Potencias de i Las potencias de la forma

Potencias de i Las potencias de la forma in , con n ϵ IN 0 , se definen en igual forma que las potencias de números reales. Las propiedades son las mismas. Sabiendo que: i 0 = 1 i 1 = i i 2 = -1 …podemos determinar las potencias restantes: i 0 i 1 i 2 i 3 = 1 = i = -1 = i 2 • i = -1 • i = -i

i 4 = i 5 = i 6 = i 7 = i 2 i 4 i 6 • • i 2 i = = (-1) • (-1) 1 • i 1 • (-1) -1 • i = 1 = i = -1 =-i Actividad: Resuelva estas potencias Como se ve, los valores de las potencias se repiten en forma ordenada. Es decir: in = 1 i -1 -i , dependiendo del valor de n

El siguiente esquema permite observar qué potencias tienen el mismo valor: i 0 = i 4 = i 8 = i 12 = i 16 = i 20 =………= 1 i 1 = i 5 = i 9 = i 13 = i 17 = i 21 =………= i i 2 = i 6 = i 10 = i 14 = i 18 = i 22 =………= -1 i 3 = i 7 = i 11 = i 15 = i 19 = i 23 =………= -i Como puedes observar los exponentes de las potencias de i de una misma fila, varían aumentando de 4 en 4 unidades

…Ahora bien, ¿cómo saber, entonces, a qué fila corresponde? , por ejemplo, ¿ 82? i 82 = ? Para conocer la respuesta, efectuaremos la división 82 : 4 ‘‘ : 4 = 20 el cuociente es 20 82 el resto es 2 02 Entonces, i 82 = i 4 • 20 + 2 = i 2 = -1 i 82 = -1 Explicación adicional de tu maestro

Veamos otros ejemplos: Calcular i 35 el cuociente es 8 35‘ : 4 = 8 el resto es 3 3 Entonces, i 35 = i 4 • 8 + 3 = i 3 = -i i 35 = -i Calcular i 121 ‘ ‘ : 4 = 30 el cuociente es 30 121 el resto es 1 01 Entonces, i 121 = i 4 • 30 + 1 = i i 121 = i

…de los ejemplos anteriores, es evidente que, al dividir el exponente por 4, los restos posibles son 0, 1, 2 y 3. De ello depende el valor de in Es decir; in =i 4 • c + r = ir c = cuociente r = resto Más detalladamente, se puede decir: in = i 4 • c + r = ir = 1, i, -1, -i, si r = 0 si r = 1 si r = 2 si r = 3

Actividad. Calcular las siguientes potencias de i: Respuestas 1. i 152 = 1 2. i 125 = i 3. i 86 = -1 4. i 55 = -i