Econometria de Sries Temporais Rogrio Silva de Mattos

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Econometria de Séries Temporais Rogério Silva de Mattos, D. Sc. UNIVERSIDADE FEDERAL DE JUIZ

Econometria de Séries Temporais Rogério Silva de Mattos, D. Sc. UNIVERSIDADE FEDERAL DE JUIZ DE FORA (UFJF) FACULDADE DE ECONOMIA (FE) Econometria 3

O COMEÇO • Box e Jenkins (1970) – processos estocásticos não -estacionários/integrados (Modelos ARIMA)

O COMEÇO • Box e Jenkins (1970) – processos estocásticos não -estacionários/integrados (Modelos ARIMA) • Granger e Newbold (1974) – Econometria clássica não vale se variáveis do modelo são séries temporais não-estacionárias (Regressões Espúrias)

CORRELAÇÃO ESPÚRIA Mera Coincidência Consumo de Chimarrão em Porto Alegre Venda de azeite de

CORRELAÇÃO ESPÚRIA Mera Coincidência Consumo de Chimarrão em Porto Alegre Venda de azeite de dendê em Salvador Causalidade Fator Comum X Y N Y X

REGRESSÃO ESPÚRIA Quero estimar : Assumindo que: Independentes ! Experimento de Granger e Newbold

REGRESSÃO ESPÚRIA Quero estimar : Assumindo que: Independentes ! Experimento de Granger e Newbold (1974) Se = = 1 Yt e Xt NÃO estacionárias • R 2 altos e DW baixos • Alta chance de rejeitar H 0: b = 0 • Razão t não segue t de Student • Estatística F não segue distrib. F

MENSAGEM FUNDAMENTAL ESTACIONARIEDADE NÃO ESTACIONARIEDADE Econometria Clássica OK Econometria Clássica

MENSAGEM FUNDAMENTAL ESTACIONARIEDADE NÃO ESTACIONARIEDADE Econometria Clássica OK Econometria Clássica

COMO PROCEDER ? • Remover tendência (Detrending)? – Pode não resolver !!! Tendência estocática

COMO PROCEDER ? • Remover tendência (Detrending)? – Pode não resolver !!! Tendência estocática • Diferenciar até estacionariedade? – Perda de informação de longo prazo (t. econômica) !!! • O que fazer ?

ECONOMETRIA DE ST • Teoria da Cointegração – Verificar Estacionariedade (Testes de Raízes Unitárias)

ECONOMETRIA DE ST • Teoria da Cointegração – Verificar Estacionariedade (Testes de Raízes Unitárias) – Séries Estacionarias, usar econometria clássica – Séries Não estacionárias, verificar Cointegração • Séries Cointegradas – modelo de correção de erros • Séries Não cointegradas – modelo sem correção de erros

ESTACIONARIEDADE X NÃO-ESTACIONARIEDADE

ESTACIONARIEDADE X NÃO-ESTACIONARIEDADE

DEFINIÇÃO Processo Estacionário Fraco Yt Média, Variância e Autocovariância constantes Processo NÃO Estacionário Yt

DEFINIÇÃO Processo Estacionário Fraco Yt Média, Variância e Autocovariância constantes Processo NÃO Estacionário Yt Alguém depende do tempo (Média e/ou Variância e/ou Autocovariância)

EXEMPLOS Estacionário Não Estacionário

EXEMPLOS Estacionário Não Estacionário

MAIS DEFINIÇÕES Exemplos • Processo integrado de ordem d ou I(d) – precisa ser

MAIS DEFINIÇÕES Exemplos • Processo integrado de ordem d ou I(d) – precisa ser diferenciado “d” vezes para ficar estacionário • Processo estacionário é I(0) ( “Não Integrado”)

RAÍZES UNITÁRIAS • Processo I(1) Yt = (1 -B)Yt ~I(0) 1 raiz unitária •

RAÍZES UNITÁRIAS • Processo I(1) Yt = (1 -B)Yt ~I(0) 1 raiz unitária • Processo I(2) 2 Y t= (1 -B)2 Yt=(1 -B)Yt ~I(0) 2 raízes unitárias • Processo I(d) d Y t= (1 -B)d. Yt=(1 -B)…(1 -B)Yt ~I(0) d raízes unitárias

