Petite introduction thmatique la thorie des graphes quelques

Petite introduction thématique à la théorie des graphes; quelques applications à la modélisation moléculaire Dominique Barth, PRi. SM-UVSQ Journées Simulation Numérique 2013 15/11/2013

Quelquestions concernant la modélisation moléculaire… 1. Type de modèle : discret (combinatoire, graphes, proc. Stochastique) ou continu (EDP, …) 2. Approche : statique (structure, architecture, états) ou dynamique (évolution temporelle) 3. Granularité : fine (élément de base = niveau atomique ou petite molécule) ou élevée (élément de base =molécule de grande taille) 4. Simulation : le but est il de calculer un modèle ou de simuler in silico un phénomène réel? 5. Application : en biologie, en pharmacologie ou autre (matériaux, …) Dominique Barth, PRi. SM, UVSQ 15/11/2013

Quelques réponses par la théorie et l’algorithmique des graphes… 1. Type de modèle : discret (combinatoire, graphes, proc. Stochastique) ou continu (EDP, …) 2. Approche : statique (structure, architecture, états) ou dynamique (évolution temporelle) 3. Granularité : fine (élément de base = niveau atomique ou petite molécule) ou élevée (élément de base =molécule de grande taille) 4. Simulation : le but est il de calculer un modèle ou de simuler in silico un phénomène réel? 5. Application : en biologie, en pharmacologie ou autre (matériaux, …) Dominique Barth, PRi. SM, UVSQ 15/11/2013

« Il peut ne pas être entièrement sans intérêt pour les lecteurs de Nature d'être au courant d'une analogie qui m'a récemment fortement impressionné entre des branches de la connaissance humaine apparemment aussi dissemblables que la chimie et l'algèbre moderne. […] Chaque invariant et covariant devient donc exprimable par un graphe précisément identique à un diagramme Kékuléan ou chemicograph. » James Joseph Sylvester (1814 -1897) Dominique Barth, PRi. SM, UVSQ 15/11/2013

1 Axe T 1 du Labex CHARMMMAT : Modélisation, Caractérisation et Simulation. Comportement stat/dyn. Granularité Fonctions, objectifs Modélisation Caractérisation. RMN. Spectro … Identification Propriétés, structures Résolution de systèmes, Algorithimique de graphes Prédiction Dominique Barth, PRi. SM, UVSQ 15/11/2013

Plan • • • Introduction et concepts de base Coloration de graphes Planarité Comparaison de graphes Application à la modélisation moléculaire Conclusion Dominique Barth, PRi. SM, UVSQ 15/11/2013

Introduction et concepts de base Dominique Barth, PRi. SM, UVSQ 15/11/2013

Graphes : relation (application de V*V dans {Vrai, Faux}) Graphe de la relation, matrice d’adjacence, listes par extension (vrai) graphe orienté Graphe orienté symétrique Dominique Barth, PRi. SM, UVSQ - Degrés - Distances, diamètre - Chaine, chemin, cycle, circuits - Connexité, forte-connexité, k-connexité - pondération, étiquetage Graphe non-orienté 15/11/2013

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Une veille science en informatique… L. P. Euler (1707 – 1783) W. R. Hamilton (1805 – 1865) Claude Berge (1926 – 2002) Dominique Barth, PRi. SM, UVSQ 15/11/2013

Coloration de graphes Dominique Barth, PRi. SM, UVSQ 15/11/2013

Un problème de géographe Francis Guthrie (1831 -1899) Dominique Barth, PRi. SM, UVSQ 15/11/2013

Un problème de géographe Francis Guthrie (1831 -1899) Dominique Barth, PRi. SM, UVSQ 15/11/2013

Un problème de géographe Conjecture : 4 couleurs suffisent pour chaque carte géographique Francis Guthrie (1831 -1899) Paul erdos (1913 -1996) Dominique Barth, PRi. SM, UVSQ 15/11/2013

G=(V, E), graphe non-orienté Coloration de G: application f de V dans un ensemble de couleurs Coloration propre : (u, v) une arête de E implique f(u) différent de f(v) Taille d’une coloration(propre) : cardinal de f(V) Nombre chromatique de G : taille minimum d’une coloration propre de G Une coloration du graphe de Petersen avec 3 couleurs. Problème historique des 4 couleurs Dominique Barth, PRi. SM, UVSQ 15/11/2013

Théorème : Un graphe est 2 -coloriable ssi il ne contient pas de cycles de longueur impaire. Dominique Barth, PRi. SM, UVSQ 15/11/2013

