POLINOMIOS U D 3 4 ESO E AC

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POLINOMIOS U. D. 3 * 4º ESO E. AC. @ Angel Prieto Benito Matemáticas

POLINOMIOS U. D. 3 * 4º ESO E. AC. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC. 1

FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS U. D. 3. 7 * 4º ESO E. AC. @ Angel

FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS U. D. 3. 7 * 4º ESO E. AC. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC. 2

FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS • Factorizar un polinomio es expresarlo como producto de dos o

FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS • Factorizar un polinomio es expresarlo como producto de dos o más factores, donde cada factor es un monomio o un polinomio. • PASOS A TENER EN CUENTA • • • 1. ‑ Extraer factor común, reduciendo el polinomio a factorizar. P(x) = x 3 – 9. x = x. (x 2 – 9) Finalmente: P(x) = x. (x + 3). (x – 3) • • • 2. ‑ Ordenarlo de forma decreciente. P(x) = 4 – x 3 – 9. x = – x 3 – 9. x + 4 Imprescindible para poder aplicar Ruffini. • • • 3. - Utilizar las identidades notables. P(x) = 4. x 2 – 9 = (2. x – 3). (2. x + 3) Finalmente: P(x) = 4. (x + 3/2). (x – 3/2) @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC. 3

FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS • • 4. ‑ • 5. ‑ Una vez encontrada alguna

FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS • • 4. ‑ • 5. ‑ Una vez encontrada alguna raíz, aplicar la Regla de Ruffini para hallar las restantes, cuidando que alguna de ellas se puede repetir varias veces. P(x) = x 3 – 5. x 2 + 3. x + 9 P(x) = (x – 3). (x + 1) Q(x) = x 3 – 3. x 2 + 3. x – 1 Q(x) = (x – 1) • • Buscar, aplicando el Teorema del Resto, las posibles raíces enteras. P(x) = x 3 – 9 PRE = {-1, +1, -3, +3, -9, +9}, los divisores de 9 en este caso. P(-1)= …, P(-3)= … 6. ‑ Si algún cociente fuera de grado 2, se puede aplicar la fórmula de ecuaciones de segundo grado, pudiendo hallar de esta forma raíces no enteras (racionales e irracionales) si las hubiera. P(x) = (x – 2). (x + 3). (x 2 – 2) Aplicamos la fórmula para resolver x 2 – 2 = 0 y obtenemos las dos raíces que nos faltan que resultan ser irracionales (√ 2 y – √ 2). @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC. 4

FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS • 7. ‑ Si el polinomio es de grado impar, tiene

FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS • 7. ‑ Si el polinomio es de grado impar, tiene al menos una raíz real aunque no sea entera. • Si P(a) > 0 y P(b) < 0, entre a y b podemos asegurar que existe una raíz, un valor der x que hace que el valor del polinomio sea cero. Ello es muy importante, sobre todo cuando las raíces no sean enteras; habrá que hallarlas entonces por aproximación. • • P(x) = x 3 – 5 No hay raíces enteras. P(1) = – 4 , P(2) = 3 Entre x=1 y x= 2 hay una raíz. 8. ‑ Una vez halladas todas las existentes, poner el polinomio dado en forma factorial: P(x) = k. (x – a). (x – b). (x – c). (x – d). . , siendo a, b, c, d, . . . las raíces halladas. P(x) = 2. (x – 2). (x + 3)2. (x + 3/2). (x + √ 2). (x – √ 2) Como se ve puede haber raíces fraccionarias (– 3/2), irracionales (√ 2, –√ 2), raíces que se repiten (– 3), enteras (2) y algún factor constante. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC. 5

CASOS A CONSIDERAR ( I ) • Factorizar un polinomio es expresarlo como producto

CASOS A CONSIDERAR ( I ) • Factorizar un polinomio es expresarlo como producto de dos o más factores, donde cada factor es un monomio o un polinomio. • CASOS A CONSIDERAR • • 1. - • • • Ejemplos 1. - P(x) = 3. x 3 + 4. x Extraemos factor común a x P(x) = x. (3. x 2 + 4 ) • • 2. - Que a P(x) le falte el término independiente. P(x) = a. x 3 + b. x 2 + c. x Extraemos factor común a x y lo tendremos factorizado: P(x) = x. (a. x 2 + b. x + c ) P(x) = 2. x 4 - 3. x 2 Extraemos factor común a x P(x) = x. (2. x 3 - 3. x ) @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC. 6

CASOS A CONSIDERAR ( II ) • 2. - Que P(x) sea el desarrollo

CASOS A CONSIDERAR ( II ) • 2. - Que P(x) sea el desarrollo de un producto notable. • Se identifica el producto y se expresa como producto de factores o potencia. • Ejemplos • x 2 + 2. x. y + y 2 = ( x + y ) • x 2 - 8. x + 4 = ( x - 4 )2 = ( x - 4 ) • x 2 / 4 – 9 = (x/2 + 3 ). ( x/2 – 3 ) • x 3+ 6. x 2 + 12. x + 8 = ( x + 2 )3 = ( x + 2 ) • x 4 - 3. x 2 = ( x 2 + √ 3. x) ( x 2 – √ 3. x) @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC. 7

CASOS A CONSIDERAR ( y III ) • 3. - Que P(x) al ser

CASOS A CONSIDERAR ( y III ) • 3. - Que P(x) al ser dividido entre (x – a) resulte una división exacta (resto = 0). • En ese caso como P(x) = d(x). c(x) + r(x) y r(x) = 0 • Resulta que P(x) = (x - a). c(x) , que es el producto de dos polinomios. • Ejemplo • • Sea P(x) = x 3 - 3. x 2 + 3. x - 1 Como el 1 es una raíz x 3 - 3. x 2 + 3. x - 1 = ( x - 1). ( x 2 – 2. x + 1) Y ya estaría factorizado. • Pero como ( x 2 – 2. x + 1) = (x – 1) • Quedaría mejor x 3 - 3. x 2 + 3. x - 1 = ( x - 1) @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC. 8