Polinomios U D 4 3 ESO E AC

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Polinomios U. D. 4 * 3º ESO E. AC. @ Angel Prieto Benito Apuntes

Polinomios U. D. 4 * 3º ESO E. AC. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 1

DIVISIÓN DE POLINOMIOS U. D. 4. 5 * 3º ESO E. AC. @ Angel

DIVISIÓN DE POLINOMIOS U. D. 4. 5 * 3º ESO E. AC. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 2

División de monomios • La división de dos monomios ( semejantes o no )

División de monomios • La división de dos monomios ( semejantes o no ) es otro monomio, que tiene como coeficiente la división de los coeficientes, como variable la misma y grado la diferencia de los grados de dividendo y divisor. • EJEMPLO • Sea 20. x 5 y 5. x 2 • (20. x 5 ) : (5. x 2 ) = (20/5). x 5 – 2 = 4. x 3 • EJEMPLO • Sea 2. x 3 y 5. x • (2. x 3 ) : (5. x ) = (2/5). x 3 – 1 = 0, 4. x 2 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 3

DIVISIÓN DE POLINOMIOS • DIVISIÓN ENTERA DE POLINOMIOS • Las reglas operativas son :

DIVISIÓN DE POLINOMIOS • DIVISIÓN ENTERA DE POLINOMIOS • Las reglas operativas son : • • • 1. ‑ Reducir dividendo y divisor. 2. ‑ Ordenador dividendo y divisor de forma decreciente. 3. ‑ Si el dividendo es incompleto, dejar huecos. 4. ‑ Aplicar el algoritmo correspondiente para dividir. 5. ‑ Terminar cuando el grado del resto sea menor que el grado del divisor. • 6. - Comprobar el resultado, pues siempre se cumplirá: • D(x) = d(x). c(x) + r(x). @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 4

DIVISIÓN DE POLINOMIOS • ALGORITMO DE LA DIVISIÓN • Se divide el primer término

DIVISIÓN DE POLINOMIOS • ALGORITMO DE LA DIVISIÓN • Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor. Lo que da es el primer término del cociente. • Se multiplica el primer término del cociente hallado por todo el divisor. Lo que da hay que restárselo al dividendo. • Obtenemos así un nuevo dividendo. • Y se repiten las anteriores operaciones para conseguir los restantes términos del cociente. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 5

Ejemplo_1 a • Sean: • P(x) = 6. x 4 + 4. x 3

Ejemplo_1 a • Sean: • P(x) = 6. x 4 + 4. x 3 - 5. x 2 • Q(x) = 2. x 2 • Hallemos P(x) : Q(x) • 6. x 4 + 4. x 3 - 5. x 2 6. x 4 4. x 3 5. x 2 • ------------ = ------ + ---- - ------ = • 2. x 2 • = 3. x 2 + 2. x - 5 / 2 • • El resultado es un polinomio, aunque el término independiente sea un número fraccionario. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 6

Ejemplo_1 b • • • Sean: P(x) = x 3 + 4. x 2

Ejemplo_1 b • • • Sean: P(x) = x 3 + 4. x 2 - 5 Q(x) = x • Hallemos P(x) : Q(x) • • • x 3 + 4. x 2 - 5 x 3 4. x 2 5 --------- = ---- + ---- = x 2 + 4. x – 5/x x x • • • El resultado no es un polinomio. La razón es que el último término es una fracción algebraica, no numérica. El grado del último término es negativo (– 1) y en un polinomio el grado de todos y cada uno de los términos es entero y positivo, salvo el del término independiente que es 0. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 7

Ejemplo_2 de división de polinomios • Sea P(x) = x 3 + 4. x

Ejemplo_2 de división de polinomios • Sea P(x) = x 3 + 4. x 2 - 5 • y Q(x) = x + 5 • Hallemos P(x) : Q(x) • 1. - Están ya ambos reducidos. • 2. - Están ya ambos ordenados decrecientemente. • 3. - El dividendo es incompleto, luego hay que dejar hueco en el término de x. • 4. - Aplicamos el algoritmo para dividir: @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 8

 • x 3 + 4. x 2 • -5 x +5 x 2

• x 3 + 4. x 2 • -5 x +5 x 2 • Pues x 3 : x = x 2 • x 3 + 4. x 2 • - x 3 - 5. x 2 -5 x +5 x 2 • Pues se multiplica x 2. (x +5) • Y como vamos a restar lo que nos dé se cambia de signo. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 9

 • x 3 + 4. x 2 -5 x +5 • - x

• x 3 + 4. x 2 -5 x +5 • - x 3 - 5. x 2 • - x 2 -5 • Se repite las operaciones: • x 3 + 4. x 2 • - x 3 - 5. x 2 • - x 2 • x 2 + 5. x • - 5. x • @ Angel Prieto Benito -5 x +5 x 2 – x + 5 -5 - 25 - 30 Apuntes de Matemáticas 3º ESO 10

 • 5. - Como el resto ( - 30) es de grado menor

• 5. - Como el resto ( - 30) es de grado menor que el divisor (x + 5) se habrá terminado la división. • c(x) = x 2 - x + 5 • r(x) = - 30 • • • 6. - Se comprueba que D(x) = d(x). c(x)+r(x) x 3 + 4. x 2 - 5 = (x + 5). (x 2 - x + 5) + (-30) x 3 + 4. x 2 - 5 = x 3 - x 2 + 5. x 2 - 5. x + 25 -30 x 3 + 4. x 2 - 5 = x 3 + 4. x 2 - 5 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 11

Ejemplo 3 de división de polinomios • Sea P(x) = x 3 + 4.

Ejemplo 3 de división de polinomios • Sea P(x) = x 3 + 4. x 2 - 2. x + 5 • y Q(x) = x 2 + 5 • Hallemos P(x) : Q(x) • 1. - Están ya ambos reducidos. • 2. - Están ya ambos ordenados decrecientemente. • 3. - Ambos son polinomios completos, luego no hay que dejar huecos. • 4. - Aplicamos el algoritmo para dividir: @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 12

 • x 3 + 4. x 2 - 2. x + 5 •

• x 3 + 4. x 2 - 2. x + 5 • x 2 + 5 x • Pues x 3 : x 2 = x • x 3 + 4. x 2 - 2. x + 5 • - x 3 - 5. x x 2 + 5 x • Pues se multiplica x. (x 2 +5) • Y como vamos a restar lo que nos dé se cambia de signo. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 13

 • x 3 + 4. x 2 - 2. x + 5 x

• x 3 + 4. x 2 - 2. x + 5 x 2 + 5 • - x 3 - 5. x x • 4. x 2 - 7. x + 5 • Se repite las operaciones: • x 3 + 4. x 2 - 2. x + 5 • - x 3 - 5. x • 4. x 2 - 7. x + 5 • - 4. x 2 - 20 • - 7. x - 15 @ Angel Prieto Benito x 2 + 5 x+4 Apuntes de Matemáticas 3º ESO 14

 • x 3 + 4. x 2 - 2. x + 5 x

• x 3 + 4. x 2 - 2. x + 5 x 2 + 5 • - x 3 - 5. x x+4 • 4. x 2 - 7. x + 5 • - 4. x 2 - 20 • - 7. x - 15 • 5. - Como el resto ( -7. x – 15) es de grado menor que el dividor (x 2 + 5) se habrá terminado la división. • C(x) = x+4 • R(x) = - 7. x – 15 • 6. - Se comprueba que D(x) = d(x). C(x)+R(x) @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 15