Reviso Geral Econometria Avanada Prof Alexandre Gori Maia

Revisão Geral Econometria Avançada Prof. Alexandre Gori Maia

A. G. Maia Econometria 2 – Princípio da Normalidade Métodos de Mínimos Quadrados Y e 2 e 1 e 4 e 3 e 6 e 5 en X O método de mínimos quadrados irá obter os ’s de tal forma que as distâncias entre os valores observados e a reta (ei) sejam mínimas. 2

Econometria 2 – Regressão Linear Análise de Variância A. G. Maia Verificando a Signficância da Variável Independente Quando X não explica Y Quando X explica Y Y Maior Soma dos Quadrados da Regressão Y Y Menor Soma dos Quadrados da Regressão Y ^ Y X X 3

Econometria 2 – Regressão Linear Análise de Variância A. G. Maia Tabela ANOVA H 0: O modelo não contribui para explicar Y H 1: O modelo contribui para explicar Y Fonte GL Soma dos Quadrados Quadr Médios F valor p Regressão Resíduos Total Decisão Irei afirmar que o modelo contribui para explicar a variável dependente Y quando o nível de significância (valor p) for suficientemente baixo (usualmente < 0, 05). Ou seja, afirmo que o modelo é bom somente se a chance de de erro ao fazer tal afirmação for baixa. 4

Econometria 2 – Princípio da Normalidade Regressão Linear A. G. Maia Distribuição dos Resíduos j Y ~ N Y ^ Yj Como os resíduos (ei) representam a distância de cada Yi à reta ( 0+ 1 Xi), então é a mesma coisa afirmar que: Xj X 5

Econometria 2 – Princípio da Normalidade dos Resíduos A. G. Maia Como verificar o princípio? As técnicas mais utilizadas para verificar se os resíduos estão normalmente distribuídos são: 1) Análise gráfica: Construir um histograma (valores dos resíduos no eixo horizontal e as respectivas freqüências no eixo vertical) e analisar visualmente se a forma de distribuição assemelha-se a uma normal; 2) Estatística O teste Jarque-Bera de normalidade é baseado nas Jarque-Bera (JB): medidas de assimetria e curtose dos resíduos. Com a estatística de JB é possível estimarmos a probabilidade de erro ao afirmar que o pressuposto da normalidade é violado, ou seja, que os resíduos não estão normalmente distribuídos; 6

A. G. Maia Econometria 2 – Heterocedasticidade Detectando Heterocedasticidade Análise Gráfica Homocedasticia ep ep 0 0 X A dispersão dos resíduos é a mesma ao longo de X 0 ep 0 X Há uma relação quadrática entre os resíduos e os valores de X X A dispersão dos resíduos aumenta para valores altos de X Heterocedasticia ep Heterocedasticia X Há uma relação quadrática entre os resíduos e os valores de X 7

Econometria 2 – Heterocedasticidade A. G. Maia Como detectar a heterocedasticidade? Dois teste para se detectar a heterocedasticidade: 1) Análise gráfica: Construir um gráfico de dispersão entre os resíduos (ou resíduos padronizados) e cada uma das variáveis independentes do modelo, para verificar se há entre elas alguma relação sistemática. 2) Teste de Goldfeld-Quandt: Divide-se a amostra em duas partições iguais, para verificar se as variâncias diferem entre elas. Ajusta-se então um modelo para cada partição e verifica-se as dispersões dentro de cada partição (erro padrão ou SQRes) são iguais (homocedasticidade) ou diferentes (heterocedasticidade). Y X 8

Econometria 2 – Heterocedasticidade A. G. Maia Corrigindo Heterocedasticidade Método de Mínimos Quadrados Ponderados: O método de mínimos quadrados ponderados é um caso especial de uma técnica econométrica mais geral denominada mínimos quadrados generalizados. Na presença de heterocedasticidade, os parâmetros ’s do modelo Y = 0+ 1 X não são eficientes pois são influenciados pelos valores de X com maiores variâncias. Uma opção para corrigir este problema é o chamado método de mínimos quadrados ponderados, que consiste em ponderar as variáveis do modelo pela variância de cada observação, ou seja, ajustar um novo modelo dado por: os parâmetros ’s deste modelo serão melhores (mais eficientes) que os do modelo acima (mínimos quadrados ordinários) Perceba que neste novo modelo há uma variável adicional (1/ i) e não há intercepto. Quando os valores de i são desconhecidos, podem ser estimados pelos desvios padrões (erros padrões) das sub-amostras do teste QG. 9

A. G. Maia Econometria 2 – Multicolinearidade Multi. Colinearidade Conceito Ausência de colinearidade Variabilidade de Y explicada por X 1 Variabilidade total de Y Variabilidade total de X 1 Variabilidade de Y explicada por X 2 Variabilidade total de X 2 Presença de colinearidade Efeito isolado de X 1 Variabilidade em Y total de Y X 1 X 2 Efeito isolado de X 2 em Y Efeito conjunto de X 1 e X 2 sobre Y 10

Econometria 2 – Multicolinearidade A. G. Maia Como detectar a multicolinearidade? Alguns sinais de multicolinearidade: 1) Estatísticas Conflitantes: Um R 2 elevado em um modelo com poucas estatísticas t significativas. É até possível até que a estatística F indique o modela seja signficativo em explicar a variável dependente, mas nenhuma estatística individual t seja significativa. 2) Relacionamento das variáveis independentes : Um ajuste linear significativo entre as variáveis independentes pode ser um forte indício de multicolinearidade. 3) Fator Inflacionário da Variância : Uma estatística que mensura o Fator Inflacionário da Variância (FIV) pode dar uma idéia de quão inflacionada esta sendo a variância dos parâmetros ’s em virtude da multicolinearidade. 11

Econometria 2 – Multicolinearidade A. G. Maia O que fazer? Na presença de multicolinearidade, o pesquisador pode tomar as seguintes atitudes: - Aumentar o tamanho da amostra: se aumentarmos o tamanho da amostra, a tendência é que os estimadores do parâmetros ´s fiquem mais precisos (diminua sua variância). Ou seja, o aumento do tamanho da amostra irá aliviar a falta de significância dos parâmetros estimados e melhorar a precisão das estimativas. - Omitir a variável que apresentar alta colinearidade com as demais: desde que esta omissão não comprometa as especificações do modelo, ou seja, ausência de variáveis importantes na compreensão do problema. - Tranformar as variáveis: a multicolinearidade pode ser eliminada transformando-se as variáveis independentes. Por exemplo, se estamos estimando o preço de venda da soja com base na área e quantidade produzida, teremos obviamente um colinearidade entre área e quantidade produzida. Mas se substituirmos ambas as variáveis independentes pela variável produtividade=produção/área, este problema será eliminado. 12

Econometria 2 – Autocorrelação Detectando Autocorrelação A. G. Maia Análise Gráfica Ausência de Autocorrelação e e 0 tempo 0 Não há nenhuma relação evidente entre os resíduos ao longo do tempo 0 e 0 tempo Há uma tendência quadrática de dispersão dos resíduos ao longo do tempo Há um padrão cíclico de dispersão dos resíduos ao longo do tempo Autocorrelação e Autocorrelação tempo Há uma tendência linear na distribuição dos resíduos ao longo do tempo 13

Econometria 2 – Autocorrelação A. G. Maia Como detectar a autocorrelação? Dois teste para se detectar a autocorrelação: 1) Análise gráfica: Construir um gráfico de dispersão entre os resíduos e o tempo de coleta das informações amostrais, para verificar a existência de alguma relação serial. 2) Teste de A estatística de Durbin-Watson envolve o cálculo de Durbin-Watson: um teste baseado nos resíduos do método de mínimos quadrados, para se testar a hipótese nula da ausência de autocorrelação. 14

Econometria 2 – Autocorrelação Teste de Durbin-Watson A. G. Maia Conceito Sabemos que: e e que. . . Então, quando: A estatística DW varia entre 0 e 4. Na ausência de autocorrelação, o valor de DW será próximo de 2. Quão mais afastado de 2, mais evidências para se rejeitar a hipótese nula da ausência de correlação, seja pela existência de correlação serial positiva (DW≈0) ou negativa (DW≈4). Mas quão distante de 2 deve estar DW para se rejeitar H 0? Dado o número de observações da amostra (n) e o número de variáveis independentes (k), devese consultar a tabela de Durbin-Watson para obter o limite inferior (d. I) e superior (d. S) tais que: Rejeita H 0, ou seja, há autocorrelação positiva 0 Zona de indecisão d. I Não se rejeita H 0, ou seja, não há autocorrelação d. S 2 Zona de indecisão 4 -d. S Rejeita H 0, ou seja, há autocorrelação negativa 4 -d. I A novidade aqui é a zona de indecisão, limites onde o teste é inconclusivo! 4 15

Econometria 2 – Autocorrelação Correção para Autocorrelação A. G. Maia Como corrigir a autocorrelação? Quando a existência de autocorrelação não for devida à falhas na especificação do modelo, uma medida corretiva para o modelo: Que apresenta correlação serial nos resíduos dada por: são os resíduos não onde. . . autocorrelacionados que devem ser obtidos no modelo original. Será dada por: ou, resumidamente. . . onde Y*t=(Yt- Yt-1), *0=( 0 - 0), X*t=(Xt- Xt-1), e vt são os resíduos não autocorrelacionados. Este modelo corrige o problema da autocorrelação nos resíduos originais (et), e apresenta o mesmo coeficiente 1 do modelo original. 16

