Serie de potencias Tema 2 Series de potencias

Serie de potencias Tema 2: Series de potencias Cálculo Infinitesimal Una serie (funcional) de potencias consiste en una serie numérica que depende de las potencias de un valor x, V. Álvarez M. D. Frau Tema 2: 1/7 Teorema de. Cauchy-Hadamard Dada una serie de potencias número real tal que: existe un único • La serie no converge para |x-c|>R. • La serie converge absolutamente para |x-c|<R. Este valor R se denomina radio de convergencia, y se puede calcular mediante un criterio de convergencia de series de términos positivos. El intervalo (c-R, c+R) se llama intervalo de convergencia, y ahí queda definida la función f(x) suma de la serie. El campo de convergencia se obtiene al añadir, en su caso, c-R y/o c+R si la serie también converge aquí.

Tema 2: Series de potencias Cálculo Infinitesimal Ejemplos: V. Álvarez M. D. Frau Tema 2: 2/7 El cambio de variable t=x-c lleva la serie a una centrada en el origen. Deshaciendo el cambio, se recupera la serie original. Por este motivo nos centramos a partir de ahora en las series de potencias centradas en el origen.

Propiedades Tema 2: Series de potencias Cálculo Infinitesimal Sean dos series de potencias de radio de convergencia R, V. Álvarez M. D. Frau Tema 2: 3/7 Entonces:

Continuidad, derivabilidade integrabilidad Tema 2: Series de potencias Cálculo Infinitesimal Sea una serie de potencias V. Álvarez M. D. Frau Tema 2: 4/7 Entonces: • f(x) es continua en su campo de convergencia. En particular, • f(x) es derivable en (-R, R), siendo • f(x) es integrable en todo intervalo [0, x], para x dentro del campo de convergencia, siendo

Tema 2: Series de potencias Cálculo Infinitesimal Ejemplos: a partir de la serie geométrica de razón x, conseguir las series de potencias asociadas a las funciones V. Álvarez M. D. Frau Tema 2: 5/7

Tema 2: Series de potencias Cálculo Infinitesimal Series de Taylor y de. Mc. Laurin V. Álvarez M. D. Frau Tema 2: 6/7 Se dice que una función f(x) admite desarrollo en serie de potencias en (-R, R) si existe una serie de potencias tal que Es el caso de las fuciones suma de las series de potencia, dentro de los intervalos de convergencia. En estas circunstancias, se tiene que IMPORTANTE Aun cuando f(x) sea de clase infinito en x=0 (i. e. , admita derivadas de todos los órdenes en dicho punto), puede que no admita desarrollo en serie de potencias. La serie formal resultante se llama serie de Mc. Laurin. Caso de estar centrada en c≠ 0, se llama serie de Taylor.

Condición necesaria y suficiente para la existencia Tema 2: Series de potencias Cálculo Infinitesimal desarrollo en serie de potencias V. Álvarez M. D. Frau Tema 2: 7/7 Sea f(x) tal que existe fn)(x) para todo x en (-R, R). La función admite un desarrollo en serie de potencias en dicho intervalo si y sólo si existe un c en el intervalo (0, x) tal que Condición suficiente para la existencia del desarrollo en serie Sea f(x) tal que existe K>0 con |fn)(x)|<K para todo x en el intervalo (-R, R), para todo n>0. Entonces, la función admite un desarrollo en serie de potencias en dicho intervalo. Ejemplos: