Spieltheoretische Koalitionsverhandlungen Thema Agentenbasierte Koalitionsverhandlungen Paper Coalitions among

Spieltheoretische Koalitionsverhandlungen Thema: Agentenbasierte Koalitionsverhandlungen Paper: Coalitions among Computationally Bounded Agents

Themen n n Grundlagen Bedingungen für Koalitionsstrukturen Core- Stabilität der Koalitionsstrukturen Stabilität von Koalitionsstrukturen Spieltheorie - Peter Kaczmarczyk 1

Grundlagen n Set aller Agenten: A niedrigste Kosten, die eine Gruppe S erzielen kann: n Charakteristische Funktion, Wert einer Koalition S angibt: n Auszahlung eines Agenten i: n Allgemeinwohl ist die Summe der Auszahlung aller Agenten n xi Є R wenn für alle disjunkte Koalitionen gilt: n dann ist das Spiel superadditiv sonst: ist das Spiel subadditiv Spieltheorie - Peter Kaczmarczyk 2

Grundlagen n Agenten koordinieren ihre Berechnungen und Weltaktionen innerhalb jeder Koalition keine Koordination zwischen Koalitionen In verteilten, kooperativen Problemlösungssystemen bestimmt ein Designer ein Interaktionsprotokoll und eine Strategie q n Frage: welche Struktur bei gegebenem Protokoll und Strategie In Multiagentensystemen können die Agenten jedoch ihre eigene Strategie auswählen q q q Selbstorientierte Agenten wählen die beste Strategie, für sich selbst Frage: Bei gegebenem Protokoll, welche Struktur entsteht, die garantiert, dass die lokale Strategie eines jeden Agenten am besten für ihn ist? Diese Strategie wird somit von diesem Agenten benutzt. Spieltheorie - Peter Kaczmarczyk 3

Grundlagen Core Wert jeder Teilgruppe S an Agenten ist nicht größer als die Summe der Auszahlungen der Agenten in CS perfekte Rationalität: Algorithmen, die optimale Lösung mit Null Berechnungskosten finden n n Rationalität der Agenten ist jedoch durch die Berechnungskomplexität begrenzt q bei harten Problemen entstehen nicht zu begründende Kosten für die optimale Lösung q Folge: Qualität der Lösung wird gegen ihre Berechnungskosten aufgewogen Erweiterung der klassischen Spieltheorie, die perfekte Rationalität annimmt Spieltheorie - Peter Kaczmarczyk 4

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Modell der beschränkten Rationalität Berechnungsgrenzen quantitativ modelliert: Berechnungskosteneinheiten: n ccomp ≥ 0 pro CPU Time Koalitionkosten von S, nachdem Berechnungsressourcen r. S verbraucht wurden: c. S(r. S) ≥ 0 c. S(r. S) entspricht dem Leistungsprofil für den Problemlösungsalgorithmus Spieltheorie - Peter Kaczmarczyk 6

Modell der beschränkten Rationalität n Jede Koalition minimiert die Summe aus den Koalitionskosten und den Berechnungskosten Wert einer Koalition S: v. S(ccomp)= minr. S[c. S(r. S) + ccomp * r. S] n Dieser Wert sinkt mit steigenden Berechnungskosten ccomp Spieltheorie - Peter Kaczmarczyk 7

Beispiele v. S(ccomp)= minr [c. S(r. S) + ccomp * r. S] S Spieltheorie - Peter Kaczmarczyk 8

Koalitionen für das Allgemeinwohl beschränkt rational superadditives Spiel (BRSUP) Wenn für alle disjunkte Koalitionen und Berechnungskosteneinheit ccomp gilt: dann ist das Spiel BRSUP n n BRSUP Spiele sind immer Spiele, bei denen die große Koalition {A} das Algemeinwohl maximiert bei gegebenen ccomp kann ein Spiel entweder superadditiv, BRSUP, beides oder keines von beiden sein Spieltheorie - Peter Kaczmarczyk 9