Econometria 2 – Defasagens Distribuídas Defasagem Temporal A. G. Maia Conceito Supondo o exemplo da variação no consumo: Dada uma variação de 1. 000 reais na renda Em nosso exemplo para a variação no Consumo $ consumo final $200 Ao final, teremos $900 $300 uma variação de 900 reais no $400 consumo anterior t 0 t 1 t 2 Tempo Variação total: Enquanto cada coeficiente i de um modelo com defasagem distribuída é chamado de impacto no tempo i, a variação total, ou impacto total de uma variação unitária de X em Y será dada por: consumo ( C) dada uma variação na renda ( R), tínhamos: Dados por: Em outras palavras, significa que dada uma variação da renda no período t, uma proporção ( 0=0, 4) terá efeito imediato (t 0) na variação do consumo. Outra menor proporção ( 1=0, 3) terá efeito no próximo período (t 1), e assim sucessivamente. Ao final, teremos uma variação total no consumo dada por: 17

Econometria 2 – Defasagens Distribuídas Transformação de Koyck A. G. Maia Conceito 0 k Estabelecendo uma relação entre o impacto i e o tempo: 3 2 1 onde 0< <1 0 1 2 3 Vamos supor que a variação para o período 0 seja dada por 0. Supondo que os parâmetros i, que definem o impacto de X em cada tempo i, sejam todos do mesmo sinal, Koyck (1954) definiu uma técnica para estimá-los, pressupondo que eles decaiam geometricamente ao longo do tempo. Tempo Cada valor de 0 irá, portanto, depender do impacto inicial no período t ( 0) e da taxa de declínio . Por exemplo, supondo que o variação unitária de X cause um impacto imediato igual a 0, 8 unidades de Y, com uma taxa de declínio de 0, 5, teremos: O impacto irá reduzir-se geometricamente ao longo do tempo, de tal forma que no período 10 o impacto será praticamente nulo 18 ( 0 10=0, 001)

Econometria 2 – Séries Temporais Séries Estacionárias A. G. Maia Exemplos Processo estacionário A série varia aleatoriamente em torno de uma média constante, com variância também constante. Choques são amortecidos com o tempo (0< <1). Exemplo: Inflação mensal. Processo não estacionário A série varia aleatoriamente com um tendência ao longo do tempo. Um choque produz um crescimento no período t, será assimilado integralmente na série ( =1). Séries deste tipo são também chamadas de passeio aleatório (random walk). Exemplo: PIB real. 19

Econometria 2 – Séries Temporais A. G. Maia O que fazer quando há variáveis não estacionárias Algumas alternativas quando temos variáveis não estacionárias no modelo de série temporal: 1) Modelo de tendência estacionárias: Uma solução simples para evitar o problema de relação espúrias em variáveis temporais não estacionárias é a inclusão da variável explanatória tempo t. 2) Modelo de diferença estacionária: Quando tempos uma variável não estacionária Yt, é possível que sua diferença Yt=Yt-Yt-1 seja não estacionária, de tal forma que o ajuste possa ser feito com Yt no lugar de Yt; 3) Variáveis cointegradas: Embora não estacionárias, duas variáveis podem compartilhar tendências temporais semelhantes, exibindo uma relação de equilíbrio a longo prazo, podendo desta forma serem relacionadas diretamente num ajuste econométrico. 20

Econometria 2 – Regressão Logística Variáveis Dummy A. G. Maia Problemas de Estimação Quando ajustamos um modelo linear do tipo: onde Y é uma variável dummy, ou seja, estamos interessados em prever a probabilidade de sucesso de Y em função da variável independente X, deparamo-nos com uma série de dificuldades. O fato de estarmos forçando um ajuste linear a uma relação curvilínea, irá ocasionar problemas do tipo: Y 1) Ausência de normalidade na distribuição dos resíduos: a distribuição dos resíduos em torno da reta de regressão não 1 seguirá uma distribuição normal, comprometendo a análise das estatísticas de teste. 2) Heterocedasticidade: Valores de X com probabilidade de Y 0 X próximos a 0 ou 1 terão menor variabilidade que valores próximos a 0, 5. Como conseqüência, os parâmetros estimados serão ineficientes. 3) Escolha funcional: A relação linear não é a escolha apropriada para este tipo de relação. Probabilidades negativas e maiores que 1 estarão sendo previstas, o que é irreal. 21

A. G. Maia Econometria 2 – Regressão Logística Definição Modelo Logit O modelo logit é o mais tradicional ajuste de regressão quando temos uma dummy como variável dependente. Ajusta uma curva logística à probabilidade de sucesso P (P), segundo o modelo não linear: (1) Para linearizar a expressão: Se Y é uma dummy, então temos que: X A chance de sucesso (odds ratio, ou seja, taxa de sucesso em relação ao fracasso) será dada por: representa qual a chance de sucesso em relação aos fracassos. Temos então o seguinte ajuste linear para a relação entre a chance de sucesso e as variáveis independentes: este ajuste linear é equivalente à curva logística (1) para a probabilidade de sucesso. Uma vez obtido este ajuste, é possível estimar a probabilidade de sucesso dados os valores de X. 22