Matematica e statistica Versione didascalica parte 4 Sito

Matematica e statistica Versione didascalica: parte 4 • • • Sito web del corso http: //www. labmat. it Docente: Prof. Sergio Invernizzi, Università di Trieste e-mail: inverniz@units. it

2. 10. Il problema inverso delle tangenti x f(x) = y'(x) ___________ Il problema è ricostruire la funzione y(x) nota che sia la sua derivata f(x) Di y si conosce la pendenza della retta tangente al suo grafico nel punto di ascissa x, e da tutte queste informazioni vogliamo ricostruire i vari valori y(x). Per esempio possiamo conoscere le pendenze tabulate qui accanto.

2. 10. bis

2. 10. ter Il problema è per x nell’intervallo [a, b] ma possiamo discretizzate tabulando

Nel caso concreto n = 14 dell’esempio, sommiamo: Nel caso generale:

2. 10. 1 La Formula di Torricelli Sommando e semplificando: Formula di Torricelli

2. 10. 2 Calcolo esatto di integrali (Prima conseguenza della Formula di Torricelli; y'(x) = f(x) ) Se si “indovina” una funzione y(x) tale che y'(x) = f(x) (una antiderivata – o primitiva – della funzione f(x) ) si ha Si usa per brevità la notazione

• Supponiamo che F sia una antiderivata di f, ossia per cui • Supponiamo che G sia una antiderivata di g, ossia per cui • Allora per cui F + G è una antiderivata di f + g e si ha

• Supponiamo che F sia una antiderivata di f, ossia per cui • Supponiamo che a sia una costante • Allora per cui a F è una antiderivata di af e si ha

Integrale indefinito Simbolicamente per indicare il problema di trovare una antiderivata y(x) della funzione f(x) si scrive talvolta Se y(x) è un’antiderivata, anche y(x) +C lo è (C costante). Si usa per brevità la notazione

Esempi 1. Il Problema di Archimede (calcolo esatto) 2. L’area del seno (calcolo esatto) 3. L’area del. . . (calcolo esatto ? )

2. 10. 3. Calcolo di integrali indefiniti 1. RELAX 2. Calcolo Algebrico Simbolico (Mathematica, Maple, Derive, . . . , TI-89 e sup. ). Esempio: 3. 4. Conoscere le “primitive immediate” (quelle delle tabelle di derivazione lette al contrario)

2. 10. 4. Soluzione del problema inverso (Seconda conseguenza della Formula di Torricelli: y'(x) = f(x) )

Esempio

La curva a campana di Gauss K. F. Gauss (1777 -1855) e la curva a campana nella banconota da 10 DM del 1991.

La funzione è data. La incognita è calcolata usando la regola dei trapezi. è la derivata di è una primitiva di

2. 11. a. Estensione del concetto di integrale Funzione integranda che cambia segno = area( ) - area( )

2. 11. b. Estensione del concetto di integrale Inversione degli estremi di integrazione Se a > b, integrare da a a b significa muoversi sull’asse X all’indietro, ossia con un passo h = (b-a)/n negativo nelle formule di calcolo numerico. Quindi si pone:

A. Valore medio di una funzione f(x) nell’intervallo [a, b] Media mobile

B. Data smoothing Media mobile ε = 0. 5