POR QUE “RAÍZES UNITÁRIAS”? ARIMA(p, d, q) p/Yt: = ARMA(p, q) p/ d. Yt:

POR QUE “RAÍZES UNITÁRIAS”? ARIMA(p, d, q) p/Yt: = ARMA(p, q) p/ d. Yt: Onde: Logo: Polinômio expandido AR para Yt possui: • p raízes fora do círculo unitário (estacionariedade) • d raízes unitárias (não estacionariedade)

PROCESSO AR(1) • Se | | < 1, Yt é um processo estacionário •

PROCESSO AR(1) • Se | | < 1, Yt é um processo estacionário • Se | | ≥ 1 Yt é um processo não estacionário ü = 1 Yt é um passeio aleatório ü | | > 1 Yt é um processo explosivo

EXEMPLOS DE AR(1) Estacionário I(1) I(0) Não Estacionário

EXEMPLOS DE AR(1) Estacionário I(1) I(0) Não Estacionário

PROCESSO DE RAIZ UNITÁRIA SEM CONSTANTE COM DESLOCAMENTO (DRIFT)

PROCESSO DE RAIZ UNITÁRIA SEM CONSTANTE COM DESLOCAMENTO (DRIFT)

PASSEIO ALEATÓRIO PURO COM DESLOCAMENTO (DRIFT)

PASSEIO ALEATÓRIO PURO COM DESLOCAMENTO (DRIFT)

MEMÓRIA (Nelson e Plosser, 1982) Processo MEMÓRIA CURTA: Um choque repercute por pouco tempo

MEMÓRIA (Nelson e Plosser, 1982) Processo MEMÓRIA CURTA: Um choque repercute por pouco tempo sobre a série. Esta tende a voltar para sua média. Choque transiente. Exemplo: Processo MEMÓRIA LONGA: Um choque repercute permanentemente sobre a série. Esta não tende a voltar para algum lugar. Choque permante. Exemplo: • Para desenvolver a intuição, brinque com o arquivo AR 1. XLS

TIPOS DE TENDÊNCIAS DETERMINÍSTICA ESTOCÁSTICA DETERMINÍSTICA + ESTOCÁSTICA

TIPOS DE TENDÊNCIAS DETERMINÍSTICA ESTOCÁSTICA DETERMINÍSTICA + ESTOCÁSTICA

TENDÊNCIAS E DIFERENÇAS ESTACIONÁRIAS TENDÊNCIA ESTACIONÁRIA Tend. Determinística + processo I(0) DIFERENÇA ESTACIONÁRIA -

TENDÊNCIAS E DIFERENÇAS ESTACIONÁRIAS TENDÊNCIA ESTACIONÁRIA Tend. Determinística + processo I(0) DIFERENÇA ESTACIONÁRIA - Sem constante - Com constante Obs: Tendência estacionária “puxa” a série. Diferença estacionária c/cte “empurra”.

RESUMINDO Processo Estacionário • Não integrado ou I(0) • Sem raízes unitárias • Sem

RESUMINDO Processo Estacionário • Não integrado ou I(0) • Sem raízes unitárias • Sem tendência estocástica • Memória curta • Choque Transiente Processo Não Estacionário • Integrado ou I(d), d > 0 • d raízes unitárias • Tendência estocástica (com ou sem tendência determinística) • Memória longa • Choque Permanente

TESTES DE RAÍZES UNITÁRIAS

TESTES DE RAÍZES UNITÁRIAS

JUNTANDO TUDO • Processo AR(1) Estacionário (b=0, | |<1) : • Diferença Estacionária (

JUNTANDO TUDO • Processo AR(1) Estacionário (b=0, | |<1) : • Diferença Estacionária ( =b=0, =1) : • Diferença Estacionária c/cte (b=0, =1) : • Tendência Estacionária (b 0, | |<1): (ou Tendência Estacionária) • OBS 1: Tendência Estocástica = Diferença Estacionária s/cte • OBS 2: Tendência Det. + Estoc. = Diferença Estacionária c/cte