Koalitionen für das Allgemeinwohl beschränkt rational subadditives Spiel (BRSUB) Wenn für alle disjunkte Koalitionen und Berechnungskosteneinheit ccomp gilt: dann ist das Spiel BRSUB n n n In BRSUB Spielen arbeiten die Agenten am besten alleine. {{a 1}, {a 2}, {a 3}, …, {a|A|}, } maximiert das Algemeinwohl nur einige nicht-BRSUP Spiele sind beschränkt rational subadditiv Spieltheorie - Peter Kaczmarczyk 10

Beispiel v. S(ccomp)= minr [c. S(r. S) + ccomp * r. S] S Spieltheorie - Peter Kaczmarczyk 11

Koalitionen für das Allgemeinwohl n Wenn die Leistungsprofile c. S(r. S) und die Berechnungskosten ccomp bekannt sind, kann man den Ertrag einer jeden Koalitionsstruktur über ihre Koalitionen berechnen mit: v. S(ccomp)= minr. S[c. S(r. S) + ccomp * r. S] n Es gibt jedoch einige generelle Ergebnisse, diese Aufzählung über alle Koalitionen unnötig machen Frage: Welche Leistungsprofile machen ein Spiel zu einem BRSUP oder BRSUB Spiel für beliebige Berechnungskosteneinheiten n Bei Ausführungen auf remote Rechnern sind die Berechnungskosten unbekannt Spieltheorie - Peter Kaczmarczyk 12

Garantie für Zusammenschlüsse n Hilfe bietet Theorem 3. 1, dass eine hinreichende Bedingung darstellt, die garantiert, dass 2 beliebige, disjunkte Koalitionen unabhängig von den Berechnungskosteneinheiten ccomp fusionieren sollten Theorem 3. 1 BRSUP (hinreichende Bedingung): Wenn für alle disjunkten Koalitionen und alle Berechnungszuteilungen gilt: dann ist das Spiel BRSUP für alle Berechnungskosteneinheiten ccomp Spieltheorie - Peter Kaczmarczyk 13

Garantie für Zusammenschlüsse n n n In der Theorie ist Theorem 3. 1 immer erfüllbar, da der Problemlösungsalgorithmus c(r) zuerst r. S verbrauchen kann um Problem von S zu lösen und dann r. T für T Folge: beste Koalitionsstruktur ist die große Koalition {A} Theorem 3. 1 ist keine notwendige Bedingung im allgemeinen Theorem 3. 2: Gilt: für alle disjunkten Koalitionen und alle Berechnungszuteilungen das Spiel ist BRSUP für beliebige Berechnungskosteneinheiten ccomp Spieltheorie - Peter Kaczmarczyk 14

Garantie für Zusammenschlüsse Theorem 3. 3 BRSUP (notwendige und hinreichende Bedingung): c. U(r) Ist c. U(r) fallend und convex in r, für jedes und gilt: r für alle disjunkten Koalitionen und alle Berechnungszuteilungen genau dann ist das Spiel BRSUP für beliebige Berechnungskosteneinheiten ccomp n c. U(r ) ist oft konvex, da größere Verbesserungen am Anfang mit wenigen Rechenschritten gefunden werden können, als später bei fast optimalen Zuständen Spieltheorie - Peter Kaczmarczyk 15

Beispiel Zusammenschlüsse v. S(ccomp)= minr [c. S(r. S) + ccomp * r. S] S Spieltheorie - Peter Kaczmarczyk 16

Garantie für Aufteilungen Theorem 3. 4 BRSUB (hinreichende Bedingung): Gilt: für alle disjunkten Koalitionen und alle Berechnungszuteilungen => dann ist das Spiel BRSUB für beliebige Berechnungskosteneinheiten ccomp n n Ein Spiel kann beschränkt rational subadditiv sein auch wenn Theorem 3. 4 nicht gilt Anders als bei der beschränkt rationalen Supperadditivität wird diese Implikation nicht zu einer Äquivalenz Spieltheorie - Peter Kaczmarczyk 17

Beispiel v. U(ccomp)= minr [c. S(r. U) + ccomp * r. U] U Wenn z. B. Kosten bei Koalitionsbildung entstehen, die nicht durch Optimierung der Kostenfunktion wieder weggemacht werden können, dann ist dieses Spiel BRSUB Spieltheorie - Peter Kaczmarczyk 18

