Mthodes de prvision STT3220 Section 5 Concepts fondamentaux

Méthodes de prévision (STT-3220) Section 5 Concepts fondamentaux de séries chronologiques Version: 11 décembre 2008 STT-3220; Méthodes de prévision

Modèles de régression versus modèles de type ARIMA l On a considéré jusqu’à maintenant des modèles de la forme: l Les variables explicatives xt pouvaient être: – – l Paramètre b: – 2 Fonctions du temps t. Fonctions indicatrices, fonctions trigonométriques, etc. Constant à travers le temps, ce qui nous amenait à l’utilisation des modèles de régression linéaire multiple. STT-3220; Méthodes de prévision

Rôle du lissage exponentiel l l 3 Le lissage exponentiel tentait d’adoucir l’hypothèse que le b est constant, en permettant des situations où b change tranquillement dans le temps. Avec le lissage exponentiel, l’idée est de donner plus de poids aux observations récentes, et moins aux observations passées. STT-3220; Méthodes de prévision

Critique des techniques de lissage l l 4 Conceptuellement, on a modélisé des données que l’on présumait implicitement dépendantes, en utilisant des modèles où le terme d’erreur est non-corrélé! (Rappel: ) Si le terme d’erreur est non-corrélé, il en va évidemment de même pour la variable d’intérêt zt. (exceptions notables: procédures de Cochrane-Orcutt, Hildreth-Lu et premières différences) STT-3220; Méthodes de prévision

Modèles ARMA et ARIMA l 5 Classe de modèles issue de notre compréhension des processus stochastiques stationnaires, qui permet de modéliser un grand nombre de séries chronologiques, pouvant admettre une structure assez complexe de corrélation. STT-3220; Méthodes de prévision

Séries chronologiques et processus stochastiques l l 6 Série chronologique: On considère une série chronologique observée à des temps discrets 1, 2, …, n: z 1, z 2, …, zn; cette série chronologique est une réalisation finie d’un processus stochastique. Processus stochastiques: Famille infinie de variables aléatoires et T pourrait être de cardinalité infinie. STT-3220; Méthodes de prévision

Rappels: fonctions de moyenne, fonction de covariance 7 l La fonction de moyenne est: l La fonction de variance est: STT-3220; Méthodes de prévision

Processus stationnaires au sens large l Le processus est stationnaire au sens large (SSL) si les trois conditions suivantes sont satisfaites: – 1) Existence du second moment, 2) La moyenne est invariante dans le temps: – 3) La covariance satisfait, pour tous t, s entiers: – 8 STT-3220; Méthodes de prévision

Fonction d’autocovariance 9 l Puisque , on pose: l La fonction g: , est appelée la fonction d’autocovariance de délai k du processus. STT-3220; Méthodes de prévision

Propriétés de la fonction d’autocovariance l l 1. 2. – 10 En particulier, La propriété 2. est une application directe de l’inégalité de Cauchy-Schwartz: STT-3220; Méthodes de prévision

Propriétés de la fonction d’autocovariance (suite) 11 l 3. La fonction g est symétrique par rapport à 0, i. e. paire, car: l 4. La fonction g est définie non-négative, i. e. STT-3220; Méthodes de prévision

Fonction d’autocorrélation 12 l Considérons maintenant: l On pose: , qui est l’autocorrélation de délai k. La fct r, la fonction d’autocorrélation de STT-3220; Méthodes de prévision est

Propriétés de la fonction d’autocorrélation l l 13 1. 2. 3. 4. La fonction r est définie non-négative, i. e. que STT-3220; Méthodes de prévision

Bruit blanc (faible) l l 14 Définition d’un bruit blanc (faible): Une suite de variables aléatoires non-corrélées est un bruit blanc (faible). On note Dans ce cas, on remarque que: STT-3220; Méthodes de prévision

Bruit blanc l l l 15 En particulier, un bruit blanc (faible) est stationnaire au sens large. Remarque: Si est iid, on dit que l’on est en présence d’un bruit blanc fort. Est-ce qu’un bruit blanc fort est bruit blanc faible? STT-3220; Méthodes de prévision