MUDANDO UM POUCO Onde = - 1 • Processo AR(1) Estacionário (b=0, -2< <0)

MUDANDO UM POUCO Onde = - 1 • Processo AR(1) Estacionário (b=0, -2< <0) : • Diferença Estacionária s/cte ( =b= =0) : • Diferença Estacionária c/cte (b= =0) : • Tendência Estacionária (b 0, -2< <0): • OBS 1: Tendência Estocástica = Diferença Estacionária s/cte • OBS 2: Tendência Det. + Estoc. = Diferença Estacionária c/cte

TESTE DE DICKEY FULLER Equação Geral de Teste 1) H 0: = 0 (processo

TESTE DE DICKEY FULLER Equação Geral de Teste 1) H 0: = 0 (processo não estacionário/uma raiz unitária) H 1: 0 (processo estacionário/sem raízes unitárias) 2) Escolha do nível de significância 3) Estatística de teste Tau: 4) Regra de Decisão: • Se Valor crítico C Aceita H 0 (Yt NÃO É estacionário) • Se < Valor crítico C Rejeita H 0 (Yt É estacionário)

DICKEY FULLER Versão 1 Sem intercepto ou termo de tendência na equação de teste

DICKEY FULLER Versão 1 Sem intercepto ou termo de tendência na equação de teste • H 0 : = 0 • isto é: Yt = t ; não estacionário com tendência estocástica • H 1 : 0 • isto é: Yt = Yt-1+ t; estacionário sem tendência alguma • Estatística de teste Tau:

DICKEY FULLER Versão 2 Com intercepto apenas na equação de teste • H 0:

DICKEY FULLER Versão 2 Com intercepto apenas na equação de teste • H 0: = 0 (e = 0: ver tabela ADF em Dickey Fuller (1981)) • isto é: Yt = t ; não estacionário com tendência estocástica • H 1: 0 (e ≠ 0) • isto é: Yt = + Yt-1+ t; estacionário sem tendência alguma • (mas com intercepto) • Estatística de teste Tau. U:

DICKEY FULLER Versão 3 Com intercepto e termo de tendência na equação de Teste

DICKEY FULLER Versão 3 Com intercepto e termo de tendência na equação de Teste • H 0: = 0 (e b = 0) • isto é: Yt = + t ; tend. determinística + tend. estocástica • H 1: 0 (b ≠ 0) • isto é: Yt = +bt+ Yt-1+ t; tendência determinística apenas • (tendência estacionária) • Estatística de teste Tau: Obs: É possível ainda testar H 0: b= =0 (tendência estocástica apenas) usando a estatística 3 que segue a distribuição F (ver Enders, p. 181)

Extraído de Dickey e Fuller (1981) “Likelihood ratio statistics for autorregressive time series with

Extraído de Dickey e Fuller (1981) “Likelihood ratio statistics for autorregressive time series with a unit root. Econometrica 49 (4). pp. 1057 -1072

RESUMO DO TESTE ADF Versão 3 (Com intercepto Versão 1 Versão 2 e termo

RESUMO DO TESTE ADF Versão 3 (Com intercepto Versão 1 Versão 2 e termo de (Sem intercepto) (Com intercepto) tendência) H 0 H 1 Tendência Estocástica Apenas Sem Tendência Alguma Tendência Determinística + Tendência Estocástica Só Tendência Determinística

TESTE DE DICKEY-FULLER AUMENTADO • Faz-se o mesmo teste de hipóteses do slide anterior

TESTE DE DICKEY-FULLER AUMENTADO • Faz-se o mesmo teste de hipóteses do slide anterior • Valores defasados Yt-s incluídos para eliminar autocorrelação serial de t (se houver) • Lag máximo p tem de se determinar antes (minimza-se o critério AIC ou BIC) • Eviews usa valores críticos e valores-p com base em Mac. Kinon (1996)

VALORES CRÍTICOS DO TESTE ADF Fonte: Tabela A de Enders (2004), Baseada em Fuller(1976)

VALORES CRÍTICOS DO TESTE ADF Fonte: Tabela A de Enders (2004), Baseada em Fuller(1976)

TESTE ADF SAZONAL Exemplo para o caso trimestral • Usam-se os mesmos valores críticos

