Mtodos iterativos para sistemas de ecuaciones lineales Laboratorio
Métodos iterativos para sistemas de ecuaciones lineales Laboratorio de Matemáticas Práctica 5
Métodos iterativos para sistemas de ecuaciones lineales n n n Métodos directos vs. iterativos Ecuación del Calor Método de Jacobi Método de Gauss-Seidel Método de Sobrerrelajación
Métodos directos frente a métodos iterativos DIRECTOS ITERATIVOS n Ax =b n Mx = (M-A)x + b n x = A b n Mx(k+1) = (M-A) x(k) + b n Tamaño moderado n Tamaño grande n Producen llenado n Conservan los ceros n Error de redondeo n Error de truncamiento
Convergencia y número de operaciones n Coste (para matrices densas) Directos: n 3 Iterativos: k. n 2 n n Convergencia Criterio de parada: iter < maxiter
Ecuación del Calor en un rectángulo N W C E S – 1 n TC = (TW + TN + TS + TE)/4 4 – 1 Molécula – 1
Generación de la matriz con MATLAB function A = calor 2 D(n, m) p = n*m; v = ones(1, p-1); for k=n: n: p-1, v(k) = 0; end w = ones(1, p-n); A = 4*eye(p). . . - diag(v, 1) - diag(v, -1). . . - diag(w, n) - diag(w, -n);
Un lado caliente
El método de Jacobi n Sistema de ecuaciones lineales
Ecuación de punto fijo
Iteración de Jacobi
Resolución matricial con MATLAB A=L+D+U n M = D, N = – (L + U) n Mx = Nx + b n ‡ M = diag(A)) ‡ N = M-A ‡ x = M(Nx 0+b)
Condición suficiente de convergencia n Matriz estrictamente diagonalmente dominante: dominante para i=1, 2, . . . , n n Si A es estrictamente diagonalmente dominante, dominante los iterados de Jacobi convergen a la solución del sistema partiendo de cualquier estimación inicial.
Iteración de Gauss-Seidel
Resolución matricial con MATLAB A=L+D+U n M = L + D, N = –U n Mx = Nx + b n ‡ M = tril(A) ‡ N = M-A ‡ x = M(Nx 0+b)
Método de sobrerrelajación n Gauss-Seidel xi k i zi n Sobrerrelajación k+1 xik+1
Paso de sobrerrelajación
Expresión matricial n n n
Resolución con MATLAB ‡ D=diag(A)) ‡ L=tril(A, -1) ‡ M = L+D/w ‡ N = M-A ‡ x = M(Nx 0+b)
Condición suficiente de convergencia n Matriz simétrica definida positiva: positiva AT = A, x. TAx > 0 si x 0 n Si A es simétrica definida positiva y 0<w<2, los iterados de SR convergen a la única solución del sistema, partiendo de cualquier estimación inicial.
Resumen n n Los métodos iterativos se aplican a matrices grandes y dispersas El coste por iteración es O(n 2) o menor si se aprovecha la dispersidad Se espera que converjan en menos de n pasos. La matriz ha de cumplir ciertas condiciones para que el método converja.
FIN
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