Dvaja ptrai Prvosla potae a ifrovanie dajov GAS

Dvaja pátrači (Prvočísla, počítače a šifrovanie údajov) GAS Krupina Sekunda December 2005 Jana Hriňová Paulína Chobodová Peter Láslo Vladimír Paulíny

Prirodzené čísla: • číslo 1 • prvočísla (2, 3, 5, 7, . . . ) • zložené čísla (4, 6, 8, 9, 10, . . . ) Eratostenes z Kyrény Prvočíslo – má práve dva rôzne delitele: číslo 1 a samé seba Zložené číslo – má aspoň tri rôzne delitele Eratostenes (asi 276 – 194 p. n. l. )

Eratostenovo sito

Trojuholníkové a štvorcové čísla • 3=2+1 • 4=2. 2 • 6=1+2+3 • 9=3. 3 • 10=1+2+3+4 • 25=5. 5

Dokonalé čísla a nerozluční priatelia Dokonalé čísla – rovnajú sa súčtu svojich menších deliteľov: 6=1+2+3 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 Nerozluční priatelia – každé číslo sa rovná súčtu deliteľov druhého: 220 = 1 + 2 + 4 + 71 284 = 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110

Ako sa dajú vypočítať niektoré prvočísla • Fermatove prvočísla F 0 = 3, F 1 = 5, F 2 = 17, F 3 = 257, F 4 = 65 5373 F 5 = 4 294 967 297 = 641. 6 700 417 • Mersennove prvočísla • Faktoriálové prvočísla Marin Mersenne 23 560 cifier • Euklidove prvočísla • Cullenove prvočísla 145 072 cifier • Woodallove prvočísla 45 468 cifier

Prvé Mersennove prvočísla Vzorec pre výpočet Mersennových prvočísel:

Prvé Mersennove prvočísla nájdené pomocou počítačov Vzorec pre výpočet Mersennových prvočísel:

Ďalšie Mersennove prvočísla Vzorec pre výpočet Mersennových prvočísel:

GIMPS – Veľké internetové pátranie po Mersennových prvočíslach Vzorec pre výpočet Mersennových prvočísel:

Využívanie veľkých prvočísel • kryptografia – šifrovanie údajov • testovanie hardvéru a softvéru • konštrukcia niektorých zariadení (napr. tomograf) Prvočísla - sú základným stavebným blokom moderných kryptografických algoritmov a protokolov (ako napr. digitálne podpisy, šifrovanie verejným kľúčom a pod. ) Kryptografia je vedecká disciplína, ktorá sa zaoberá šifrovaním dát pomocou matematických metód. Princíp novodobej kryptografie: Je jednoduché vynásobiť veľké prvočísla, ale dosť ťažké tento súčin rozložiť späť na prvočinitele. Vznikol nový algoritmus, ktorý dostal názov RSA. Pretože doteraz nebol vymyslený žiadny rýchly postup na faktorizáciu (rozklad) veľkého čísla, je algoritmus RSA bezpečný.