Econometria de Sries Temporais Rogrio Silva de Mattos
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Econometria de Séries Temporais Rogério Silva de Mattos, D. Sc. UNIVERSIDADE FEDERAL DE JUIZ DE FORA (UFJF) FACULDADE DE ECONOMIA (FE) Econometria 3
O COMEÇO • Box e Jenkins (1970) – processos estocásticos não -estacionários/integrados (Modelos ARIMA) • Granger e Newbold (1974) – Econometria clássica não vale se variáveis do modelo são séries temporais não-estacionárias (Regressões Espúrias)
CORRELAÇÃO ESPÚRIA Mera Coincidência Consumo de Chimarrão em Porto Alegre Venda de azeite de dendê em Salvador Causalidade Fator Comum X Y N Y X
REGRESSÃO ESPÚRIA Quero estimar : Assumindo que: Independentes ! Experimento de Granger e Newbold (1974) Se = = 1 Yt e Xt NÃO estacionárias • R 2 altos e DW baixos • Alta chance de rejeitar H 0: b = 0 • Razão t não segue t de Student • Estatística F não segue distrib. F
MENSAGEM FUNDAMENTAL ESTACIONARIEDADE NÃO ESTACIONARIEDADE Econometria Clássica OK Econometria Clássica
COMO PROCEDER ? • Remover tendência (Detrending)? – Pode não resolver !!! Tendência estocática • Diferenciar até estacionariedade? – Perda de informação de longo prazo (t. econômica) !!! • O que fazer ?
ECONOMETRIA DE ST • Teoria da Cointegração – Verificar Estacionariedade (Testes de Raízes Unitárias) – Séries Estacionarias, usar econometria clássica – Séries Não estacionárias, verificar Cointegração • Séries Cointegradas – modelo de correção de erros • Séries Não cointegradas – modelo sem correção de erros
ESTACIONARIEDADE X NÃO-ESTACIONARIEDADE
DEFINIÇÃO Processo Estacionário Fraco Yt Média, Variância e Autocovariância constantes Processo NÃO Estacionário Yt Alguém depende do tempo (Média e/ou Variância e/ou Autocovariância)
EXEMPLOS Estacionário Não Estacionário
MAIS DEFINIÇÕES Exemplos • Processo integrado de ordem d ou I(d) – precisa ser diferenciado “d” vezes para ficar estacionário • Processo estacionário é I(0) ( “Não Integrado”)
RAÍZES UNITÁRIAS • Processo I(1) Yt = (1 -B)Yt ~I(0) 1 raiz unitária • Processo I(2) 2 Y t= (1 -B)2 Yt=(1 -B)Yt ~I(0) 2 raízes unitárias • Processo I(d) d Y t= (1 -B)d. Yt=(1 -B)…(1 -B)Yt ~I(0) d raízes unitárias
POR QUE “RAÍZES UNITÁRIAS”? ARIMA(p, d, q) p/Yt: = ARMA(p, q) p/ d. Yt: Onde: Logo: Polinômio expandido AR para Yt possui: • p raízes fora do círculo unitário (estacionariedade) • d raízes unitárias (não estacionariedade)
PROCESSO AR(1) • Se | | < 1, Yt é um processo estacionário • Se | | ≥ 1 Yt é um processo não estacionário ü = 1 Yt é um passeio aleatório ü | | > 1 Yt é um processo explosivo
EXEMPLOS DE AR(1) Estacionário I(1) I(0) Não Estacionário
PROCESSO DE RAIZ UNITÁRIA SEM CONSTANTE COM DESLOCAMENTO (DRIFT)
PASSEIO ALEATÓRIO PURO COM DESLOCAMENTO (DRIFT)
MEMÓRIA (Nelson e Plosser, 1982) Processo MEMÓRIA CURTA: Um choque repercute por pouco tempo sobre a série. Esta tende a voltar para sua média. Choque transiente. Exemplo: Processo MEMÓRIA LONGA: Um choque repercute permanentemente sobre a série. Esta não tende a voltar para algum lugar. Choque permante. Exemplo: • Para desenvolver a intuição, brinque com o arquivo AR 1. XLS
TIPOS DE TENDÊNCIAS DETERMINÍSTICA ESTOCÁSTICA DETERMINÍSTICA + ESTOCÁSTICA
TENDÊNCIAS E DIFERENÇAS ESTACIONÁRIAS TENDÊNCIA ESTACIONÁRIA Tend. Determinística + processo I(0) DIFERENÇA ESTACIONÁRIA - Sem constante - Com constante Obs: Tendência estacionária “puxa” a série. Diferença estacionária c/cte “empurra”.