TESTE ADF SAZONAL Exemplo para o caso trimestral • Usam-se os mesmos valores críticos do teste ADF • Caso de Sazonalidade Estocástica: ver Enders (2005)

TESTE DE PHILLIPS-PERRON Equação Geral de Teste 1) H 0: = 0 (processo não

TESTE DE PHILLIPS-PERRON Equação Geral de Teste 1) H 0: = 0 (processo não estacionário/uma raiz unitária) H 1: 0 (processo estacionário/sem raízes unitárias) 2) Escolha do nível de significância 3) Estatística de teste Z: 4) Regra de Decisão: • Se Valor crítico C Aceita H 0 (Yt NÃO É estacionário) • Se < Valor crítico C Rejeita H 0 (Yt É estacionário)

TESTE PP DIFERENÇAS (1) • ut pode ser ARMA(p, q) heterogeneamente distribuído • Não

TESTE PP DIFERENÇAS (1) • ut pode ser ARMA(p, q) heterogeneamente distribuído • Não tem lags defasados de Yt Versão 1 NAS 3 VERSÕES • S : erro-padrão do estimador de MQO de Versão 2 • Versão 3 • S 2: erro-padrão da regressão de teste ou estimador de 2 assumindo ut ruído branco 2 Tl : estimador de 2 assumindo ut heterogêneamente distribuído

TESTE PP DIFERENÇAS (2) • Esta fórmula é um estimador consistente de 2 •

TESTE PP DIFERENÇAS (2) • Esta fórmula é um estimador consistente de 2 • Chamada Estimador do espectro na frequência 0 • Pesos wsl são a janela de defasagem e há 3 opções de computá-los: 1. Barttlet 2. Parzen 3. Newey-West • l é o parâmetro de largura de banda

TESTE DE PHILLIPS-PERRON Equação Geral de Teste 1) H 0: = 0 (processo não

TESTE DE PHILLIPS-PERRON Equação Geral de Teste 1) H 0: = 0 (processo não estacionário/uma raiz unitária) H 1: 0 (processo estacionário/sem raízes unitárias) 2) Escolha do nível de significância 3) Estatística de teste Z: 4) Regra de Decisão: • Se Valor crítico C Aceita H 0 (Yt NÃO É estacionário) • Se < Valor crítico C Rejeita H 0 (Yt É estacionário)

TESTE PP DIFERENÇAS (1) • ut pode ser ARMA(p, q) heterogeneamente distribuído • Não

TESTE PP DIFERENÇAS (1) • ut pode ser ARMA(p, q) heterogeneamente distribuído • Não tem lags defasados de Yt Versão 1 NAS 3 VERSÕES • S : erro-padrão do estimador de MQO de Versão 2 • Versão 3 • S 2: erro-padrão da regressão de teste ou estimador de 2 assumindo ut ruído branco 2 Tl : estimador de 2 assumindo ut heterogêneamente distribuído

TESTE PP DIFERENÇAS (2) • ût p/(t = 1, . . . , T)

TESTE PP DIFERENÇAS (2) • ût p/(t = 1, . . . , T) são os resíduos da regressão de teste em qq versão • Esta fórmula é um estimador consistente de 2 • Chamada Estimador do Espectro na Frequência 0 • Pesos wsl são a janela de defasagem e há 3 opções de computá-los: 1. Barttlet 2. Parzen 3. Newey-West • l é o parâmetro de largura de banda

TESTE DF-GLS Equação Geral de Teste 1) H 0: = 0 (processo não estacionário/uma

TESTE DF-GLS Equação Geral de Teste 1) H 0: = 0 (processo não estacionário/uma raiz unitária) H 1: 0 (processo estacionário/sem raízes unitárias) 2) Escolha do nível de significância 3) Estatística de teste Tau: Porém computada a partir da estimação da equação de teste por MQG (GLS) 4) Regra de Decisão: • Se Valor crítico C Aceita H 0 (Yt NÃO É estacionário) • Se < Valor crítico C Rejeita H 0 (Yt É estacionário)

