Expresiones Algebraicas Una expresin algebraica es una expresin

Expresiones Algebraicas • Una expresión algebraica es una expresión en la que se relacionan valores indeterminados constantes y cifras, todas ellas ligadas por un número finito de operaciones de suma, resta, producto, cociente, potencia y raíz. • Ejemplos 1

Tipos de Expresiones Algebraicas Racionales Enteras Irracionales Fraccionarias 2

Expresión Algebraica Racional • Es racional cuando las variables no están afectadas por la radicación • Ejemplo 3

Expresión Algebraica Irracional • Es irracional cuando las variables están afectadas por la radicación • Ejemplo 4

Expr. Algebraica Racional Entera • Una expresión algebraicas es racional entera cuando la indeterminada está afectada sólo por operaciones de suma, resta, multiplicación y potencia natural. • Ejemplo 5

Expresión Algebraica Racional Fraccionaria • Una expresión algebraicas racional es fraccionaria cuando la indeterminada aparece en algún denominador. • Ejemplo 6

Polinomios • Son las expresiones algebraicas más usadas. • Sean a 0, a 1, a 2, …, an números reales y n un número natural, llamaremos polinomio en indeterminada x a toda expresión algebraica entera de la forma: a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + … + an xn 7

Ejemplos de polinomios os simbolizaremos con letras mayúsculas indicando la indeterminad 8

Términos • Monomio : polinomio con un solo término. Binomio : polinomio con dos términos. Trinomio : polinomio con tres términos. • Cada monomio aixi se llama término. • El polinomio será de grado n si el término de mayor grado es anxn con an 0. • A a 0 se lo llama término independiente. • A an se lo llama término principal. • • 9

Ejemplos El polinomio 0 + 0 x 2 + … +0 xn se llama polinomio nulo. Lo simbolizaremos por Op(x). No se le asigna grado. 10

Ejercicio • Indicar cuáles de las siguientes expresiones algebraicas son polinomios. En este último caso indicar su grado. 11

Polinomios iguales • Dos polinomios son iguales si y sólo si los coeficientes de los términos de igual grado lo son. • Ejercicio: Determinar a, b y c para que P(x)=Q(x) 12

Suma de Polinomios • Para sumar dos polinomios se agrupan los términos del mismo grado y se suman sus coeficientes. • Ejemplo: Sumar los siguientes polinomios P(x) = -2 x 4 + 5 x 3 – 3 x + 1 Q(x) = 3 x 3 – 6 x 2 – 5 x - 2 13

Propiedades de la Suma • • Asociativa Conmutativa Existencia de elemento neutro Existencia de elemento opuesto 14

Resta de Polinomios • Para restar el polinomio Q(x) del polinomio P(x) se debe sumar a P(x) el opuesto de Q(x). P(x) – Q(x) = P(x) + [ - Q(x) ] • Ejemplo: Restar los siguientes polinomios P(x) = -2 x 4 + 5 x 3 – 3 x + 1 Q(x) = 3 x 3 – 6 x 2 – 5 x - 2 15

Multiplicación de Polinomios • Para multiplicar dos polinomios se multiplica cada monomio de uno de ellos por cada uno de los términos del otro y luego se suman los términos de igual grado. • Ejemplo: Multiplicar los siguientes polinomios P(x) = -2 x 4 + 5 x 3 – 3 x + 1 Q(x) = 3 x 3 – 6 x 2 – 5 x – 2 P(x). Q(x) = P(x) 3 x 3 + P(x) (-6 x 2 ) + P(x) (-5 x ) + P(x)(-2) 16

Propiedades del Producto • • • Asociativa Conmutativa Existencia de elemento neutro. 17

PRODUCTOS NOTABLES Cuadrado del Binomio Cubo del Binomio Diferencia de Cuadrados a 2 – b 2 = (a – b) (a + b ) Diferencia de Cubos a 3 – b 3 = (a – b) (a 2 + a b + b 2) Suma de Cubos a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 – a b + b 2) 18

Ejercicio • Escribir los desarrollos de 19

Ejercicio: Expresar los siguientes trinomios cuadrado 20

Ejercicio: La expresión x 2 - a 2 es una diferencia de cu 21

División de polinomios • Existe una estrecha analogía entre el cociente de polinomios y la división de números enteros. • Recordemos algunas definiciones de la división entre números enteros. 22

