TEMA 2 POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS 2 1

TEMA 2 – POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS 2. 1 – Expresiones algebraicas Matemáticas 4º ESO y 1º Bach. • Una expresión algebraica es toda combinación de números y letras unidos por los signos de las operaciones aritméticas. Los números se llaman coeficientes y las letras se llaman variables, incógnitas o indeterminadas. • Hay expresiones algebraicas de muy distintos tipos: - Monomios: - Polinomios: • Algunas expresiones algebraicas son igualdades: Se verifica para cualquier valor de “x”. - Identidades: - Ecuaciones: Se verifica para “x = 5” • Valor numérico de una expresión algebraica es el número que se obtiene al sustituir las letras por números dados y hacer las operaciones indicadas en la expresión.

TEMA 2 – POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS 2. 1 – Expresiones algebraicas Matemáticas 4º ESO y 1º Bach. Ejemplo: • Si x y y son las medidas de los lados de un rectángulo, 2 x + 2 y es la expresión algebraica que nos da el perímetro del rectángulo. y x • Su valor numérico para x = 3 y y = 2 nos da el perímetro de un rectángulo de esas dimensiones: 2. 3 + 2. 2 = 10

TEMA 2 – POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS Matemáticas 2. 2 – Monomios 4º ESO y 1º Bach. • Un monomio es una expresión algebraica en la que las únicas operaciones que afectan a las letras (parte literal) son la multiplicación y potenciación de exponente natural. • El coeficiente es el número que acompaña a las incógnitas • El grado de un monomio es la suma de sus exponentes. • Dos monomios son semejantes cuando tienen idéntica la parte literal. Grado respecto de la letra x 8 x 2 y 5 El grado de este monomio es 2 + 5 = 7 Coeficiente • Valor numérico de un monomio es el resultado que se obtiene al sustituir las incógnitas por sus valores. (x = 2, y = -1 -32)

TEMA 2 – POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS 2. 2 – Monomios Matemáticas 4º ESO y 1º Bach. • Suma o diferencia de monomios: La suma (diferencia) de monomios semejantes es otro monomio también semejante a ellos cuyo coeficiente es la suma (diferencia) de sus coeficientes. Si dos monomios no son semejantes, su suma (diferencia) no se puede simplificar y hay que dejarla indicada. Ejemplos: 12 x 2 y – 2 x 2 y + 4 x 2 y = (12 – 2 + 4)x 2 y = 14 x 2 y 5 x 2 + 6 xy = 5 x 2 + 6 xy 12 x 2 y – 2 x 2 y + 4 x 2 y + 5 x 2 + 6 xy = 14 x 2 y + 5 x 2 + 6 xy

TEMA 2 – POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS 2. 2 - Monomios Matemáticas 4º ESO y 1º Bach. • El producto de monomios es otro monomio que tiene: – como coeficiente, el producto de los coeficientes. – como parte literal, el producto de las partes literales Ejemplos: x 3. x 2 = x 3 +2 = x 5 5 x 2. 7 x 4 = (5. 7). x 2+4 = 35 x 6 – 2 xy 2. 5 x 2 y 3. 3 xz= (– 2. 5. 3) (x. x 2. x) (y 2. y 3) z = – 30 x 4 y 5 z • El cociente de monomios es otro monomio que tiene: – como coeficiente, el cociente de los coeficientes. – como parte literal, el cociente de las partes literales x Ejemplos: x 3 : x 2 = x 3 -2 = (14 x 4) : (7 x 2) = (14: 7). x 4 -2 = 2 x 2

TEMA 2 – POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS Matemáticas 2. 3 – Polinomios 4º ESO y 1º Bach. Un polinomio es una expresión que es suma o resta de monomios. Cada uno de los monomios que lo forman se llama término. Término principal Grado del polinomio P = 8 x 5 – 6 x 4 – 3 x 2 + x – 2 Término de grado 2 Término independiente o término de grado 0 El valor numérico de P en a, P(a), se obtiene sustituyendo x por a