Dominique Barth, PRi. SM, UVSQ 15/11/2013

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5 3 4 0 3 1 1 3 4 Dominique Barth, PRi. SM, UVSQ 2 2 15/11/2013

5 3 4 3 1 1 3 4 Dominique Barth, PRi. SM, UVSQ 2 2 15/11/2013

2 1 1 1 2 2 c 1 1 Dominique Barth, PRi. SM, UVSQ Pair/impair 15/11/2013

Théorème : Décider si un graphe peut ou non être colorié avec au plus 3 couleurs est un problème NP-complet Difficulté d’un problème : plus petite complexité d’un algorithme le résolvant Taille d’un problème : nombre de sommets, de liens Complexité Linéaire Polynomial (deg. 4) Exponentielle Factorielle Dominique Barth, PRi. SM, UVSQ Nombre de données traitées / 24 h 1 million 4000 150 12 processeur x 1000 x 2 } Classe P +20 +2 15/11/2013

Classe P: problèmes « faciles » , pouvant être résolus en temps polynomial fonction du nombre de sommets et d’arêtes. Classe NP: problèmes pour lesquels pour chaque instance, vérifier si une solution possible est une solution réalisable ou optimale est « facile » (d’où algorithme exponentiel). Contient la classe P. Problème NP-complet : problème X de NP tel que tout autre problème de NP peut de facon « facile » se ramener à un sous-problème de X (donc, problèmes les plus durs de NP). Hiérarchie de classes de problèmes Question : P=NP ? Si un des problèmes NP-complet est dans P, alors P=NP Dominique Barth, PRi. SM, UVSQ 15/11/2013

Dominique Barth, PRi. SM, UVSQ 15/11/2013

Dominique Barth, PRi. SM, UVSQ 15/11/2013

Savoir si un problème est NP-complet : « Si un problème X est au moins aussi difficile qu’un problème connu comme étant l’un des plus difficiles (NP-complet) alors X est aussi un des problèmes les plus difficiles (NP-complet). » Que faire si un problème est NP-complet : - Heuristiques polynomiales - Approximation, garanties de performances - Liens entre invariants et complexité Dominique Barth, PRi. SM, UVSQ 15/11/2013

Théorème : Décider si un graphe peut ou non être colorié avec au plus 3 couleurs est un problème NP-complet Problème : enchevêtrement de cycles 5 7 4 3 2 3 Invariant de complexité : largeur arborescente (calcul NP-complet) Dominique Barth, PRi. SM, UVSQ 15/11/2013

Planarité Un graphe est planaire si et seulement si il existe une facon de le dessiner sur une sphère sans que deux arête ne se croisent Dominique Barth, PRi. SM, UVSQ 15/11/2013

La terre est ronde Francis Guthrie (1831 -1899) Dominique Barth, PRi. SM, UVSQ 15/11/2013

La terre est ronde Francis Guthrie (1831 -1899) Dominique Barth, PRi. SM, UVSQ 15/11/2013

Conjecture : 4 couleurs suffisent pour chaque carte géographique graphe planaire Comment décider qu’un graphe est ou non planaire sans disposer de plusieurs siècles? Dominique Barth, PRi. SM, UVSQ 15/11/2013

Graphe planaire : graphe que l’on peut dessiner sur un plan (une sphère) Sans que deux arêtes ne se croisent K 3 oui K 4 oui K 5 non K 3, 3 non ? Dominique Barth, PRi. SM, UVSQ 15/11/2013

Graphe homéomorphe à Théorème (Kuratowski ) : Un graphe est planaire ssi il n’est homéomorphe ni à K 5, ni à K 3, 3 Décider si un graphe est planaire est dans P. Kutlaw Kuratowski (1896 -1980) Dominique Barth, PRi. SM, UVSQ 15/11/2013

Carte planaire : dessin planaire d’un graphe planaire b f d a c e (abdfec), (abc), (bdec), (dfe) (abdec), (abc), (bdfec), (def) = caractérisation par un graphe + parcours des arêtes décrivant les faces Dominique Barth, PRi. SM, UVSQ 15/11/2013

Question : un graphe est-il « rond » ou « long » ? 1. Existe-t-il un critère mesurable pour cette question? Est-il « facile » à calculer? 2. Si non, utilisation de critères croisés : - Excentricité moyenne (calcul polynomial) - Taille de séparateur (NP-complet, critère négatif) - Heuristique de largeur de bande Dominique Barth, PRi. SM, UVSQ 15/11/2013

