Rwnania rekurencyjne i ich zastosowania Liniowe rwnania rekurencyjne

  • Slides: 33
Download presentation
Równania rekurencyjne i ich zastosowania • Liniowe równania rekurencyjne: równanie charakterystyczne, transformata Z •

Równania rekurencyjne i ich zastosowania • Liniowe równania rekurencyjne: równanie charakterystyczne, transformata Z • Stabilność: ciągi monotoniczne i okresowe, układy dynamiczne • Rola stabilności: metoda Newtona, macierze Markowa, fraktale • Chaos na odcinku

Egzamin Część pisemna (obowiązkowa) • zadania rachunkowe • zagadnienia i twierdzenia z wykładu (wraz

Egzamin Część pisemna (obowiązkowa) • zadania rachunkowe • zagadnienia i twierdzenia z wykładu (wraz z dowodami) • samodzielne dowodzenie prostych twierdzeń Część ustna (opcjonalna) - możliwość podniesienia oceny z części ustnej • teoria wraz z zagadnieniami z ćwiczeń • autorskie propozycje studentów

Systemy Lindenmayera (L-systems) Glon arabaena catenula komórki nie podlegające podziałom komórki ulegające podziałom duże

Systemy Lindenmayera (L-systems) Glon arabaena catenula komórki nie podlegające podziałom komórki ulegające podziałom duże małe

Systemy Lindenmayera P - duża komórka powodująca rozrost w prawo L - duża komórka

Systemy Lindenmayera P - duża komórka powodująca rozrost w prawo L - duża komórka powodująca rozrost w lewo p - mała komórka powodująca rozrost w prawo l - mała komórka powodująca rozrost w lewo L l l. P reguły podziału P p Lp Lp

Systemy Lindenmayera L l l | P | L |p P |p L l

Systemy Lindenmayera L l l | P | L |p P |p L l | |p P L |p

Systemy Lindenmayera : Formalizacja - alfabet - słowo (długości 8) - konkatenacja słów -

Systemy Lindenmayera : Formalizacja - alfabet - słowo (długości 8) - konkatenacja słów - zbiór słów

Systemy Lindenmayera : Formalizacja Reguły podziału komórek (liter) determinują podziały organizmów (słów) wg wzoru

Systemy Lindenmayera : Formalizacja Reguły podziału komórek (liter) determinują podziały organizmów (słów) wg wzoru Np.

Systemy Lindenmayera Pytania: ? ? ?

Systemy Lindenmayera Pytania: ? ? ?

Gra » Life « Conwaya: Stan przed zmianą Zasady Liczba Stan po sąsiadów zmianie

Gra » Life « Conwaya: Stan przed zmianą Zasady Liczba Stan po sąsiadów zmianie Opis , , socjologiczny” pełna 0 -1 pusta śmierć z samotności pełna 4 -8 pusta śmierć z przeludnienia pusta 3 pełna narodziny , , rodzice” umierają z samotności

Gra » Life « Conwaya: Stan przed zmianą Zasady Liczba Stan po sąsiadów zmianie

Gra » Life « Conwaya: Stan przed zmianą Zasady Liczba Stan po sąsiadów zmianie Opis , , socjologiczny” pełna 0 -1 pusta śmierć z samotności pełna 4 -8 pusta śmierć z przeludnienia pusta 3 pełna narodziny , , rodzą” się 2 nowe tracąc 2 , , rodziców” śmierć z przeludnienia łódka stoi w miejscu

Gra » Life « Conwaya lot Dakoty-4 Żaba , , skok” , , lądowanie”

Gra » Life « Conwaya lot Dakoty-4 Żaba , , skok” , , lądowanie”