TEMA 2 – POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS Matemáticas 2. 3 - Polinomios 4º ESO y 1º Bach. • Suma o resta de polinomios agrupamos los términos del mismo grado. Ejemplo P = x 5 + 2 x 4 Q= – 3 x 2 + x – 4 3 x 4 – 2 x 3 + 3 x 2 + 2 x P + Q = x 5 + 5 x 4 – 2 x 3 + 3 x – 4 P = x 5 + 2 x 4 Q= – 3 x 2 + x – 4 3 x 4 – 2 x 3 + 3 x 2 + 2 x P – Q = x 5 – x 4 + 2 x 3 – 6 x 2 – x – 4 El grado de P Q es, como mucho, el mayor de los grados de P y Q

TEMA 2 – POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS Matemáticas 2. 3 – Polinomios 4º ESO y 1º Bach. • El producto de un polinomio por un monomio es otro polinomio cuyos términos se obtienen multiplicando el monomio por cada término del polinomio 2 xy 2. (3 x – 2 y + 4) = (2 xy 2. 3 x) + (2 xy 2. (– 2 y) + (2 xy 2. 4) = 6 x 2 y 2 – 4 xy 3 + 8 xy 2 • El producto de dos polinomios es igual a otro polinomio cuyos términos se obtienen multiplicando cada término del primero por cada término del segundo y sumando luego los términos semejantes – 7 x 3 + 3 x 2 – 0 x + 2 2 x 2 + 3 x – 1 7 x 3 – 3 x 2 + 0 x – 21 x 4 + 9 x 3 – 0 x 2 + 6 x – 14 x 5 + 6 x 4 + 0 x 3 + 4 x 2 – 14 x 5 – 15 x 4 +16 x 3 + x 2 + 6 x – 2

TEMA 2 – POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS Matemáticas 2. 3 - Polinomios • Productos notables 4º ESO y 1º Bach. • (a + b)2 = a 2 + 2 ab + b 2 • (a – b)2 = a 2 – 2 ab + b 2 • (a + b) (a – b) = a 2 – b 2 • (a + b)3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 ab 2 + b 3 • (a – b)3 = a 3 – 3 a 2 b + 3 ab 2 – b 3 • Sacar factor común: Cuando todos los términos de un polinomio, P(x), son múltiplos de un mismo monomio, M(x); podemos extraer M(x) como factor común. • 2 x+3 x 2 – 7 x 4 = x. (2 +3 x – 7 x 3)

TEMA 2 – POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS 2. 3 - Polinomios Matemáticas 4º ESO y 1º Bach. • Cociente de polinomios: La división de polinomios es similar a la división entera de números naturales: al dividir dos polinomios, se obtiene un cociente y un resto (el grado del resto es menor que el grado del divisor). La relación entre D(x), d(x), C(x) y R(x) es: Cuando el resto es cero, R(x) = 0, la división es exacto y se cumple:

TEMA 2 – POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS 2. 3 - Polinomios Primer paso Se resta x 3. d Segundo paso Se resta 2 x 2. d Tercer paso Se resta (– 1) d. 3 x 5 + 8 x 4 – 11 x 2 – 3 x + 6 – (3 x 5 + 2 x 4 – 4 x 3) 6 x 4 + 4 x 3 – 11 x 2 – 3 x + 6 Matemáticas 4º ESO y 1º Bach. 3 x 2+2 x– 4 x 3 3 x 5 + 8 x 4 – 11 x 2 – 3 x + 6 – (3 x 5 + 2 x 4 – 4 x 3) 6 x 4– 4 x 3 – 11 x 2 – 3 x + 6 – (6 x 4+ 4 x 3 – 8 x 22) – 3 x + 6 3 x 2+2 x– 4 x 3 + 2 x 2 3 x 5 + 8 x 4 – 11 x 2 – 3 x + 6 – (3 x 5 + 2 x 4 – 4 x 3) 6 x 4– 4 x 3 – 11 x 2 – 3 x + 6 – (6 x 4– 4 x 3 – 11 x 2) – 3 x 2 – 3 x + 6 –(– 3 x 2 – 2 x + 4) –x+ 2 3 x 2+2 x– 4 x 3 + 2 x 2 – 1 cociente resto Cociente de los términos de mayor grado