TESTE DF-GLS DIFERENÇAS (1) • Os erros ut seguem um AR(p) • Na versão

TESTE DF-GLS DIFERENÇAS (1) • Os erros ut seguem um AR(p) • Na versão 1 a estatística-tau é a mesma do teste ADF • Na versão 2 e na versão 3 a estatística-tau é computada a partir da regressão da equação de teste por GLS • Vantagem do teste DF-GLS vs ADF e PP • Poder do teste DF-GLS é maior sob erros AR(p)

TESTE DF-GLS DIFERENÇAS (2) Uso de variável Ytd (livre da constante e/ou da tendência)

TESTE DF-GLS DIFERENÇAS (2) Uso de variável Ytd (livre da constante e/ou da tendência) no lugar de Yt na equação de teste Versão 2: cômputo por GLS de: Versão 3: cômputo por GLS de: Estimação por MQO de: (sem constante e tendência) Onde (seja na versão 2 ou na versão 3):

COINTEGRAÇÃO

COINTEGRAÇÃO

RECAPITULANDO … • Econometria clássica não é valida quando as séries são NÃO estacionárias

RECAPITULANDO … • Econometria clássica não é valida quando as séries são NÃO estacionárias • Em particular, se as séries NÃO estacionárias forem independentes, obtém-se regressões espúrias • Diferenciar séries até estacionariedade não resolve, perdese informações de longo-prazo • O que fazer ? …. Teoria da Cointegração

HISTÓRICO • Granger (1983) – introduz o conceito de cointegração na literatura • Granger

HISTÓRICO • Granger (1983) – introduz o conceito de cointegração na literatura • Granger e Engle (1987) – estabelecem relação entre cointegração e o modelo de correção de erros • Década de 90 – proliferam trabalhos teóricos e empíricos • 2003 – Granger e Engle ganham o Prêmio Nobel de Economia !!!

CONCEITOS INICIAIS Sejam 2 séries não estacionárias: Seja a regressão: • Yt e Xt

CONCEITOS INICIAIS Sejam 2 séries não estacionárias: Seja a regressão: • Yt e Xt serão cointegradas se t ~ I(0) • Yt e Xt serão NÃO cointegradas se t ~ I(1)

IMPLICAÇÕES • Se Y e X são cointegradas, então: – – – tendência estocástica

IMPLICAÇÕES • Se Y e X são cointegradas, então: – – – tendência estocástica comum tendências estocásticas se cancelam mutuamente relação de equilíbrio no longo prazo relação de curto prazo (? ) Desvios no equilíbrio de longo prazo são transientes A regressão de Y contra X não é espúria • Se Y e X NÃO são cointegradas, então: – – tendências estocásticas são independentes Só relação de curto prazo Desvios não tendem a se corrigir, são persistentes A regressão de Y contra X é espúria

ILUSTRANDO Cointegração t ruído branco ~I(0) Não Cointegração t passeio aleatório ~I(1)

ILUSTRANDO Cointegração t ruído branco ~I(0) Não Cointegração t passeio aleatório ~I(1)

ALGUMAS PROPRIEDADES • Xt ~ I(0) então a+b. Xt ~ I(0) • Yt ~

ALGUMAS PROPRIEDADES • Xt ~ I(0) então a+b. Xt ~ I(0) • Yt ~ I(0) e Xt ~ I(0) então a. Yt+b. Xt ~ I(0) • Yt ~ I(1) e Xt ~ I(0) então a. Yt+b. Xt ~ I(1) • Yt ~ I(1) e Xt ~ I(1) então (em geral) a. Yt+b. Xt ~ I(1) DEFINIÇÃO DE COINTEGRAÇÃO: Se Yt ~ I(1) e Xt ~ I(1) , e existir uma combinação linear a. Yt+b. Xt ~ I(0), então Yt e Xt são cointegradas.