Core- Stabilität der Koalitionsstruktur n Stabilität der Auszahlungskonfiguration analysiert anhand des „Core“ –Lösungskonzepts Wiederholung: Core: „Der Core eines Spiels ist ein Set von stabilen Auszahlungskonfigurationen (x, CS), x ist ein Vektor von Auszahlungen an die Agenten“ stabil: „Konfiguration wird als stabil angesehen, wenn keine Untergruppe von Agenten ihre Auszahlung vergrößern kann, indem sie die Koalition verlässt und eine neue Koalition gründet“ Spieltheorie - Peter Kaczmarczyk 19

Core- Stabilität der Koalitionsstruktur beschränkt rationale Core (BRC) bei Berechnungskosteneinheiten ccomp ist der n Wenn der BRC nicht leer ist, können beschränkt rationale Agenten ihre Erträge untereinander verteilen, ohne dass eine Teilgruppe die Koalitionsstruktur verlassen will Spieltheorie - Peter Kaczmarczyk 20

Core- Stabilität der Koalitionsstruktur Theorem 4. 1 BRC in BRSUB Spielen: Wenn ein Spiel, bei gegebenen ccomp, BRSUB ist => dann ist n In Spielen, die nicht BRSUB sind ist BRC manchmal leer n Erinnerung BRSUB: Spieltheorie - Peter Kaczmarczyk 21

Definitionen Seien B 1, …, Bp verschiedene, nicht leere Teilmengen von A. Das Set B = {B 1, …, Bp} nennt man balanciert, wenn positive Koeffizienten existieren, sodass gilt: ein minimal balanciertes Set enthält keine anderen balancierten Sets Ein minimal balanciertes Set wird proper genannt, wenn kein Paar disjunkt ist. Spieltheorie - Peter Kaczmarczyk 22

Beispiele : proper sets Spieltheorie - Peter Kaczmarczyk 23

Core- Stabilität der Koalitionsstruktur Theorem 4. 3 BRC in BRSUP Spielen (notwendige und hinreichende Bedingungen): Wenn bei gegebenen ccomp, ein Spiel BRSUP ist, und für jedes proper minimal balanciertes Set B = {B 1, …, Bp} gilt: <=> genau dann ist n Dieses Set an Ungleichungen ist minimal, kein kleineres Set ist ausreichend als Bedingung Spieltheorie - Peter Kaczmarczyk 24

Core- Stabilität der Koalitionsstruktur Theorem 4. 2 BRC in beschränkt rationalen großen Koalitionsspielen (notwendige und hinreichende Bedingungen): Wenn bei gegebenen ccomp, {A} den Allgemeinwohl maximiert, und für jedes minimal balanciertes Set B = {B 1, …, Bp} gilt: <=> genau dann ist Spieltheorie - Peter Kaczmarczyk 25

Core- Stabilität der Koalitionsstruktur Theorem 4. 5 BRC in BRSUP Spielen (hinreichende Bedingungen über Kostenfunktion): Wenn bei gegebenen ccomp, das Spiel BRSUP ist, und [für jedes proper minimal balanciertes Set β = {B 1, …, Bp} gilt: => dann ist Spieltheorie - Peter Kaczmarczyk 26

Core- Stabilität der Koalitionsstruktur Theorem 4. 4 BRC in beschränkt rationalen großen Koalitionsspielen (hinreichende Bedingungen über Kostenfunktion): Wenn bei gegebenen ccomp, {A} den Allgemeinwohl maximiert, und [für jedes minimal balanciertes Set β = {B 1, …, Bp} gilt: => dann ist Spieltheorie - Peter Kaczmarczyk 27

Zusammenfassung n n Multiagentensysteme in denen Agenten ihre Strategie selbst wählen dürfen BRSUP hinreichende, notwendige Bedingung die Garantie für Zusammenschlüsse liefern n BRSUB nur hinreichende Bedingung die Garantie für Aufteilungen liefern n Core- Stabilität der Koalitionsstruktur q q q BRC in BRSUB Spielen BRC in BRSUP Spielen und großen Koalitionsspielen BRC in BRSUP Spielen abhängig von Kostenfunktion Spieltheorie - Peter Kaczmarczyk 28

Danke für Ihre Aufmerksamkeit Fragen? Spieltheorie - Peter Kaczmarczyk 29