TEMA 2 – POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS Matemáticas 2. 4 – Regla de Ruffini 4º ESO y 1º Bach. La Regla de Ruffini sirve para dividir un polinomio por x – a. Ejemplo: Dividir P = 2 x 3 – 7 x 2 – 4 x + 12 entre x – 2 se Coeficientes de P a Se opera: se suma 2 – 6 – 4 12 2 2 – 6 2 4 – 2 2 – 4 – 8 12 – 16 – 4 se multiplica por a Hemos obtenido que: P = 2 x 3 – 7 x 2 – 4 x + 12 = (2 x 2 – 2 x – 8) (x – 2) + (– 4) r

TEMA 2 – POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS 2. 4 – Regla de Ruffini Matemáticas 4º ESO y 1º Bach. Criterio de divisibilidad por x – a: Si un polinomio tiene coeficientes enteros, para que sea divisible por x –a es necesario que su término independiente sea múltiplo de a. Por tanto, para buscar expresiones x –a que sean divisores de un polinomio, probaremos con los valores de a (positivos y negativos) que sean divisores del término independiente Valor de un polinomio para x = a: El valor numérico de un polinomio, P(x), para x = a, es el número que se obtiene al sustituir la x por a y efectuar las operaciones indicadas. A ese número se le llama P(a). Teorema del resto: El valor que toma un polinomio, P(x), cuando x =a, coincide con el resto de la división P(x) : (x – a), es decir, P(a) = r El resto de dividir P(x) = 2 x 3 – 7 x 2 – 4 x + 12 entre x – 2 se puede obtener así: P(2) = 2. 23 – 7. 22 – 4. 2 + 12 = – 4

TEMA 2 – POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS 2. 5 – Factorización de polinomios Matemáticas 4º ESO y 1º Bach. Factorizar un polinomio es descomponerlo en producto de polinomios (factores) del menor grado posible. Método para factorizar un polinomio: • Sacar factor común. • Recordar los productos notables. • Si es un polinomio de grado > 2: Por Ruffini, probando con los divisores del término independiente, hasta obtener resto cero: P(x) = (x –a). C(x) • Si es un polinomio de grado = 2. Se resuelve la ecuación de segundo grado:

TEMA 2 – POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS 2. 5 – Factorización de polinomios Matemáticas 4º ESO y 1º Bach. Ejemplo: Factorizar el polinomio P = x 4 + 3 x 3 – x 2 – 3 x • Se saca factor común x: x(x 3 + 3 x 2 – x – 3) • Por Ruffini: x 3 + 3 x 2 – x – 3 Para ello probamos con los divisores positivos y negativos de 3 1 3 – 1 -3 1 1 4 3 0 • Por la fórmula: x 2 +4 x + 3 = 0 x = -1, x = -3 x. (x – 1). (x + 3)

TEMA 2 – POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS 2. 5 – Factorización de polinomios Matemáticas 4º ESO y 1º Bach. Ejemplo: descomponer P = x 3 – 2 x + 4 1. – No podemos sacar factor común 2 – Regla de Ruffini. Buscamos posibles soluciones de la ecuación x 3 – 2 x + 4 = 0 entre los divisores del término independiente: {1, – 1, 2, – 2, 4, – 4}. 1 0 – 2 4 – 4 1 – 2 2 0 3. – Por la fórmula x 2 – 2 x + 2 = 0. No tiene solución (x + 2). (x 2 – 2 x + 2)

TEMA 2 – POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS 2. 6 – Divisibilidad de polinomios Matemáticas 4º ESO y 1º Bach. • Múltiplos y divisores: Un polinomio D(x), es divisor de otro, P(X), si la división P(x) : D(x) es exacta. En tal caso, se dice también que P(x) es múltiplo de D(x), ya que P(x) = D(x). C(x) • Polinomios irreducibles: Un polinomio es irreducible cuando no tiene ningún divisor de grado inferior al suyo. • Máximo común divisor y mínimo común múltiplo de polinomios: Un polinomio, D(x), es el máximo común divisor de dos polinomios, P(x) y Q(x), si es divisor de ambos y no hay otro polinomio divisor común con mayor grado que él. Se denota: D(x) = M. C. D. [P(x), Q(x)] Método para calcularlo: -Se factorizan los dos polinomios: P(x) y Q(x) -Se toman los factores comunes al menor exponente

