U D 5 3 ESO E AC Ecuaciones

U. D. 5 * 3º ESO E. AC. Ecuaciones @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 1

U. D. 5. 2 * 3º ESO E. AC. Resolución de ecuaciones @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 2

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES • 1. Si hay denominadores se halla el mcm y se eliminan éstos. • • 2. Si hay paréntesis se suprime aplicando la propiedad distributiva. Si delante de un paréntesis hay el signo “-” se cambia todo de signo. • • 3. Se traspasan los términos literales a un lado de la igualdad y los términos constantes al otro. (Se aplica la Regla de la Suma). • 4. - Se reducen términos semejantes. • • 5. Se despeja la incógnita. (Se aplica la Regla del Producto). • NOTA: Es muy importante el ORDEN en el proceso a seguir. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 3

REGLA DE LA SUMA • • PRIMER PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA Si en una igualdad sumamos (o restamos) a ambos miembros la misma cantidad, la igualdad sigue siendo cierta • • Ejemplo: x-a=b x–a+a=b+a x =b+a Numéricamente: x– 3=7 x– 3+3=7+3 x=7+3 • • Ejemplo: x+a=b x+a–a=b–a x =b–a Numéricamente: x+3=7 x+3– 3=7– 3 x=7– 3 • En la práctica se puede resumir así: Lo que sume/reste en un miembro de la igualdad puede pasar restando/sumando al otro miembro. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 4

EJEMPLOS RESUELTOS • • 1. Resolver la ecuación: x– 2=5 Sumamos 2 a ambos lados, quedando: x– 2+2=5+2 x=7 O sea, el 2 que estaba restando a la incógnita, pasa al otro lado sumando. • • 2. Resolver la ecuación: x+3=7 Restamos 3 a ambos lados, quedando: x+3– 3=7– 3 x=4 O sea, el 3 que estaba sumando a la incógnita, pasa al otro lado restando. • • • 3. Resolver la ecuación: x– 2=x+5 Sumamos 2 a ambos lados, quedando: x– 2+2=x+5+2 x=x+7 Restamos x a ambos lados, quedando: x–x=x+7–x 0=7 Esta igualdad es FALSA La ecuación es INCOMPATIBLE @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 5

EJEMPLOS RESUELTOS • 4. • • • Sumamos 2 a ambos lados, quedando: x– 2+2=x -2+2 x=x Nos ha dado una IDENTIDAD. Siempre se cumplirá la igualdad, luego hay … INFINITAS SOLUCIONES • 5. • • • Restamos x a ambos lados quedando: 2. x – 2 – x = 6 + x – x x – 2 = 6 Sumamos 2 a ambos lados, quedando: x– 2+2=6+2 x=8 x = 8 es una ecuación equivalente a la dada. Resolver la ecuación: @ Angel Prieto Benito x– 2=x– 2 2. x – 2 = 6 + x Apuntes de Matemáticas 3º ESO 6

REGLA DEL PRODUCTO • • SEGUNDO PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA Si en una igualdad multiplicamos (o dividimos) a ambos miembros por la misma cantidad, la igualdad sigue siendo cierta • • Ejemplo: x x a. x --- = b a. --- = a. b ------ = a. b x = a. b a a a Numéricamente: x x 3. x --- = 4 3. --- = 3. 4 ------ = 3. 4 x = 12 3 3 3 • En la práctica se puede resumir así: Lo que multiplique/divida en un miembro de la igualdad puede pasar dividiendo/multiplicando al otro miembro. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 7

REGLA DEL PRODUCTO • • Ejemplo: • • Importante: Si al despejar la incógnita, x, no queda un valor entero, se simplifica y se queda como fracción irreducible, salvo que sea decimal exacto. x=2 Bien x = 3 / 2 = 1, 5 Bien x = 2 / 3 = 0, 6666 Incorrecto, pues nunca puede ser exacto. x=2/3 Bien • • a. x = b ---- = a Numéricamente: 3. x = 9 ---- = 3 @ Angel Prieto Benito b ---- x = b / a a 9 ---- x = 9 / 3 = 3 3 Apuntes de Matemáticas 3º ESO 8

EJEMPLOS RESUELTOS • 6. Resolver la ecuación: 2. x = 6 • Dividimos por 2 a ambos lados, quedando: • 2. x / 2 = 6 / 2 x = 3 • O sea, el 2 que estaba multiplicando a la incógnita pasa al otro lado dividiendo. • 7. Resolver la ecuación: x/3=5 • Multiplicamos ambos lados por 3, quedando: • x 3. x • 3. ---- = 3. 5 ----- = 15 x = 15 • 3 3 • O sea, el 3 que estaba dividiendo a la incógnita pasa al otro lado multiplicando. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 9

• 8. • • Las x deben quedar todas a un mismo lado. ¿Dónde? . Mejor donde queden positivas. • • – 2 – 4 = 5. x – 2. x – 2=x • • • Multiplicamos ambos lados por 3, quedando: 2. x 3. [------- – 2] = 3. ( x – 6) Propiedad distributiva del producto 3 Queda: 2. x – 6 = 3. x – 18 • • Las x deben quedar todas a un mismo lado. ¿Dónde? . Mejor donde queden positivas. • – 6 + 18 = 3. x – 2. x 9. Resolver la ecuación: – 6 = 3. x Resolver la ecuación: @ Angel Prieto Benito 2. x – 2 = 5. x + 4 – 6/3=x ( 2. x / 3 ) – 2 = x - 6 12 = x Apuntes de Matemáticas 3º ESO 10

10 Resolver la ecuación: 2 - (3. x / 2) = x – 6 • • • Multiplicamos ambos lados por 2, quedando: 3. x 2. [2 - -----)] = 2. (x – 6) 4 – 3. x = 2. x - 12 2 Sumamos 3. x a ambos lados, quedando: 4 – 3. x + 3. x = 2. x - 12 + 3. x 4 = 5. x – 12 • • Sumamos 12 a ambos lados, quedando: 4 + 12 = 5. x - 12 + 12 16 = 5. x • • Dividimos por 5 a ambos lados, quedando: 16 5. x ---- = ---- 16 / 5 = x x = 3, 20 5 5 • • La expresión decimal con dos cifras decimales. Si la fracción resultante no es decimal exacto, se deja en fracción. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 11

Paréntesis y fracciones • • EJEMPLO_1 Resolver la ecuación: • • • Paréntesis: 7–x+2=x+5 Trasponer términos: –x–x =5– 7– 2 Reducir términos semejantes: – 2. x = – 4 Despejar: x = – 4 / (– 2) x=2 • • EJEMPLO_2 Resolver la ecuación: • • • Paréntesis: 7 – 3. x + 6 = 2. x + 10 – 4 Trasponer términos: – 3. x – 2. x = 10 – 4 – 7 – 6 Reducir términos semejantes: – 5. x = – 7 Despejar: x = – 7 / (– 5) x = 7 / 5 = 1, 40 @ Angel Prieto Benito 7 – (x – 2) = x + 5 7 – 3. (x – 2) = 2. (x + 5) – 4 Apuntes de Matemáticas 3º ESO 12

• • EJEMPLO_3 Resolver la ecuación: • • • Paréntesis: 3 + 12 – 8. x = x + 5 – 15. x Trasponer términos: – 8. x – x + 15. x = 5 – 3 – 12 Reducir términos semejantes: 6. x = – 10 Despejar: x = – 10 / 6 x=– 5/3 • • • EJEMPLO_4 Resolver la ecuación: (x / 3) = x – [(x – 1) / 4] • • Denominadores: mcm(3, 4)=12 4. x / 12 = (12. x / 12) – 3. (x – 1) / 12 4. x = 12. x – 3. (x – 1) Paréntesis: 4. x = 12. x – 3. x + 3 Trasponer términos: 4. x – 12. x + 3. x = 3 Reducir términos semejantes: – 5. x = 3 Despejar: x = 3 / (– 5) x = – 3/5 = – 0’ 6 @ Angel Prieto Benito 3 + 4. (3 – 2. x) = x + 5. (1 – 3 x) Apuntes de Matemáticas 3º ESO 13

• • • EJEMPLO_5 Resolver la ecuación: x 2. x – 3 2 – x --- – ----- = ------3 4 6 • • • Denominadores: m. c. m. (3, 4, 6) = 12 4. x 3. (2. x – 3) 2. (2 – x ) ----- – ------- = ------12 12 12 4. x – 3. (2. x – 3) = 2. (2 – x) • Paréntesis: • Trasponer términos: • Reducir términos semejantes: • • Despejar: No se puede despejar x. Además la última igualdad es falsa. @ Angel Prieto Benito 4. x – 6. x + 9 = 4 – 2. x 4. x – 6. x + 2. x = 4 – 9 0=– 5 No hay solución. Apuntes de Matemáticas 3º ESO 14

• EJEMPLO_3 • • Resolver la ecuación: x 2 x – 3 x --- – x + 1 = ----- – 2. ---4 6 9 • • • Denominadores: m. c. m. (4, 6, 9) = 36 9. x 36. (x – 1) 6. (2 x – 3) 4. 2. x ----- – ------- = ------- – -------36 36 • • • Paréntesis: 9. x – 36. x + 36 = 12. x – 18 – 8. x Trasponer términos: 9. x – 36. x – 12. x + 8. x = – 18 – 36 Reducir términos semejantes: – 31. x = – 54 Despejar: x = – 54 / (– 31) x = 54/31 9. x – 36. (x – 1) = 6. (2 x – 3) – 4. 2. x @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 15