Programa de PsGraduao em Engenharia Eltrica Disciplina Introduo

Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica Disciplina: Introdução ao Processo Estocástico ANOVA: Análise de Variância Comparação entre tratamentos Prof. Hani Camille Yehia Alunos: Augusto Filho Cléia do N. Cavalcante

Roteiro 1. Introduçao 2. Modelo de ANOVA 3. Verificaçao da suposiçoes do Modelo 4. Estimaçao dos parametros do Modelo 5. Métodos de Comparaçao Múltipla 6. Exemplo

Comparação entre tratamentos É uma técnica de teste de hipóteses usada para comparar as médias de três ou mais populações. ANOVA Sir Ronald A. Fisher (1890 -1962) A técnica de análise de variância foi desenvolvida principalmente pelo estatístico inglês Ronald A. Fisher, a partir de 1918.

Uma das preocupações estatísticas ao analisar dados, é a de criar modelos que explicitem estruturas do fenômeno em observação. A identificação dessas estruturas permite conhecer melhor o fenômeno, bem como fazer afirmações sobre possíveis comportamento do mesmo. OBSERVAÇÃO = PREVISÍVEL + ALEATÓRIO PREVISÍVEL: é expressada por uma função matemática com parâmetros desconhecidos. ALEATÓRIO: assumimos uma estrutura de probabilidade; um modelo de probabilidade conhecido.

A Análise de Variância Suponha que tenhamos k populações envolvidas, sendo extraída de cada uma delas amostras aleatória de tamanho n. A resposta para cada um dos tratamentos é uma variável aleatória. Tratamento Observações Soma Médias 1 y 12 . . . y 1 n y 1. 2 y 21 y 22 . . . y 2 n y 2. . … . . . k yk 1 yk 2 . . . ykn Yk. y. .

Modelo ANOVA i = 1, 2, 3, . . . , k j = 1, 2, . . . , n Yij ; é valor da variável resposta na j-ésima observação do i-ésimo tratamento. : é a a média geral de todos os tratamentos; i : é o efeito do i-ésimo tratamento; eij: é o erro aleatório. Pressuposições Básicas: p As amostra são aleatórias e independentes; p As populações têm distribuições normais; p As populações têm a mesma variância.

Suposições adotadas para o comportamento das populações

Hipóteses Testar se as medias são iguais ou não: H 0 = 1 = 2 =. . . = k = 0 H 1 = i 0 , para pelo menos um i As observações Sob H 0: Sob H 1:

Hipóteses e modelo subjacente Sob H 0: 1 = 2 =. . . = k = 0

Hipóteses e modelo subjacente Sob H 1: i 0 para algum i

Decomposição da soma de quadrados total Para testar as hipóteses anteriores, baseia-se em uma análise da variabilidade total dos das k amostras, dado pela soma de quadrados total. SQTOTAL = SQTRAT + SQERRO

Decomposição da soma de quadrados total Soma de quadrados total: Graus de liberdade: gl = N - 1 onde: N = nk Soma de quadrados tratamentos: Graus de liberdade: gl = k - 1 Soma de quadrados do erro: SQERRO = SQTotal - SQTRAT Graus de liberdade: gl = k(n-1)

SQTOTAL = SQTrat + SQERRO Graus de liberdade: SQT tem kn-1 graus de liberdade; SQTratamentos tem K-1 g. l. SQerro tem k(n-1) g. l. Quadrados médios: Estatística de Teste:

Tabela de Análise de Variância – (ANOVA) Fonte de Variação Soma de Quadrados Tratamentos Erro Total gl k-1 SQERRO = SQTotal - SQTRAT K(n-1) Kn -1 Quadrados Médios F

Regra de decisão: Abordagem Clássica § Rejeito Ho se: F > F (k – 1; k(n - 1) § Não rejeita Ho se: F F (k – 1; k(n - 1) Valor-p

Regra de decisão: Abordagem Valor-p = nível de significância (probab. tolerável de se rejeitar Ho quando esta for verdadeira) Usual: = 5% p rejeita H 0 (prova-se estatisticamente H 1) p Não rejeita H 0 (os dados não mostram evidência para afirmar H 1 ) p Valor-p >

Estimação Pontual Média Geral: Média do Tratamento: Diferença entre a Média do Tratamento: Variância:

Estimação Intervalar

Métodos de Comparações Múltiplas Métodos de Duncan Procedimento 1. Ordenar de forma crescente as k médias amostrais dos tratamentos. 2 Estimar o desvio padrão de cada média. 3. Obter da tabela de Duncan os valores de: onde: = nível de significância f = nº de graus de liberdade de SQerro p = nº de médias envolvidas na comparação

Métodos de Duncan 4. Calcular as amplitudes mínimas: 5. Testar as diferenças observadas entre as médias, seguintes comparações: fazendo as 6. Regra de Decisão: Se a diferença observada entre elas for > que Rp, concluir que as médias que constituem um par são significativamente diferentes.

Verificação da Adequação do Modelo p Um resíduo é definido como: p Resíduo: A diferença entre uma observação e a média do tratamento correspondente. As suposições associadas ao modelo, é feita através da analise dos resíduos: 1. Os erros tem média zero e a mesma variância 2; 2. Os erros são independentes, ou seja, um valor de um erro não depende de qualquer outro erro; 3. Os erros têm distribuição normal. Logo, os erros são iid N(0, 2).