TEMA 2 – POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS 2. 6 – Divisibilidad de polinomios Matemáticas 4º ESO y 1º Bach. Un polinomio, M(x), es el mínimo común múltiplo de dos polinomios, P(x) y Q(x), si es múltiplo de ambos y no hay otro polinomio múltiplo común con menor grado que él. Se denota: M(x) = m. c. m. [P(x), Q(x)] Método para calcularlo: -Se factorizan los dos polinomios: P(x) y Q(x) -Se toman los factores comunes y no comunes al mayor exponente Ejemplo: P(x) = x 3 – x 2 – x + 1, Q(x) = 2 x 3 + 6 x 2 – 8 -Factorizamos : P(x) = (x – 1) 2. (x + 1) Q(x) =2. (x – 1). (x + 2)2 -m. c. m [P(x), Q(x)] = 2. (x – 1)2. (x + 1). (x + 2) 2 -M. C. D [P(x), Q(x)] = x - 1

TEMA 2 – POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS 2. 7 – Fracciones algebraicas Matemáticas 4º ESO y 1º Bach. Una fracción algebraica es el cociente de dos polinomios Simplificación: Para simplificar una fracción, se factorizan numerador y denominador y se eliminar los factores comunes obteniéndose otra fracción equivalente. (x – 3) (x 2 + 1) x– 3 x 3 – 3 x 2 + x – 3 (x – 1) (x + 1) (x 2 + 1) x 2 – 1 x 4 – 1 Reducir a común denominador: Se sustituye cada fracción por otra equivalente, de modo que todas tengan el mismo denominador, que será el mínimo común múltiplo de los denominadores.

TEMA 2 – POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS Matemáticas 2. 7 – Fracciones algebraicas 4º ESO y 1º Bach. OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS Suma y diferencia: para sumar o restar fracciones algebraicas, se buscan fracciones algebraicas equivalentes con denominador común y se suman o restan los numeradores x 2 – 3 x x– 2 + 2 x – 2 x + 1 x 2 – 1 = x– 2 (x – 1)(x + 1) (x – 2)(x – 1) (x – 3) x (x + 1) = + 2 2 (x – 1) (x + 1) = + (x – 3)x (x – 1)2 = x 2 – 3 x + 2 + x 3 – 2 x 2 – 3 x (x – 1)2 (x + 1) x 3 – x 2 – 6 x +2 (x – 1)2 (x + 1) =

TEMA 2 – POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS Matemáticas 2. 7 – Fracciones algebraicas 4º ESO y 1º Bach. Producto: para multiplicar fracciones algebraicas se multiplican entre si los numeradores y los denominadores x– 2 x 2 – 2 x + 1 . x 4 – 1 = 2 x + 1 (x – 2) (x – 1) (x + 1) (x 2 + 1) = (x – 1)2 (2 x + 1) = (x – 2) (x 4 – 1) = (x 2 – 2 x + 1) (x – 2) (x + 1) (x 2 + 1) (x – 1) (2 x + 1) x 4 - x 3 -x 2 -x -2 2 x 2 - x - 2 =

TEMA 2 – POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS Matemáticas 2. 7 – Fracciones algebraicas 4º ESO y 1º Bach. Inversa de una fracción algebraica: la inversa de una fracción algebraica P(x)/Q(x) es la fracción (P(x)/Q(x)) -1 = Q(x)/P(x) División de fracciones algebraicas: para dividir una fracción algebraica entre otra, se multiplica la primera por la inversa de la segunda x 3 – 1 2 x 2 + x : x 4 + 1 = 2 x – 1 (x 3 – 1) (2 x 2 + x) (x 4 + 1) x 3 – 1 2 x 2 + x = . 2 x – 1 = 4 x +1 2 x 4 - x 3 - 2 x + 1 2 x 6 + x 5 + 2 x 2 + x