19 13 Prosti brojevi 2 23 2 3

19 13 Prosti brojevi 2 23 2 3 7 5 29 7 Dragica Šalković , učitelj savjetnik OŠ „ Ljudevit Gaj „ Krapina 1

Prosti i složeni brojevi obrada Ogledni sat za potvrđivanje mentorstva 5. razred OŠ „ Ljudevit Gaj „ Krapina 3. prosinca 2015. Uvid izvršila : viša savjetnica Draženka Kovačević, prof. 2

19 13 Prosti brojevi 2 23 2 3 7 5 29 7 Mažda Hdagha Ivana Hranilović Nikolina Ivačić Marija Ivančić Sanja Kolar HVALA VIKTORIJI…. 3

ISHODI UČENJA: • Učenik/ca: – razlikuje proste i složene prirodne brojeve te broj 1 – efikasno određuje sve djelitelje zadanih brojeva – koristi terminologiju vezanu uz proste brojeve te djelitelje prirodnog broja – jasno i precizno, govornim i matematičkim jezikom (usmeno, pisano, vizualno) izražava ideje, zaključke, rezultate i obrazloženja vezane uz proste brojeve te djelitelje prirodnog broja 4

Zadaće nastavnog sata Obrazovne : – Učenici će znati razlikovati proste i složene brojeve i broj 1 – Jasno , precizno, govornim i matematičkim jezikom ( usmeno , pismeno , vizualno ) izražavat će ideje , zaključke i obrazloženja vezana uz pojam prostog broja 5

Zadaće nastavnog sata • Funkcionalne : – Učenici će razviti vještinu uočavanja i prepoznavanja prostih i složenih brojeva. Razvijat će logično razmišljanje i sposobnost izvođenja pravilnih zaključaka na temelju poznatih činjenica 6

Zadaće nastavnog sata • Odgojne: – Učenici će razvijati vještinu komunikacije u timu te toleranciju prema drugima i različitima 7

UVODNI DIO SATA 5 minuta 8

Uvodni dio sata • Provjera domaće zadaće NL 14 , Tajni zadatak 005 • Najava sata • Ne zapisuje se naslov u bilježnicu 9

SREDIŠNJI DIO SATA 35 minuta 10

AKTIVNOST 1. Uvođenje koncepta prostog broja • Cilj aktivnosti: učenici će, radeći u timu, primjenjujući pravila djeljivosti “otkriti” proste brojeve • Oblik rada: suradničko-timski rad učenika u tri peteročlana tima i jednom šesteročlanom timu 11

AKTIVNOST 1. NL 1 • Potrebni materijal: – nastavni listić broj 1 s tablicom brojeva od 1 do 30 za svakog učenika – svi timovi imaju isti nastavni listić – Nakon uputa , učenici rade samostalno ili u dogovoru u timu – Učiteljica obilazi, provjerava, usmjerava i pomaže 12

NASTAVNI LISTIĆ BROJ 1 ZA SVAKOG UČENIKA 1. Koji od brojeva u tablici ima najmanje djelitelja? Koliko? 2. Koji prirodni broj je djelitelj svakog od brojeva u tablici? 3. Koliko najmanje djelitelja imaju brojevi u tablici koji su različiti od 1? 4. Odredite brojeve u tablici s točno 2 djelitelja. Kojim su brojevima djeljivi ti brojevi? 5. Ispišite sve brojeve u tablici koji imaju više od 2 djelitelja. 13

AKTIVNOST 1. NL 1 • Nakon što je većina učenika ispunila listić slijedi provjera rješenja • Čita po jedan učenik iz svake grupe, učenici se izmjenjuju • Rješenja kao i odgovori se zatim prikažu i putem projekcije 14

ISPUNJENI NASTAVNI LISTIĆ BROJ 1 1. Koji od brojeva u tablici ima najmanje djelitelja? Koliko? Broj 1 ima najmanje djelitelja, samoga sebe. 2. Koji prirodni broj je djelitelj svakog od brojeva u tablici? Broj 1 je djelitelj svakog od brojeva u tablici. 3. Koliko najmanje djelitelja imaju brojevi u tablici koji su različiti od 1? Brojevi u tablici koji su različiti od 1 imaju najmanje 2 djelitelja. 4. Odredite brojeve u tablici s točno 2 djelitelja. Kojim su brojevima djeljivi ti brojevi? To su brojevi 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 i 29. Svaki od njih djeljiv je samo s 1 i sa samim sobom. 5. Ispišite sve brojeve u tablici koji imaju više od 2 djelitelja. To su brojevi 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28 i 30. 15

AKTIVNOST 1. NL 1 Učitelj govori učenicima da na nastavnom listiću broj 1, u prvom stupcu tablice, zaokruže sve brojeve koji imaju točno dva djelitelja. Učenici u timu usporede i provjere zaokružene brojeve u tablici. Rješenje se zatim projicira na ploču. 16

17

AKTIVNOST 2. NL 2 • Uputa učenicima i podjela listića broj 2 • Rad u grupama , učitelj obilazi, učenici u timu diskutiraju i rješavaju nastavni listić broj 2, te donose zaključke 18