RESUMINDO Processo Estacionário • Não integrado ou I(0) • Sem raízes unitárias • Sem tendência estocástica • Memória curta • Choque Transiente Processo Não Estacionário • Integrado ou I(d), d > 0 • d raízes unitárias • Tendência estocástica (com ou sem tendência determinística) • Memória longa • Choque Permanente
TESTES DE RAÍZES UNITÁRIAS
JUNTANDO TUDO • Processo AR(1) Estacionário (b=0, | |<1) : • Diferença Estacionária ( =b=0, =1) : • Diferença Estacionária c/cte (b=0, =1) : • Tendência Estacionária (b 0, | |<1): (ou Tendência Estacionária) • OBS 1: Tendência Estocástica = Diferença Estacionária s/cte • OBS 2: Tendência Det. + Estoc. = Diferença Estacionária c/cte
MUDANDO UM POUCO Onde = - 1 • Processo AR(1) Estacionário (b=0, -2< <0) : • Diferença Estacionária s/cte ( =b= =0) : • Diferença Estacionária c/cte (b= =0) : • Tendência Estacionária (b 0, -2< <0): • OBS 1: Tendência Estocástica = Diferença Estacionária s/cte • OBS 2: Tendência Det. + Estoc. = Diferença Estacionária c/cte
TESTE DE DICKEY FULLER Equação Geral de Teste 1) H 0: = 0 (processo não estacionário/uma raiz unitária) H 1: 0 (processo estacionário/sem raízes unitárias) 2) Escolha do nível de significância 3) Estatística de teste Tau: 4) Regra de Decisão: • Se Valor crítico C Aceita H 0 (Yt NÃO É estacionário) • Se < Valor crítico C Rejeita H 0 (Yt É estacionário)
DICKEY FULLER Versão 1 Sem intercepto ou termo de tendência na equação de teste • H 0 : = 0 • isto é: Yt = t ; não estacionário com tendência estocástica • H 1 : 0 • isto é: Yt = Yt-1+ t; estacionário sem tendência alguma • Estatística de teste Tau:
DICKEY FULLER Versão 2 Com intercepto apenas na equação de teste • H 0: = 0 (e = 0: ver tabela ADF em Dickey Fuller (1981)) • isto é: Yt = t ; não estacionário com tendência estocástica • H 1: 0 (e ≠ 0) • isto é: Yt = + Yt-1+ t; estacionário sem tendência alguma • (mas com intercepto) • Estatística de teste Tau. U:
DICKEY FULLER Versão 3 Com intercepto e termo de tendência na equação de Teste • H 0: = 0 (e b = 0) • isto é: Yt = + t ; tend. determinística + tend. estocástica • H 1: 0 (b ≠ 0) • isto é: Yt = +bt+ Yt-1+ t; tendência determinística apenas • (tendência estacionária) • Estatística de teste Tau: Obs: É possível ainda testar H 0: b= =0 (tendência estocástica apenas) usando a estatística 3 que segue a distribuição F (ver Enders, p. 181)
Extraído de Dickey e Fuller (1981) “Likelihood ratio statistics for autorregressive time series with a unit root. Econometrica 49 (4). pp. 1057 -1072
RESUMO DO TESTE ADF Versão 3 (Com intercepto Versão 1 Versão 2 e termo de (Sem intercepto) (Com intercepto) tendência) H 0 H 1 Tendência Estocástica Apenas Sem Tendência Alguma Tendência Determinística + Tendência Estocástica Só Tendência Determinística
TESTE DE DICKEY-FULLER AUMENTADO • Faz-se o mesmo teste de hipóteses do slide anterior • Valores defasados Yt-s incluídos para eliminar autocorrelação serial de t (se houver) • Lag máximo p tem de se determinar antes (minimza-se o critério AIC ou BIC) • Eviews usa valores críticos e valores-p com base em Mac. Kinon (1996)
VALORES CRÍTICOS DO TESTE ADF Fonte: Tabela A de Enders (2004), Baseada em Fuller(1976)
TESTE ADF SAZONAL Exemplo para o caso trimestral • Usam-se os mesmos valores críticos do teste ADF • Caso de Sazonalidade Estocástica: ver Enders (2005)
