Rwnania rniczkowe czstkowe liczba zmiennych 2 rzd rwnania

Równania różniczkowe cząstkowe • liczba zmiennych > 2 • rząd równania: rząd najwyższej pochodnej • charakterystyka: liniowe, quasi-liniowe, nieliniowe

• klasyfikacja równań liniowych rzędu drugiego

Motywacja dla takiej klasyfikacji Najprostsze rozwiązania: Również dla bardziej skomplikowanych równań lokalne własności rozwiązanie zależą od znaku wyrażenia B 2 -4 AC.

y węzeł pomocniczy h=(hx, hy) hy Xk hx węzeł podstawowy Parametr h x charakteryzuje siatkę h W metodach różnicowych poszukuje się tablicy wartości przybliżonych uh rozwiązania dokładnego u na zbiorze izolowanych punktów Xk (k=1, 2, . . . , Nh ) zwanym siatką. Punkty Xk są nazywane węzłami siatki.

Zastępowanie pochodnych ilorazami różnicowymi na siatce prostokątnej k+1 k hi hk k-1 i i+1

k+1 k hi hk k-1 i i+1

k+1 k hi hk k-1 i i+1

Interpolacja liniowa dla warunku brzegowego Dirichleta h i-1, k i+1, k Zakładając liniowy rozkład rozwiązania między sąsiednimi węzłami mamy:

Interpolacja liniowa dla warunku brzegowego Neumanna. hi i-1, k n i, k-1 hk

Równania eliptyczne w przypadku dwuwymiarowym x=(x, y) Warunki brzegowe:

Przykład: równanie Poissona dla cząsteczki makromolekuły w rozpuszczalniku Równanie Poissona przechodzi w równanie Poissona-Boltzmanna (nieliniowe) jeżeli w środowisku znajdują się jony

e=80 e=4 Na podstawie obliczonego potencjału elektrostatycznego można obliczyć wkład elektrostatyczny do energii swobodnej solwatacji makromolekuły

Przykład: mapy potencjału elektrostatycznego kinazy zależnej od c. AMP (1 YDR); po lewej powierzchnie izopotencjalne, po prawej mapa potencjału na powierzchni molekularnej.

10 y(k) 9 8 7 p j-1 j 6 hy 5 j+1 l 4 3 2 hx (0, 0) 1 2 3 4 5 6 7 8 1 9 x(i)

Dla węzłów wewnętrznych: p j-1 j l j+1

m p-1 styczna p (xkp, ykp) normalna

Metoda Jacobiego w 2 D • Równanie Poissona -4* u(i, j) + u(i-1, j) + u(i+1, j) + u(i, j-1) + u(i, j+1) = h 2 b(i, j) • Dla wyprowadzenie metody Jacobiego przegrupujemy: u(i, j) = (u(i-1, j) + u(i+1, j) + u(i, j-1) + u(i, j+1) - h 2 b(i, j))/4 • Niech u(i, j, m) aproksymuje u(i, j) w m krokach u(i, j, m+1) = (u(i-1, j, m) + u(i+1, j, m) + u(i, j-1, m) + u(i, j+1, m) + b(i, j)) / 4 – u(i, j, m+1) jest średnią ważoną sąsiadów – u(i, j, m+1) spełnia równanie w punkcie (i, j) • Zbieżność zależy od N i jest bardzo wolna -1 -1 4 -1 -1

• b równe 0, z wyjątkiem środka gdzie wynosi b= -1/ h 2

parameter(n=9) double precision a(n, n), b(n, n), f(n, n), h do i=1, n do j=1, n f(i, j)=0 a(i, j)=0 b(i, j)=a(i, j) enddo h=1. 0/n f(5, 5)=-1. 0/h**2 diff=1 k=0 DO WHILE(diff. gt. 0. 0001) call pisz(a, n, k) DO j=2, n-1 DO i=2, n-1 B(i, j)=0. 25*(A(i-1, j)+A(i+1, j)+A(i, j-1)+A(i, j+1)-H*H*F(I, J)) END DO diff=0 DO j=1, n DO i=1, n diff=diff+(B(i, j)-A(i, j))**2 A(i, j) = B(i, j) END DO k=k+1 write(*, *) k, diff END DO end

Jak przyspieszyć zbieżność ? • Jacobi : nowe wartości wykorzystane dopiero w następnej iteracji A*ij = (Ai+1, j + Ai-1, j + Ai, j+1 + Ai, j-1)/4 • Gauss-Seidel : nowe wartości wpisywane bezpośrednio do macierzy A • Red Block : podział siatki jak na szachownicy • Successive Over Relaxation (SOR) A*ij = (1 -s)Aij + s(Ai+1, j + Ai-1, j + Ai, j+1 + Ai, j-1)/4 dla s =1. 2 do 1. 4 • Multigrid – siatka hierarchiczna