Verificação da Adequação do Modelo • Suposição de Independência Gráfico de Resíduos vs Ordem • Suposição de Igualdade de Variância Gráfico de Resíduos vs Médias dos Tratamentos • Suposição de Normalidade Gráfico de Probabilidade Normal

Exemplo Um trabalho no periódico Journal of the Association of Asphalt Paving Technologists (Vol. 59, 1990) descreve um experimento com o ojbetivo de determinar o efeito de bolhas de ar sobre a percentagem da resistência residual do asfalto. Para finalidades do experimento, bolhas de ar são controladas em três níveis: baixo (2 -4%), médio (4 -6%) e alto (6 -8%). Os dados são mostrados na seguinte tabela: Bolhas de Ar Resistência Residual (%) Baixa 106 90 103 90 79 88 92 95 Média 80 69 94 91 70 83 87 83 Alta 78 80 62 69 76 85 69 85 Os diferentes níveis de bolhas de ar afetam significativamente a resistência média ?

Boxplot

1 – Passo: Formulação das Hipóteses 2 – Passo: Fixar o nível de significância do teste e encontrar o valor de F_tab com 2 g. l no numerador e 21 g. l no denominador. Logo o valor tabela foi encontrado como

Tabela F Ftab

3 – Passo: Definir a região crítica e a região de não rejeição:

4 – Passo: O cálculo da Estatística de Teste: Para encontrarmos o F calculado, será criada uma tabela de análise de variância.

A soma quadrática entre tratamentos é: A soma quadrática do erro é obtida pela subração como:

5 – Passo: Conclusão Ao nível de 1% de significância existem evidências amostrais que nos levam a rejeição da hipótese nula, ou seja, os diferentes níveis de bolhas de ar afetam significativamente a resistência média retida. Podemos também encontrar um valor P para essa estatística de teste. Já que p=0, 001 e menor que 0, 01, temos evidencias que nos levam a rejeição de Ho

Tabela da ANOVA O gráfico ao lado mostra a região crítica ao nível de 1% de significância, e a região de não rejeição ao nível de 99% de confiança. É possível vermos o p-valor calculado manualmente. O MINITAB, obtém o mesmo resultado.

Estimação Pontual Com o objetivo de obter mais informações sobre a diferença existente nos efeitos da bolha de ar sobre a percentagem da resistência residual do asfalto, calculou-se as seguintes estimativas para os parâmetros de interesse:

Diferenças entre as Resistências médias residuais por níveis: Intervalos de Confiança para a diferença entre médias Se o intervalo contiver o valor zero, podemos concluir com 100(1 -alpha)% de confiança que não há diferença estatisticamente significativa entre as médias consideradas.

Baixo e Médio O intervalo contém o valor zero, o que nos leva a concluir com 99% de confiança que a média da resistência Residual Baixa não difere estatísticamente da resistência Residual Média. Baixo e Alta Como o intervalo não contém o zero, rejeita-se a hipótese nula, ou seja, podemos concluir com 99% de significância que a média da resistência residual baixa é maior que a média da resistência residual alta.

Média e Alta Como o intervalo contém o zero, o que nos permite concluir com 99% de confiança que a resistência residual média não difere estatisticamente da resistência residual alta.

Método de Comparações Múltiplas Método de Duncan 1 – Passo: Médias em Ordem Crescente 2 – Passo: Calcular o desvio padrão

3 – Passo: Ver valor tabelado de Duncan 4 – Passo: Calcular as amplitudes significativas mínimas (Rp)

5 – Passo: Testar as diferenças observadas entre as médias

6 – Passo: Conclusão A partir da utilização do Método de Duncan, foi possível concluir com 99% de confiança que a média de Resistëncia Residual para os níveis MÉDIA e ALTO são equivalentes e INFERIORES a dureza média da resistência residual para o nível BAIXO.

Suposições do Modelo

Referência: Analysis of Variance Tables Based on Experimental Structure C. J. Brien, Biometrics, Vol. 39, No. 1 (Mar. , 1983), pp. 53 -59 FISHER, R. A. The logic of inductive inference. J. R. Stat. Soc. , v. 98, p. 34 -54, 1935. MONTGOMERY, D. C. 1988. Design and analysis of experiments. 2 nd. John Wiley & Sons, New York, USA. SNEDECOR, C. W. and W. G. COCHRAN, 1980. Statistical Methods. 7 ed. Iowa State University Press, Amer. Iowa. USA. FISHER, R. A. Statistical Methods for Research Workers. 11ª ed. Oliver & Boyd, Edinburgo. 1950. Gamerman, D. & Migon, H. (1993). Inferência estatística: uma abordagem integrada, Textos de métodos matemáticos, UFRJ. James F. Reed III: Analysis of Variance (ANOVA) Models in Emergency Medicine. The Internet Journal of Emergency and Intensive Care Medicine. 2004. Volume 7 Number 2. http: //www. ispub. com/ostia/index. php? xml. File. Path=journals/ijeicm/vol 7 n 2/anova. xml