Mthodes de prvision STT3220 Section 2 Transformation stabilisatrice

Méthodes de prévision (STT-3220) Section 2 Transformation stabilisatrice de variance; moindres carrés pondérés; moindres carrés repondérés Version: 22 août 2005 STT-3220; Méthodes de prévision

Transformation stabilisatrice de variance l l l 2 Technique qui vise à contrer certains problèmes d’hétéroskédasticité. Considérons une variable aléatoire yi, et posons également: On considère une certaine fonction et on développe en série de Taylor la fonction autour du point : STT-3220; Méthodes de prévision

Développement au premier ordre l On obtient donc: l Ici est la dérivée première évaluée en. On applique la variance de chaque côté de la formule précédente: l 3 STT-3220; Méthodes de prévision

Résolution d’une petite équation différentielle l l 4 Ceci suggère de cher la fonction satisfait la relation: Ceci implique: STT-3220; Méthodes de prévision qui

Exemple 1. 5 l Supposons que: l Résoudre l’équation donne: l On pourrait donc poser et considérer la transformation logarithmique. STT-3220; Méthodes de prévision

Exemple 2. 6 l Supposons que: l Résoudre l’équation donne: l On peut poser et considérer la transformation racine carrée. STT-3220; Méthodes de prévision

Moindres carrés pondérés et repondérés 7 l Exemple. Supposons que l’analyste est amené à estimer un modèle de la forme: l Pour les fins de l’illustration, la variable dépendante correspond à un nombre d’usagers d’un système (ex: un guichet automatique). STT-3220; Méthodes de prévision

Exemple (suite) l Une modélisation possible pourrait être: l Dans un tel cas: Puisque le modèle de régression est un modèle transformé: l 8 STT-3220; Méthodes de prévision

Rappel: Moindres carrés pondérés 9 l Dans l’exemple précédent, effectuer les moindres carrés pondérés suggère de résoudre: l De plus, la discussion précédente suggère de prendre les poids: l Or ces poids ne sont pas connus! STT-3220; Méthodes de prévision

Rappel: Moindres carrés repondérés l l l 10 Puisque les poids sont inconnus, on peut tenter de les estimer. La technique des moindres carrés repondérés (en anglais: Iteratively Reweighted Least Squares ou IRLS) est une procédure itérative qui cherche à effectuer des moindres carrés pondérés avec des poids estimés. On doit répéter l’algorithme jusqu’à convergence. STT-3220; Méthodes de prévision

Algorithme pour IRLS l On va donner l’algorithme pour notre exemple. Il faut modifier l’algorithme, cas par cas. l Étape 1. (Initialisation des poids) Poser l Étape 2. (Régression usuelle) Faire une régression usuelle, dans notre exemple de la variable sur. Garder OLS de b Étape 3. (Estimation des poids) Notons l’estimateur courant Calculer les poids. Dans notre exemple: l 11 STT-3220; Méthodes de prévision

Algorithme pour IRLS (suite) l Étape 3. (suite) On note que les poids sont fonction de On utilise donc les valeurs prédites: l Étape 4. (Moindres carrés pondérés) Résoudre en utilisant les poids estimés. Garder WLS de b. Étape 5. Retourner à l’étape 3. On fait les Étapes 3 à 5 jusqu’à convergence. l 12 l STT-3220; Méthodes de prévision