Tema 3 Sistemas de ecuaciones lineales Mtodos iterativos

Tema 3: Sistemas de ecuaciones lineales. Métodos iterativos Índice • Normas vectoriales y matriciales. • Sistemas mal condicionados: Errores, residuos y nº de condición. • Método de Jacobi. • Método de Gauss-Seidel. • Convergencia de los métodos iterativos. • Método de Newton para sistemas no lineales

Normas Vectoriales

Normas Matriciales • Norma Natural de una matriz A asociada a una norma vectorial : • Se puede demostrar :

Sistemas mal condicionados: Errores, residuos y nº de condición. q Sea el sistema y los vectores solución exacta y solución aproximada : q Se definen como Error, Residuo y Residuo relativo q En un sistema mal condicionado la norma del residuo puede no ser una buena medida de la norma del error.

Número de condición de una matriz • Sistema mal condicionado : Solución mala y residuo pequeño. • Número de condición de una matriz A, K(A) y teorema de acotación del error relativo :

Método de Jacobi. Ejemplo:

Método de Jacobi: Formulación general.

Método de Gauss-Seidel Ejemplo:

Método de Gauss-Seidel Formulación general:

Convergencia de los métodos iterativos q El error de redondeo no tiene tanta importancia como en los métodos directos. q Los métodos iterativos son adecuados para grandes sistemas con matriz de coef. Dispersa. q Siempre se obtiene la sol. Aprox. q Criterio de parada q T : Matriz de paso, y c : vector corrector q Parten de una aproximación inicial : x(0) q El método converge si:

Convergencia de los métodos iterativos

Matriz de paso del método de Jacobi

Matriz de paso del método de Gauss-Seidel • Si A es estrictamente diagonal dominante los mdos. De Jacobi y Gauss-Seidel convergen. • Si A es definida positiva Gauss-Seidel converge. • En general Gauss-Seidel converge más rápido que Jacobi

Método de Newton para sistemas no lineales(1)

Método de Newton para sistemas no lineales(2)

Esquema del método de Newton