Gra » Life « Conwaya lot Dakoty-4 poprzednio teraz

Gra » Life « Conwaya lot Dakoty-4 poprzednio teraz

Gra » Life « Conwaya lot Dakoty-4 poprzednio teraz

Gra » Life « Conwaya lot Dakoty-4 poprzednio teraz

Gra » Life « Conwaya lot Dakoty-4 poprzednio teraz

Gra » Life « Conwaya lot Dakoty-4 poprzednio teraz

Gra » Life « Conwaya lot Dakoty-4 poprzednio teraz

Gra » Life « Conwaya lot Dakoty-4 poprzednio teraz

Gra » Life « Conwaya lot Dakoty-4 stage 0

Gra » Life « Conwaya lot Dakoty-4 stage 0

Gra » Life « Conwaya lot Dakoty-4 stage 1

Gra » Life « Conwaya lot Dakoty-4 stage 1

Gra » Life « Conwaya lot Dakoty-4 stage 2

Gra » Life « Conwaya lot Dakoty-4 stage 2

Gra » Life « Conwaya lot Dakoty-4 stage 3

Gra » Life « Conwaya lot Dakoty-4 stage 3

Gra » Life « Conwaya lot Dakoty-4 stage 4

Gra » Life « Conwaya lot Dakoty-4 stage 4

Gra » Life « Conwaya lot Dakoty-4 stage 5

Gra » Life « Conwaya lot Dakoty-4 stage 5

Gra » Life « Conwaya lot Dakoty-4 stage 6

Gra » Life « Conwaya lot Dakoty-4 stage 6

Gra » Life « Conwaya lot Dakoty-4 stage 7

Gra » Life « Conwaya lot Dakoty-4 stage 7

Gra » Life « Conwaya lot Dakoty-4 stage 8

Gra » Life « Conwaya lot Dakoty-4 stage 8

Automorfizm Arnolda (Arnold’s cat map) = liczba pikseli w pionie/w poziomie Właściwą scenerię dla

Automorfizm Arnolda (Arnold’s cat map) = liczba pikseli w pionie/w poziomie Właściwą scenerię dla A stanowi torus a nie płaszczyzna

Kot Arnolda To ja w roli kota Arnolda Po 1 -krotnym działaniu A Po

Kot Arnolda To ja w roli kota Arnolda Po 1 -krotnym działaniu A Po 2 -krotnym działaniu A

Kot Arnolda Przekształcenie Arnolda zachowuje się chaotycznie. Nowy rodzaj kryptografii kryptografia chaotyczna? Po 5

Kot Arnolda Przekształcenie Arnolda zachowuje się chaotycznie. Nowy rodzaj kryptografii kryptografia chaotyczna? Po 5 -krotnym działaniu A

Macierze Markowa Frakcje polityczne: (1), (2) i (3). - prawdopodobieństwo zmiany poparcia z i

Macierze Markowa Frakcje polityczne: (1), (2) i (3). - prawdopodobieństwo zmiany poparcia z i na j - rozkład poparcia w n-tych wyborach

Macierze Markowa , , Twierdzenie ergodyczne” Po dostatecznie długim czasie będziemy mieli w przybliżeniu

Macierze Markowa , , Twierdzenie ergodyczne” Po dostatecznie długim czasie będziemy mieli w przybliżeniu stały rozkład poparcia niezależnie od rozkładu początkowego Praktycznie stałe już przy n=8 wyborach Mariaż powyższego z teorią gier i systemów głosowania pozwala wyjaśnić dlaczego w większości rozwiniętych parlamentów istnieją tylko dwie partie (np. Anglia, Stany Zjednoczone)

Wzrost wykładniczy Model kapitalizacji (procent składany); inflacja - kapitał po n latach , -

Wzrost wykładniczy Model kapitalizacji (procent składany); inflacja - kapitał po n latach , - oprocentowanie Rozpad połowiczny; datowanie C-14 T - czas półrozpadu - masa materiału promieniotwórczego po czasie n. T Prawo Malthusa; bakterie - wielkość populacji w n-tym pokoleniu - współczynnik narodzin

Wzrost wykładniczy Króliki Leonarda z Pizy - liczba par królików w n-tym miesiącu miesięczne

Wzrost wykładniczy Króliki Leonarda z Pizy - liczba par królików w n-tym miesiącu miesięczne - niezdolne do rozrodu nowo narodzone hodowlę zaczynamy od 1 pary wzór asymptotyczny

Ograniczona oscylacja Żniwowanie (harvesting); rozsądne połowy - masa złapanych homarów w n-tym roku Np.

Ograniczona oscylacja Żniwowanie (harvesting); rozsądne połowy - masa złapanych homarów w n-tym roku Np. dla Maine = 16 435 ton = 20 871 ton lobster - homar Odszukać wartość i porównać z modelem rekord!

Zależność logistyczna Model Verhulsta - gęstość populacji - współczynnik przyrostu Przeludnienie hamuje rozwój Generator

Zależność logistyczna Model Verhulsta - gęstość populacji - współczynnik przyrostu Przeludnienie hamuje rozwój Generator liczb pseudolosowych chaotyczne!