lgebra Polinmios Exerccios do Caderno de Apoio Os

Álgebra Polinómios Exercícios do Caderno de Apoio

Os exercícios seguintes são propostas dos autores do programa de Matemática A que constam no Caderno de Apoio ao 10. º Ano. Os exercícios que se encontram assinalados com um (*) ou dois (**) asteriscos correspondem a desempenhos progressivamente mais avançados (de carácter opcional).

Questão 1 Considere os seguintes polinómios: 1. 1 Determine, na forma reduzida, o polinómio A(x) × B(x), indicando o respetivo grau. 1. 2 Qual o grau do polinómio A(x) × B(x), se se tiver agora A(x)=xn + 3 x 2 – 2 e B(x) = 4 xm – x + 1, em que n > 2 e m > 1? Qual a relação entre o grau de A(x), o grau de B(x) e o grau de A(x) × B(x)? Ver respostas.

Resolução 1. 1 O grau do polinómio A(x) × B(x) é 8. 1. 2 Se o grau do polinómio A(x) é n e o grau do polinómio B(x) é m, então, o grau do polinómio A(x) × B(x) é n + m. O grau do polinómio A(x) × B(x) é a soma dos graus dos polinómios A(x) e B(x).

Questão 2 Considere o polinómio . Sabendo que o polinómio A(x) admite as raízes – 3, 1 e 2, eventualmente com diferentes ordens de multiplicidade, determine o polinómio B(x) sem zeros, tal que valores de m, n e p. Ver resposta. , identificando os

Resolução 1 tem multiplicidade 2 (m = 2).

Resolução 2 tem multiplicidade 1 (n = 1).

Resolução – 3 tem multiplicidade 1 (p = 1). Logo, .

Questão 3 Determine, utilizando o teorema do resto, o resto da divisão de por Ver resposta.

Resolução 3. O resto da divisão de A(x) por B(x) é dado por A(-1): Logo, o resto é -4.

Questão 4 Determine o polinómio P(x) do 4. º grau que admite os zeros simples – 4, – 1, 1/2 e 3 e cujo resto da divisão por x + 2 é igual a 1. Ver resposta.

Resolução 4. O polinómio P(x) do 4. º grau que admite os zeros simples – 4, – 1, 1/2 e 3 é da forma . Como o resto da divisão por x + 2 é 1, sabe-se, pelo teorema do resto, que P(– 2) = 1. Logo: Portanto:

Questão 5 Considere os polinómios e 5. 1 Verifique 1 é uma das raízes de A(x). . Ver respostas. 5. 2 Determine as outras raízes de A(x) e fatorize este polinómio. 5. 3 Resolva a inequação A(x) < 0. Ver resposta. 5. 4 Fatorize o polinómio B(x) e resolva a inequação B(x) > 0. Ver resposta.

Resolução 5. 1 1 é raiz de A(x) se A(1) = 0. Logo, 1 é raiz de A(x). 5. 2 Logo, as raízes de A(x) são 1 (de multiplicidade 1) e -2 (de multiplicidade 2).

Resolução 5. 3 A(x) < 0 -2 (x+2)2 + x-1 - A(x) - 0 0 1 + + - 0 +

Resolução 5. 4 0 0 2 x 2 + x-2 - - x-3 - - B(x) + 0 + + 0 0 3 + + - 0 +

Questão 6 Considere a equação 6. 1 Tendo em conta que . , substitua na equação x 2 por y e resolva a equação do segundo grau assim obtida. 6. 2 Determine os valores de x que satisfazem a equação dada. Ver respostas.

Resolução 6. 1 Fazendo a substituição de x 2 por y obtém-se: 6. 2 Fazendo a substituição de y por x 2: