 2 x 2 cos 2 x. sinx 2. sinx. cos 2 x 2 cos 2 x. sinx = 2 sinx. cosx 2. 1 = = 2. 1 1

6. limitinin değerini bulunuz? Çözüm : = 0 = = = ex 1 e = = = 1 1

7. limitinin değerini bulunuz? Çözüm : = = =2

8. limitinin değerini bulunuz? Çözüm : = = - =

= = 0 0 Bu aşamada, L’Hospital kuralı bir kere daha uygulanır: