Polinomios U D 4 3 ESO E AC

Polinomios U. D. 4 * 3º ESO E. AC. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 1

PRODUCTO DE POLINOMIOS U. D. 4. 3 * 3º ESO E. AC. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 2

PRODUCTO DE POLINOMIOS • PRODUCTO DE MONOMIOS • El producto de dos monomios ( semejantes o no ) es otro monomio, que tiene como coeficiente el producto de los coeficientes, como variable la misma y grado la suma de los grados de los monomios factores. • EJEMPLO • Sea 4. x 3 y • (4. x 3 ). (5. x 2 ) = 4. 5. x 3+2 = 20. x 5 • EJEMPLO • Sea 7. x 3 y • (7. x 3 ). (5. a. x 3 ) = 7. 5. a. x 3+3 = 35. a. x 6 @ Angel Prieto Benito 5. x 2 5. a. x 3 Apuntes de Matemáticas 3º ESO 3

PRODUCTO DE POLINOMIOS • PRODUCTO DE UN MONOMIO POR UN POLINOMIO • El producto de un monomio por un polinomio es el que resulte de multiplicar dicho monomio por todos y cada uno de los monomios del polinomio, reduciendo finalmente términos semejantes. • EJEMPLO • Sea el monomio 4. x 3 y P(x) = 5. x 4 + 4. x 3 - 2. x • (4. x 3). P(x) = ( 4. x 3 ). (5. x 4 + 4. x 3 - 2. x ) = • = ( 4. x 3 ). (5. x 4 ) + ( 4. x 3 ). (4. x 3 ) + ( 4. x 3 ). ( - 2. x ) = • = 20. x 7 + 16. x 6 - 8. x 4 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 4

• OTRO EJEMPLO • Sea el monomio 4. x. y P(x) = 5. y. x 2 + 4. y 2. x – 2. x. y + 3 • (4. x. y). P(x) = ( 4. x. y). (5. y. x 2 + 4. y 2. x – 2. x. y + 3 ) = • = (4. x. y). (5. y. x 2 ) + (4. x. y). ( 4. y 2. x ) + (4. x. y). (– 2. x. y ) + (4. x. y). (3) = • = 20. x 3. y 2 + 16. x 2. y 3 - 8. x 2. y 2 + 12. x. y • UN EJEMPLO MÁS • Sea el monomio 4. a. x P(x) = 5. a. x 2 + 4. a 2. x • (4. a. x). P(x) = ( 4. a. x). (5. a. x 2 + 4. a 2. x) = • = (4. a. x). (5. a. x 2 ) + (4. a. x). ( 4. a 2. x ) = 20. a 2. x 3 + 16. a 2. x 2 • Nota: Como la x es la variable, a forma parte del coeficiente. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 5

Aclaración previa al producto • • • Los que tengan dificultad en multiplicar polinomios pueden hacerlo por columnas de términos semejantes: P(x) = 5. x 4 + 4. x 3 - 2. x Q(x) = 3. x 3 + 5. x • • 15. x 7 + 12. x 6 + 25. x 5 + 14. x 4 - 10. x 2 25. x 5 + 20. x 4 – 10. x 2 – 6. x 4 • Sin embargo, es más práctico y rápido hacerlo linealmente: • • • P(x). Q(x) = (5. x 4 + 4. x 3 - 2. x). (3. x 3 + 5. x) = (25. x 5 + 20. x 4 – 10. x 2 ) + + (15. x 7 + 12. x 6 – 6. x 4) = 15. x 7 + 12. x 6 + 25. x 5 + 20. x 4 - 6. x 4 – 10. x 2 = = 15. x 7 + 12. x 6 + 25. x 5 + 14. x 4 - 10. x 2 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 6

PRODUCTO DE POLINOMIOS • PRODUCTO DE POLINOMIOS • El producto de dos polinomios es el que resulte de multiplicar todos y cada uno de los términos de uno de ellos por todos y cada uno de los términos del otro, reduciendo finalmente términos semejantes. • EJEMPLO 1 • Sea P(x) = 4. x + 3 y Q(x) = 5. x 2 + 4. x – 2 • P(x). Q(x) = ( 4. x + 3 ). ( 5. x 2 + 4. x – 2 ) = • = ( 4. x ). (5. x 2 + 4. x – 2 ) + (3). ( 5. x 2 + 4. x – 2 ) = • = (20. x 3 + 16. x 2 – 8. x) + ( 15. x 2 + 12. x – 6 ) = • = 20. x 3 + 16. x 2 – 8. x + 15. x 2 + 12. x – 6 = 20. x 3 + 31. x 2 + 4. x – 6 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 7

PRODUCTO DE POLINOMIOS • EJEMPLO 2 • Sea P(x) = a. x + 3 y Q(x) = x 2 + 4. x – b • P(x). Q(x) = ( a. x + 3 ). ( x 2 + 4. x – b ) = • = ( a. x ). (x 2 + 4. x – b ) + (3). ( x 2 + 4. x – b ) = • = (a. x 3 + 4. a. x 2 – a. b. x) + ( 3. x 2 + 12. x – 3 b ) = • = a. x 3 + 4. a. x 2 – a. b. x + 3. x 2 + 12. x – 3. b = • = a. x 3 + (4. a + 3). x 2 + (12 – a. b). x – 3. b • Nota: En este ejemplo “a” y “b” no son variables, puesto que la x es la única variable que hay. Son coeficientes, aunque no sabemos su valor. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 8

PRODUCTO DE POLINOMIOS • Nota al PRODUCTO DE POLINOMIOS • El número de términos resultantes al multiplicar dos o más polinomios entre sí es el producto del número de términos de cada polinomio que interviene. • Veamos algunos ejemplos: • • • (4. x). (5. x 2 + 4. x ) (4. x - 2). (5. x 2 + 4. x ). (x 2 + 4. x - 3) (5. x 2 + 4. x + 7). (x 2 + 4. x - 3) (x 2 + 4. x ). (x 3 + x 2 + x - 3) (x 2 + 4. x - 5). (x 3 + x 2 + x - 3) • • Sabiendo esto no omitiremos ningún producto parcial. Ahora bien, una vez reducido el polinomio resultante, el número de términos, siempre menor o igual al expuesto aquí, será variable. @ Angel Prieto Benito 1. 2 = 2 términos 2. 2 = 4 términos 2. 3 = 6 términos 3. 3 = 9 términos 2. 4 = 8 términos 3. 4 = 12 términos Apuntes de Matemáticas 3º ESO 9

FACTOR COMÚN • En numerosas ocasiones nos interesa el proceso inverso de multiplicar monomios y polinomios, es decir nos interesa SACAR FACTOR COMÚN para que la expresión polinómica quede como un producto de polinomios. • • • EJEMPLO 1 Sea P(x) = 5. x 2 + 4. x Factor común: x P(x) = x. (5. x + 4) • • • EJEMPLO 2 Sea P(x) = 4. x 2 – 12. x Factor común: 4. x P(x) = 4. x. (x – 3) • • EJEMPLO 3 Sea P(x) = 3. x 2 – 7. x Factor común: 3. x P(x) = 3. x. (x – 7/3) El 7 no es divisible entre 3, pero lo que parecía imposible no lo es utilizando números fraccionarios. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 10

FACTOR COMÚN • • EJEMPLO 4 Sea P(x) = 5. a 3 + m. a 2 – a Factor común: a P(x) = a. (5. a 2 + m. a – 1) Al extraer la “a” de “– a”, queda “– 1”. No desaparece el término. • • • EJEMPLO 5 Sea P(x) = x 4 – x 3 + x 2 – x Factor común: x P(x) = x. (x 3 – x 2 + x – 1) Pero veamos tomando dos a dos: P(x) = (x 4 + x 2) – (x 3 + x) Factor común: x 2 y x P(x) = x 2. (x 2 + 1) – x. (x 2 + 1) He obtenido otro factor común: (x 2 + 1) Con lo cual: P(x) = (x 2 + 1). (x 2 – x) Y aún puedo sacar otro factor común, x, quedando: P(x) = (x 2 + 1). x. (x – 1) @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 11

FACTOR COMÚN • • EJEMPLO 6 Sea P(x) = 8. x 3 + 6. x 2 + 4. x + 3 • • • Advertencia de error: Sacar factor común a los tres primeros términos no es nada útil. Quedaría: P(x) = x. (8. x 2 + 6. x + 4) + 3 • • Veamos tomando dos a dos: P(x) = (8. x 3 + 4. x) + (6. x 2 + 3) Factor común: 4. x y 3 P(x) = 4. x. (2. x 2 + 1) + 3. (2. x 2 + 1) He obtenido otro factor común: (2. x 2 + 1) Con lo cual: P(x) = (2. x 2 + 1). (4. x + 3) Y, si me interesa, aún puedo sacar otro factor común, el 4, quedando: P(x) = (2. x 2 + 1). 4. (x + 3/4) @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 12