Programa de PsGraduao em Engenharia Eltrica Disciplina Introduo

Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica Disciplina: Introdução ao Processo Estocástico ANOVA: Análise de Variância APLICAÇÃO. Prof. Hani Camille Yehia Alunos: Augusto Filho Cléia do N. Cavalcante

Roteiro • Modelo de ANOVA • Verificação da suposição do Modelo • Simulação • Exemplo Prático • Conclusão • Bibliografia

Modelo ANOVA i = 1, 2, 3, . . . , k j = 1, 2, . . . , n Yij ; é valor da variável resposta na j-ésima observação do i-ésimo tratamento. : é a a média geral de todos os tratamentos; i : é o efeito do i-ésimo tratamento; eij: é o erro aleatório. Pressuposições Básicas: p As amostra são aleatórias e independentes; p As populações têm distribuições normais; p As populações têm a mesma variância.

Hipóteses e modelo subjacente Sob H 0: 1 = 2 =. . . = k = 0

Hipóteses e modelo subjacente Sob H 1: i 0 para algum i

Tabela de Análise de Variância – (ANOVA)

Tabela de Análise de Variância – (ANOVA) Fonte de Variação Soma de Quadrados Tratamentos Erro Total gl k-1 SQERRO = SQTotal - SQTRAT K(n-1) Kn -1 Quadrados Médios F

Simulação Simulações em populações normais: Ø Três populações; Ø Tamanho da amostra: n=30, n=50 e n=1000; Ø Estrutura de Média Ø Critério 1 - Médias diferentes com Variâncias Iguais. Ø Critério 2 – Médias Iguais com Variâncias Iguais;

Simulação

Simulação

Simulação

Regra de decisão: Abordagem Clássica § Rejeito Ho se: F > F (k – 1; k(n - 1) § Não rejeita Ho se: F F (k – 1; k(n - 1) Valor-p

Regra de decisão: Abordagem Valor-p = nível de significância (probab. tolerável de se rejeitar Ho quando esta for verdadeira) Usual: = 5% p rejeita H 0 (prova-se estatisticamente H 1) p Valor-p > p Não rejeita H 0 (os dados não mostram evidência para afirmar H 1 )

Verificação da Adequação do Modelo p Um resíduo é definido como: p Resíduo: A diferença entre uma observação e a média do tratamento correspondente. As suposições associadas ao modelo, é feita através da analise dos resíduos: 1. Os erros tem média zero e a mesma variância 2; 2. Os erros são independentes, ou seja, um valor de um erro não depende de qualquer outro erro; 3. Os erros têm distribuição normal. Logo, os erros são iid N(0, 2).

Verificação da Adequação do Modelo • Suposição de Independência Gráfico de Resíduos vs Ordem • Suposição de Igualdade de Variância Gráfico de Resíduos vs Médias dos Tratamentos • Suposição de Normalidade Gráfico de Probabilidade Normal

Exemplo: Um fabricante de papel usado para fabricar sacos de papel pardo está interessado em melhorar a resistência do produto à tensão. A engenharia de produto pensa que a resistência à tensão seja uma função da concentração de madeira de lei na polpa e que a faixa pratica de interesse das concentrações de madeira de lei esteja entre 5 e 20%. Um time de engenheiros responsáveis pelo estudo decide investigar quatro níveis de concentração de madeira de lei: 5%, 10%, 15% e 20%. Eles decidem fabricar seis corpos de prova, para cada nível de concentração, usando uma planta piloto. Todos os 24 corpos de prova são testados, em uma ordem aleatória, em um equipamento de teste de laboratório. Os dados desse experimento são:

Box-Plot

Hipóteses:

Continuação do teste de hipóteses:

Final do teste

Análise dos Resíduos

Programa usado no Software R. n<-30 mi 1<-19 mi 2<-19 mi 3<-19 sd<-3 a 1<-rnorm(n, mi 1, sd) a 2<-rnorm(n, mi 2, sd) a 3<-rnorm(n, mi 3, sd) a=c(a 1, a 2, a 3) n=rep(n, 3) #tamanho das amostras group=rep(1: 3, n) #Cuidado aqui. data = data. frame(a = a, group = factor(group)) fit = lm(a ~ group, data) anova(fit) tmpfn = function(x) c(sum = sum(x), mean = mean(x), var = var(x), n = length(x)) tapply(a, group, tmpfn) tmpfn(a)

Conclusão Logo a analise de variância pode ser usada para testar a diferença entre médias de várias populações, mostrando-se que a base usada para os testes estatisticos em analise de variancia é o desenvolvimento de duas estimativas independentes da variancia da população sigma ao quadrado, ao computar a razao destas duas estimativas, desenvolvemos uma regra de rejeijão para determinar se rejeitamos a hipotese nula de que as medias das populações são iguais.

Referência: Analysis of Variance Tables Based on Experimental Structure C. J. Brien, Biometrics, Vol. 39, No. 1 (Mar. , 1983), pp. 53 -59 FISHER, R. A. The logic of inductive inference. J. R. Stat. Soc. , v. 98, p. 34 -54, 1935. MONTGOMERY, D. C. 1988. Design and analysis of experiments. 2 nd. John Wiley & Sons, New York, USA. SNEDECOR, C. W. and W. G. COCHRAN, 1980. Statistical Methods. 7 ed. Iowa State University Press, Amer. Iowa. USA. FISHER, R. A. Statistical Methods for Research Workers. 11ª ed. Oliver & Boyd, Edinburgo. 1950. Gamerman, D. & Migon, H. (1993). Inferência estatística: uma abordagem integrada, Textos de métodos matemáticos, UFRJ. James F. Reed III: Analysis of Variance (ANOVA) Models in Emergency Medicine. The Internet Journal of Emergency and Intensive Care Medicine. 2004. Volume 7 Number 2. http: //www. ispub. com/ostia/index. php? xml. File. Path=journals/ijeicm/vol 7 n 2/anova. xml