NASTAVNI LISTIĆ BROJ 2 ZA SVAKOG UČENIKA 1. Koliko najmanje djelitelja može imati neki prirodni broj? 2. Koji prirodni broj ima najmanje djelitelja? 3. Koliko najmanje djelitelja može imati prirodni broj različit od 1? 4. Kojim je brojevima sigurno djeljiv svaki prirodni broj različit od 1? 5. Koji od prirodnih brojeva u tablici imaju točno 2 djelitelja? 6. Koji od prirodnih brojeva u tablici imaju više od 2 djelitelja? 7. Koji od prirodnih brojeva u tablici ima najviše djelitelja? 19

AKTIVNOST 2. Usmena diskusija u razredu o zajedničkim zaključcima svih timova. Učitelj prikaže ispunjenu tablicu iz nastavnog listića broj 2. 20

ISPUNJENI NASTAVNI LISTIĆ BROJ 2 1. Koliko najmanje djelitelja može imati neki prirodni broj? Prirodni broj može imati najmanje jednog djelitelja. To je broj 1. 2. Koji prirodni broj ima najmanje djelitelja? Broj 1 ima najmanje djelitelja, samoga sebe. 3. Koliko najmanje djelitelja može imati prirodni broj različit od 1? Prirodni broj različit od 1 može imati najmanje 2 djelitelja, broj 1 i samoga sebe. 4. Kojim je brojevima sigurno djeljiv svaki prirodni broj različit od 1? Svaki prirodni broj različit od 1 sigurno je djeljiv s 1 i sa samim sobom. 5. Koji od prirodnih brojeva u tablici imaju točno 2 djelitelja? Prirodni brojevi u tablici koji imaju točno 2 djelitelja su: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 i 29. 6. Koji od prirodnih brojeva u tablici imaju više od 2 djelitelja? Prirodni brojevi u tablici koji imaju više od 2 djelitelja su: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28 i 30. 7. Koji od prirodnih brojeva u tablici ima najviše djelitelja? Brojevi 24 i 30 imaju najviše djelitelja, točno osam. 21

AKTIVNOST 3. Zaključci Učenici dolaze do zaključaka vođeni pitanjima učitelja: Koji broj je djelitelj svakog prirodnog broja ? Broj 1 je djelitelj svakog prirodnog broja. Koliko djelitelja ima svaki prirodni broj? Svaki prirodni broj veći od 1 ima barem dva djelitelja, a to su broj 1 i sam taj broj. 22

AKTIVNOST 3. Zaključci Postoje li brojevi s točno dva djelitelja? Postoje prirodni brojevi s točno dva djelitelja, tj. oni koji su djeljivi samo s 1 i samim sobom. Postoje li prirodni brojevi koji imaju više od dva djelitelja? Postoje prirodni brojevi koji su, osim s 1 i samim sobom, djeljivi još nekim prirodnim brojem. 23

AAKTIVNOST 3. Zaključci Učitelj pita: Koji su brojevi jednostavniji, a koji složeniji? Kako biste nazvali brojeve s točno dva djelitelja? A kako one s više od dva djelitelja? 24

AKTIVNOST 3. Zapis naslova i zaključaka Prosti i složeni brojevi ( obrada ) Prirodni brojevi koji imaju točno dva djelitelja zovu se PROSTI BROJEVI. Prirodni brojevi koji imaju više od dva djelitelja zovu se SLOŽENI BROJEVI. Broj 1 ima samo jednog djelitelja. Taj broj nije ni prost, niti složen. 25

AKTIVNOST 4. Zadatci • Rješavanje zadataka na bijeloj ploči i u bilježnicu , slajd 8 26

Zadatak: Za svaki od navedenih brojeva na trkaćim automobilima odredi sve njegove djelitelje i zaključi je li broj prost ili složen. 56 47 72 36 31 59 27

Rješenje. 56 Svi djelitelji broja 56 su: 1, 2, 14, 28, 7, 4, 56. Dakle, broj 56 je složen jer ima više od dva djelitelja. 72 Svi djelitelji broja 72 su: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72. Dakle, broj 72 je složen jer ima više od dva djelitelja. 47 Svi djelitelji broja 47 su: 1, 47. Dakle, broj 47 ima točno dva djelitelja pa je prost. 28

Rješenje. 36 Svi djelitelji broja 36 su: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36. Dakle, broj 36 je složen jer ima više od dva djelitelja. Svi djelitelji broja 31 su: 1, 31. 31 Dakle, broj 31 ima točno dva djelitelja pa je prost. Svi djelitelji broja 59 su: 1, 59. 59 Dakle, broj 59 ima točno dva djelitelja pa je prost. 29

Pitanje… Je li bilo lako odrediti jesu li navedeni brojevi prosti ili složeni? 30

Uočimo… Nije lako “pješke” određivati je li neki broj prost. Dolazimo do pitanja postoji li neki brži način određivanja prostih brojeva. 31