División entre números enteros • En el conjunto de números enteros, si D es el dividendo y d 0 es el divisor, existen y son únicos dos enteros c (cociente) y (r (resto) tales que D=d. C+r • 0 ≤ r < |d| Si r=0 se dice que D es divisible por d. 23

División entre números enteros • Ejemplo: Realizar las siguientes divisiones enteras: • 29 dividido 6 será: c= 4 y r=5 pues 29 = 6. 4 + 5 y 0 ≤ 5 < 6 • 29 dividido -6 será: c= -4 y r=5 pues 29 = (-6). (-4) + 5 y 0 ≤ 5 < |-6| ¿Podría haber sido c = -5 y r = -1? 24

División de polinomios • Dados los polinomios D(x) = 6 x 3 – 17 x 2+15 x-8 d(x) = 3 x – 4 determinar, si es posible, dos polinomios c(x) y r(x) tales que D(x) = d(x). C(x) + r(x) de modo que el grado de r(x) sea menor que el grado de d(x) o bien r(x)=Op(x) 25

Ejemplo 6 x 3 – 17 x 2 + 15 x – 8 -6 x 3 + 0 x 3 - 8 x 2 3 x – 4 2 x 2 - 3 x + 1 9 x 2+ 15 x 9 x 2 - 12 x 0 x 2+ 3 x - 8 -3 x + 4 0 x - 4 6 x 3 -17 x 2+15 x-8 = (3 x-4)(2 x 2 -3 x+1)-4 26

Dividir: entre 27

Ejercicios a) D(x) = 4 x 5 + 2 x 3 – 24 x 2 + 18 x d(x) = x 2 – 3 x b) D(x) = 16 x 8 + 24 x 6 + 9 x 4 d(x) = 4 x 5 + 4 x 4 + 3 x 3 + 3 x 2 c) D(x) = 2 x 4 – 6 x 3 + 7 x 2 – 3 x +2 d(x) = x-2 28

División de Polinomios • Dados los polinomios D(x) y d(x); d(x) Op(x), diremos que d(x) divide a D(x) si y sólo si existe un polinomio c(x) tal que D(x) = d(x). c(x) 29

Ejercicios • a) b) Dados los polinomios P(x) y Q(x) indica si alguno de ellos es divisible por el otro P(x) = x 4 -2 x 3 +x 2 -5 x + 1 Q(x) = x 3 + x 2 + x + 1 P(x) = x 4 +2 x 3 +4 x 2 + 8 x +16 Q(x) = x 5 - 32 30

División de un polinomio por otro de la forma (x-a) 3 x 3 – 2 x 2 – 5 x – 9 - 3 x 3 + 6 x 2 4 x 2 – 5 x - 4 x 2 + 8 x 3 x – 9 -3 x + 6 -3 x– 2 3 x 2 + 4 x + 3 Regla de Ruffini 3 -2 -5 -9 6 8 6 2 3 4 3 -3 3 x 3 – 2 x 2 – 5 x – 9 = ( x – 2)(3 x 2 + 4 x + 3) + (-3) 31

División de un polinomio por otro de la forma (x-a) : Regla de Ruffini Dividir: 1 -2 1 -5 2 0 1 -3 2 x entre 1 32

Raíces de un polinomio • Un número real a es raíz de un polinomio P(x) si y solo si P(a) = 0 • Ejercicio: Verifique x=1 es raíz del polinomio P(x) = 3 x 2 + 2 x – 5 33

Raíces de un Polinomio • Si un polinomio tiene coeficientes enteros y a es una raíz entera del polinomio entonces a divide al término independiente. • Ejercicio: Calcular las raíces de P(x) = 2 x 3 - 2 x 2 - 16 x + 24 34

Ejercicio: Calcular las raíces de P(x) = 2 x 3 - 2 x 2 - 16 x + 24 • • Si P(x) tiene alguna raíz entera, ésta debe ser divisor de 24. Probar que 1 y -1 no son raíces de P(x) Ver x=2 también es raíz de 2 x 2 + 2 x -12 = (x-2)(2 x+6) 2 x 3 – 2 x 2 – 16 x + 24 = ( x – 2)(2 x 2 + 2 x -12) 35

Ejercicio • Calcular las raíces de P(x) = x 4 - x 3 - 6 x 2 + 4 x + 8 P(x) = (x-2)2 (x+1) (x+2) 36

Resolver la siguiente ecuación 37

Soluciones de la Ecuación Fraccionaria 38