TESTE DE PHILLIPS-PERRON Equação Geral de Teste 1) H 0: = 0 (processo não estacionário/uma raiz unitária) H 1: 0 (processo estacionário/sem raízes unitárias) 2) Escolha do nível de significância 3) Estatística de teste Z: 4) Regra de Decisão: • Se Valor crítico C Aceita H 0 (Yt NÃO É estacionário) • Se < Valor crítico C Rejeita H 0 (Yt É estacionário)
TESTE PP DIFERENÇAS (1) • ut pode ser ARMA(p, q) heterogeneamente distribuído • Não tem lags defasados de Yt Versão 1 NAS 3 VERSÕES • S : erro-padrão do estimador de MQO de Versão 2 • Versão 3 • S 2: erro-padrão da regressão de teste ou estimador de 2 assumindo ut ruído branco 2 Tl : estimador de 2 assumindo ut heterogêneamente distribuído
TESTE PP DIFERENÇAS (2) • Esta fórmula é um estimador consistente de 2 • Chamada Estimador do espectro na frequência 0 • Pesos wsl são a janela de defasagem e há 3 opções de computá-los: 1. Barttlet 2. Parzen 3. Newey-West • l é o parâmetro de largura de banda
TESTE DE PHILLIPS-PERRON Equação Geral de Teste 1) H 0: = 0 (processo não estacionário/uma raiz unitária) H 1: 0 (processo estacionário/sem raízes unitárias) 2) Escolha do nível de significância 3) Estatística de teste Z: 4) Regra de Decisão: • Se Valor crítico C Aceita H 0 (Yt NÃO É estacionário) • Se < Valor crítico C Rejeita H 0 (Yt É estacionário)
TESTE PP DIFERENÇAS (1) • ut pode ser ARMA(p, q) heterogeneamente distribuído • Não tem lags defasados de Yt Versão 1 NAS 3 VERSÕES • S : erro-padrão do estimador de MQO de Versão 2 • Versão 3 • S 2: erro-padrão da regressão de teste ou estimador de 2 assumindo ut ruído branco 2 Tl : estimador de 2 assumindo ut heterogêneamente distribuído
TESTE PP DIFERENÇAS (2) • ût p/(t = 1, . . . , T) são os resíduos da regressão de teste em qq versão • Esta fórmula é um estimador consistente de 2 • Chamada Estimador do Espectro na Frequência 0 • Pesos wsl são a janela de defasagem e há 3 opções de computá-los: 1. Barttlet 2. Parzen 3. Newey-West • l é o parâmetro de largura de banda
TESTE DF-GLS Equação Geral de Teste 1) H 0: = 0 (processo não estacionário/uma raiz unitária) H 1: 0 (processo estacionário/sem raízes unitárias) 2) Escolha do nível de significância 3) Estatística de teste Tau: Porém computada a partir da estimação da equação de teste por MQG (GLS) 4) Regra de Decisão: • Se Valor crítico C Aceita H 0 (Yt NÃO É estacionário) • Se < Valor crítico C Rejeita H 0 (Yt É estacionário)
TESTE DF-GLS DIFERENÇAS (1) • Os erros ut seguem um AR(p) • Na versão 1 a estatística-tau é a mesma do teste ADF • Na versão 2 e na versão 3 a estatística-tau é computada a partir da regressão da equação de teste por GLS • Vantagem do teste DF-GLS vs ADF e PP • Poder do teste DF-GLS é maior sob erros AR(p)
TESTE DF-GLS DIFERENÇAS (2) Uso de variável Ytd (livre da constante e/ou da tendência) no lugar de Yt na equação de teste Versão 2: cômputo por GLS de: Versão 3: cômputo por GLS de: Estimação por MQO de: (sem constante e tendência) Onde (seja na versão 2 ou na versão 3):
COINTEGRAÇÃO
RECAPITULANDO … • Econometria clássica não é valida quando as séries são NÃO estacionárias • Em particular, se as séries NÃO estacionárias forem independentes, obtém-se regressões espúrias • Diferenciar séries até estacionariedade não resolve, perdese informações de longo-prazo • O que fazer ? …. Teoria da Cointegração
HISTÓRICO • Granger (1983) – introduz o conceito de cointegração na literatura • Granger e Engle (1987) – estabelecem relação entre cointegração e o modelo de correção de erros • Década de 90 – proliferam trabalhos teóricos e empíricos • 2003 – Granger e Engle ganham o Prêmio Nobel de Economia !!!