Comparaisons de graphes Dominique Barth, PRi. SM, UVSQ 15/11/2013

Morphisme d’un graphe G=(V, E) dans un graphe H=(V’, E’) : Application f de V dans V’ tel que (u, v) dans E implique (f(u), f(v)) dans E’. f est un isomorphisme ssi f est une bijection (donc l’inverse de f est un (iso)morphisme) Graphe G Graphe H Isomorphisme entre G et H ƒ(a) = 1 ƒ(b) = 6 ƒ(c) = 8 ƒ(d) = 3 ƒ(g) = 5 ƒ(h) = 2 ƒ(i) = 4 ƒ(j) = 7 Dominique Barth, PRi. SM, UVSQ 15/11/2013

f est un automorphisme ssi f est un isomorphisme et G=H - groupe d’automorphismes d’un graphe, - classes d’équivalence de sommets, - symétries (involutions) - graphes sommet-transitifs Dominique Barth, PRi. SM, UVSQ 15/11/2013

f homéomorphisme ssi isomorphisme – injectivité (contraction de V dans V’) (puis notion de mineur) Graphe homéomorphe à Dominique Barth, PRi. SM, UVSQ 15/11/2013

Comparaison de sous-graphes : plus grand sous-graphes de G Et de H qui ont la propriété de morphisme visée. Plongement de graphes: f: V -> V’, injectif. Critère : minimiser dist(f(u), f(v)) pour tout (u, v) de E Transformation (édition, mineur) d’un graphe à un autre en minimisant Le nombre d’opérations élémentaires Application de la généralisation à la notion de distance entre graphes -Statique : comparaisons de structures a priori similaire, -Dynamique : mesure de l’évolution d’une structure dans le temps Dominique Barth, PRi. SM, UVSQ 15/11/2013

Quelques applications …. - Identifier la bonne structure moléculaire, - Prédire la structure tridimensionnelle d’une molécule, Dominique Barth, PRi. SM, UVSQ 15/11/2013

1 Exemple d’application : génération de topologies de cages moléculaires construites à partir de motifs de base Y Y Y V V ? Verrous : Faire face à l’explosion combinatoire et à la sélection sur critères Dominique Barth, PRi. SM, UVSQ 15/11/2013

1 Exemple d’application : génération de topologies de cages moléculaires construites à partir de motifs de base Y Y Y V V ? Verrous : Faire face à l’explosion combinatoire et à la sélection sur critères Dominique Barth, PRi. SM, UVSQ 15/11/2013

Exemple d’application : génération de topologies de cages moléculaires construites à partir de motifs de base Question : un graphe est-il « rond » ou « long » ? 1. Existe-t-il un critère mesurable pour cette question? Est-il « facile » à calculer? 2. Si non, utilisation de critères croisés : - Excentricité moyenne (calcul polynomial) - Taille de séparateur (NP-complet, critère négatif) - Heuristique de largeur de bande Verrous : Faire face à l’explosion combinatoire et à la sélection sur critères Dominique Barth, PRi. SM, UVSQ 15/11/2013

Excentricité (calcul exact) 7 2 8 5 9 1 11 3 6 10 4 Largeur de bande(calcul approché) Séparateur (calcul approché) + nombre de classes d’équivalence + test de planarité Dominique Barth, PRi. SM, UVSQ 15/11/2013

Conclusion - Le choix du modèle dépend du problème (structure, granularité, . . ) - Importance des caractéristiques des instances - Déterminer la difficulté intrinsèque (NP-complétude, explosion combinatoire) - Produire la bonne approche (cout/performance) Un des objectifs du groupe de travail transverse sur la modélisation moléculaire CHARMMMAT – LERMIT - PALM Dominique Barth, PRi. SM, UVSQ 15/11/2013

Axe T 1 du labex CHARMMMAT: Modélisation, Caractérisation et Simulation Objectifs de l’axe : • appréhender les structures complexes observées dans le LABEX, à la fois expérimentalement et d'un point de vue algorithmique, • proposer des modèles et des stratégies pour la corrélation des techniques expérimentales sur un même objet étudié • modéliser des propriétés et des fonctions identifiées par les quatre thèmes et proposer/identifier des architectures moléculaires cibles. . Dominique Barth, PRi. SM, UVSQ 15/11/2013

« Il peut ne pas être entièrement sans intérêt pour les lecteurs de Nature d'être au courant d'une analogie qui m'a récemment fortement impressionné entre des branches de la connaissance humaine apparemment aussi dissemblables que la chimie et l'algèbre moderne. […] Chaque invariant et covariant devient donc exprimable par un graphe précisément identique à un diagramme Kékuléan ou chemicograph. » James Joseph Sylvester (1814 -1897) Dominique Barth, PRi. SM, UVSQ 15/11/2013