Eratostenovo sito Odgovor na postavljeno pitanje dao je grčki mudrac Eratosten, koji je živio oko 200. godine prije Krista. 2 5 3 6 7 12 21 32

Eratostenovo sito Po njemu se taj postupak i danas naziva Eratostenovo sito. 2 5 3 6 7 12 21 33

AKTIVNOST 5. Eratostenovo sito • Cilj aktivnosti: učenici će individualno, Eratostenovim sitom, odrediti proste brojeve u nizu brojeva od 1 do 100 • Oblik rada: individualni rad učenika uz vođenje nastavnika • Potrebni materijal: tablica s brojevima od 1 do 100 za svakog učenika 34

AKTIVNOST 5. Eratostenovo sito • Veza s kurikulumom: – učenik/ca primjenjuje osnovna svojstva prirodnih brojeva i pravila djeljivosti (brojevi) – učenik/ca uspostavlja veze i odnose među matematičkim objektima, idejama, pojmovima, i postupcima te oblikovati cjeline njihovim nadovezivanjem (povezivanje) – učenik/ca uspoređuje, grupira i klasificira objekte i pojave prema određenom kriteriju (povezivanje) – učenik/ca obrazlaže odabir matematičkih postupaka (logičko mišljenje, argumentiranje i zaključivanje) 35

AKTIVNOST 5. Eratostenovo sito TABLICA PRIRODNIH BROJEVA OD 1 DO 100 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 36

AKTIVNOST 5. Eratostenovo sito • Tijek aktivnosti: – na početku kažemo učenicima da im je cilj brzo zaokružiti sve proste brojeve u dobivenoj tablici, a ostale brojeve prekrižiti – vodimo ih pitanjima i potičemo na zaključivanje 37

AKTIVNOST 5. Eratostenovo sito • Počinjemo od prvog broja u tablici. Kakav je broj 1? Broj 1 nije ni prost ni složen. • Učenici ga ostave nezaokruženog. 38

AKTIVNOST 5. Eratostenovo sito • Koji je sljedeći broj u tablici? Je li taj broj prost ili složen? Zašto? To je broj 2. On je prost broj jer ima točno dva djelitelja. To su 1 i 2. • Učenici zaokruže broj 2 u tablici, a zatim sve višekratnike broja 2 prekriže jer su oni složeni brojevi. 39

AKTIVNOST 5. Eratostenovo sito • Koji je sljedeći broj u tablici koji nije zaokružen i prekrižen? Je li taj broj prost ili složen? Zašto? To je broj 3 i on je prost broj jer ima točno dva djelitelja. To su 1 i 3. • Učenici zaokruže broj 3, a zatim sve višekratnike broja 3 prekriže. 40

AKTIVNOST 5. Eratostenovo sito • Analognim postupkom nastavljamo dalje. Učenici križaju višekratnike broja 5, 7, … • Na kraju, u tablici su zaokruženi samo prosti brojevi. 41

AKTIVNOST 5. Eratostenovo sito • Diskusija Kakvi su svi zaokruženi brojevi? Svi zaokruženi brojevi su prosti. Kakvi su svi precrtani brojevi? Svi precrtani brojevi su složeni. Čemu nam služi prethodni postupak (“Eratostenovo sito”)? Za brzo određivanje prostih i složenih brojeva. 42

AKTIVNOST 5. Eratostenovo sito • Zaključak: Svi prosti brojevi u nizu od 1 do 100 su: 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 43

ZAVRŠNI DIO SATA 5 minuta 44

AKTIVNOST ZA PONAVLJANJE: AKTIVNOST 6. IGRA Dan - noć • Cilj aktivnosti: učenici će, igrajući se, uvježbati prepoznavanje prostih i složenih brojeva do 100 • Oblik rada: zajednička aktivnost za cijeli razred 45

• Potreban materijal: – niz od prvih 100 prirodnih brojeva (za učitelja) – zaokruženi brojevi su prosti 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 46

• Tijek aktivnosti: – na početku aktivnosti, svi učenici stoje – ako učitelj izgovori prost broj, učenici trebaju čučnuti – ako učitelj izgovori složeni broj ili broj 1, učenici trebaju ustati ( ostati stajati ) – tko pogriješi, ispada iz igre ( sjedne) – upute treba napisati na ploču kako bi učenici u svakom trenutku znali što im je činiti nakon izgovorenog broja – aktivnost se treba odvijati u brzom tempu – učitelj ne izgovara brojeve po redu, već na preskokce 47

ZADAVANJE DOMAĆE ZADAĆE • Udžbenik str. 117. zadaci 128. - 133. 48

Literatura: Knjige: 1. Tajni zadatak 005 - 1. dio udžbenik sa zbirkom zadataka iz matematike za peti razred osnovne škole; Svedrec, Renata; Radović, Nikol; Soucie, Tanja; Kokić, Ivana; Zagreb 2006. Školska knjiga 2. Matematika 5 – udžbenik; Piton, Kuliš, Matić, Zvelf, Zagreb 2014. Školska knjiga 49

50