CONCEITOS INICIAIS Sejam 2 séries não estacionárias: Seja a regressão: • Yt e Xt serão cointegradas se t ~ I(0) • Yt e Xt serão NÃO cointegradas se t ~ I(1)
IMPLICAÇÕES • Se Y e X são cointegradas, então: – – – tendência estocástica comum tendências estocásticas se cancelam mutuamente relação de equilíbrio no longo prazo relação de curto prazo (? ) Desvios no equilíbrio de longo prazo são transientes A regressão de Y contra X não é espúria • Se Y e X NÃO são cointegradas, então: – – tendências estocásticas são independentes Só relação de curto prazo Desvios não tendem a se corrigir, são persistentes A regressão de Y contra X é espúria
ILUSTRANDO Cointegração t ruído branco ~I(0) Não Cointegração t passeio aleatório ~I(1)
ALGUMAS PROPRIEDADES • Xt ~ I(0) então a+b. Xt ~ I(0) • Yt ~ I(0) e Xt ~ I(0) então a. Yt+b. Xt ~ I(0) • Yt ~ I(1) e Xt ~ I(0) então a. Yt+b. Xt ~ I(1) • Yt ~ I(1) e Xt ~ I(1) então (em geral) a. Yt+b. Xt ~ I(1) DEFINIÇÃO DE COINTEGRAÇÃO: Se Yt ~ I(1) e Xt ~ I(1) , e existir uma combinação linear a. Yt+b. Xt ~ I(0), então Yt e Xt são cointegradas.
TESTE DE COINTEGRAÇÃO (Engle e Granger, 1987) 1) Computar a regressão cointegrante 2) Aplicar teste ADF sobre os resíduos H 0: = 0 (Y e X NÃO SÃO cointegradas) H 1: < 0 (Y e X SÃO cointegradas) Nota: Usar os valores críticos de Engle e Granger (1987)
OBSERVAÇÕES • Se X e Y forem cointegradas: – a regressão cointegrante NÃO é ESPÚRIA !! – MQO aplicado à regressão cointegrante (para estimar a e b) são superconsistentes – as razões t são assintoticamente normais
VALORES CRÍTICOS Fonte: Tabela C de Enders (2004). Baseada em Mac. Kinnon (1991).
MODELO DE CORREÇÃO DE ERROS lo de e d o M ção Corre de Erros Em caso de cointegração Onde: Em caso de NÃO cointegração Resíduos da equação cointegrante lo S/ e d o M ção Corre de Erros
OBSERVAÇÕES • Se as variáveis forem I(0), elas são não cointegradas e estima-se o modelo sem diferenciá-las • Se Y e X forem I(1) e cointegradas, mas só uma possuír também tendência determinística, deve-se incluir a variável t como explicativa na equação cointegrante • Se Y e X forem I(1) e cointegradas e ambas possuírem tendência determinística, deve-se verificar no teste de cointegração se a série de erros tem tendência determinística também. Se tiver, inclua a variável t como explicativa na equação cointegrante.
VÁRIAS VARIÁVEIS • Usaremos exemplo da Demanda de E. Elétrica (NT 292/2008 – SRE/ANEEL) • • • C = consumo de energia elétrica P = tarifa média de energia elétrica Y = PIB EL = estoque de equipamentos elétricos b 1, b 2 e b 3 – elasticidades do consumo
MODELO LOG-LOG Passo 1: Verificar estacionariedade de cada série (log. C, log. P, log. Y e log. EL) usando o teste ADF Passo 2: (assumindo que todas são I(1)) realizar o teste de cointegração de Engle e Granger H 0: = 0 (log. C , log. P, log. Y e log. EL NÃO SÃO cointegradas) H 1: < 0 (log. C , log. P, log. Y e log. EL SÃO cointegradas) Nota: Usar os valores críticos de Engle e Granger (1987)
ESTIMAÇÃO DO MODELO Modelo de Correção de Erros (SOB cointegração) Modelo Sem Correção de Erros (SEM cointegração) Modelo para Séries Estacionárias ou I(0)
OBSERVAÇÕES • Se uma série for I(0), não deve ser incluída na equação cointegrante para o teste de cointegração • Mesmo que todas sejam I(1), a cointegração pode envolver todas as quatro variáveis ou apenas um subgrupo delas. Procure fazer o teste de cointegração para os subgrupos também, o que permitirá verificar se alguma série não era para estar na equação cointegrante • Havendo séries I(1), segundo o teste ADF, com tendência determinística e outras também I(1) sem, ponha a variável t na equação cointegrante • Se todas as séries forem I(1), segundo o teste ADF, com tendencia deterministica, verifique no teste de cointegração se ha tendencia determinística tambem nos erros da equação cointegrante. Se houver, inclua a variável t na mesma.
SAZONALIDADE Equação cointegrante Modelo de Correção de Erros: Modelo para Séries Estacionárias ou I(0):
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