TESTE DE COINTEGRAÇÃO (Engle e Granger, 1987) 1) Computar a regressão cointegrante 2) Aplicar

TESTE DE COINTEGRAÇÃO (Engle e Granger, 1987) 1) Computar a regressão cointegrante 2) Aplicar teste ADF sobre os resíduos H 0: = 0 (Y e X NÃO SÃO cointegradas) H 1: < 0 (Y e X SÃO cointegradas) Nota: Usar os valores críticos de Engle e Granger (1987)

OBSERVAÇÕES • Se X e Y forem cointegradas: – a regressão cointegrante NÃO é

OBSERVAÇÕES • Se X e Y forem cointegradas: – a regressão cointegrante NÃO é ESPÚRIA !! – MQO aplicado à regressão cointegrante (para estimar a e b) são superconsistentes – as razões t são assintoticamente normais

VALORES CRÍTICOS Fonte: Tabela C de Enders (2004). Baseada em Mac. Kinnon (1991).

VALORES CRÍTICOS Fonte: Tabela C de Enders (2004). Baseada em Mac. Kinnon (1991).

MODELO DE CORREÇÃO DE ERROS lo de e d o M ção Corre de

MODELO DE CORREÇÃO DE ERROS lo de e d o M ção Corre de Erros Em caso de cointegração Onde: Em caso de NÃO cointegração Resíduos da equação cointegrante lo S/ e d o M ção Corre de Erros

OBSERVAÇÕES • Se as variáveis forem I(0), elas são não cointegradas e estima-se o

OBSERVAÇÕES • Se as variáveis forem I(0), elas são não cointegradas e estima-se o modelo sem diferenciá-las • Se Y e X forem I(1) e cointegradas, mas só uma possuír também tendência determinística, deve-se incluir a variável t como explicativa na equação cointegrante • Se Y e X forem I(1) e cointegradas e ambas possuírem tendência determinística, deve-se verificar no teste de cointegração se a série de erros tem tendência determinística também. Se tiver, inclua a variável t como explicativa na equação cointegrante.

VÁRIAS VARIÁVEIS • Usaremos exemplo da Demanda de E. Elétrica (NT 292/2008 – SRE/ANEEL)

VÁRIAS VARIÁVEIS • Usaremos exemplo da Demanda de E. Elétrica (NT 292/2008 – SRE/ANEEL) • • • C = consumo de energia elétrica P = tarifa média de energia elétrica Y = PIB EL = estoque de equipamentos elétricos b 1, b 2 e b 3 – elasticidades do consumo

MODELO LOG-LOG Passo 1: Verificar estacionariedade de cada série (log. C, log. P, log.

MODELO LOG-LOG Passo 1: Verificar estacionariedade de cada série (log. C, log. P, log. Y e log. EL) usando o teste ADF Passo 2: (assumindo que todas são I(1)) realizar o teste de cointegração de Engle e Granger H 0: = 0 (log. C , log. P, log. Y e log. EL NÃO SÃO cointegradas) H 1: < 0 (log. C , log. P, log. Y e log. EL SÃO cointegradas) Nota: Usar os valores críticos de Engle e Granger (1987)

ESTIMAÇÃO DO MODELO Modelo de Correção de Erros (SOB cointegração) Modelo Sem Correção de

ESTIMAÇÃO DO MODELO Modelo de Correção de Erros (SOB cointegração) Modelo Sem Correção de Erros (SEM cointegração) Modelo para Séries Estacionárias ou I(0)

OBSERVAÇÕES • Se uma série for I(0), não deve ser incluída na equação cointegrante

OBSERVAÇÕES • Se uma série for I(0), não deve ser incluída na equação cointegrante para o teste de cointegração • Mesmo que todas sejam I(1), a cointegração pode envolver todas as quatro variáveis ou apenas um subgrupo delas. Procure fazer o teste de cointegração para os subgrupos também, o que permitirá verificar se alguma série não era para estar na equação cointegrante • Havendo séries I(1), segundo o teste ADF, com tendência determinística e outras também I(1) sem, ponha a variável t na equação cointegrante • Se todas as séries forem I(1), segundo o teste ADF, com tendencia deterministica, verifique no teste de cointegração se ha tendencia determinística tambem nos erros da equação cointegrante. Se houver, inclua a variável t na mesma.

SAZONALIDADE Equação cointegrante Modelo de Correção de Erros: Modelo para Séries Estacionárias ou I(0):

SAZONALIDADE Equação cointegrante Modelo de Correção de Erros: Modelo para Séries Estacionárias ou I(0):