Masalah Aliran Maksimal Teori Optimasi Masalah Aliran Maksimal

Masalah Aliran Maksimal Teori Optimasi

Masalah Aliran Maksimal Contoh : Distribusi BBM dari 3 kilang penyulingan ke 3 distributor kilang Ø Asumsi : Kapasitas pipa terbatas Kapasitas pompa terbatas Panjang pipa terbatas ØKapasitas pipa ketahanan pipa mampu menampung 500 drum per jam ØKapasitas pompa mampu mengalirkan 500 drum per jam Misal Cij adalah kapasitas pipa untuk aliran dari pompa i ke j = kapasitas pompa (catatan : kilang penyulingan brp pompa) arah : satu / dua arah Cij = kapasitas pompa untuk aliran dari j ke i

Metode Penyelesaian Algoritma aliran maksimal berlaku untuk pengiriman dari satu sumber dan satu tujuan. Contoh soal : Iterasi 1 : Ø Langkah 1 Tentukan label tabel 1 dengan [∞, Label (aj, i) aj = Kapasitas dari i ke j titik 1: Label [∞, -] -] 1 2 3 4 5 1 - 20 30 10 - 2 0 - 40 3 0 0 - 4 0 - 5 - 20 5 - 0 0 0 - - 30 10 20

Ø Ø Langkah 2 Menentukan himpunan titik yang terdiri dari i, i=1 dari titik 1 S 1 = {2, 3, 4} Langkah 3 Tentukan ukuran k S 1 shg : cik = max{Cij} j S 1 Dimana Cij adalah residu (sisa) kapasitas untuk i = 1 = cij = Cij awal residu awal c 14 = C 14 = 10 c 13 = C 13 = 30 c 12 = C 12 = 20 k = 3 karena C 13 = 30 max dari {c 14, c 13, c 12} i = 3 a 3 = 30 label titik 3 [30, 1]

Langkah 4 (kembali ke langkah 2) Dari titik 3 S 3 = {4, 5} c 34 = C 34 = 10 c 35 = C 35 = 20 k = 5 karena C 35 = 20 max dari {c 34, c 35} i = 5 a 5 = 20 label titik 5 [20, 3] Jalur terpilih 1[1, 3, 5] dg max aliran f 1=min {a 1, a 3, a 5} = min {∞, 30, 20} = 20 Sisa kapasitas : c 13 = 30 - 20 = 10 (pengurangan) c 31 = 0 + 20 = 20 c 35 = 20 – 20 = 0 c 53 = 0 + 20 = 20 Ø

Iterasi 2 : Jaringan Residu : Ø Ø Ø Langkah 1 Tentukan label tabel 1 dengan [∞, -] Label (aj, i) aj = Kapasitas dari i ke j titik 1: Label [∞, -] Langkah 2 Menentukan himpunan titik yang terdiri dari i, i=1 dari titik 1 S 1 = {2, 3, 4} Langkah 3 Tentukan ukuran k S 1 shg : cik = max{Cij} c 12 = C 12 = 20 c 13 = C 13 = 10 c 14 = C 14 = 10 k = 2 karena C 12 = 20 max dari {c 12, c 13, c 14} i = 2 a 2 = 20 label titik 2 [20, 1]

Ø Ø Langkah 4 (kembali ke langkah 2) Dari titik 2 S 2 = {3, 5} c 23 = C 23 = 40 c 25 = C 25 = 30 k = 3 karena C 23 = 40 max dari {c 23, c 35} i = 3 a 3 = 40 label titik 3 [40, 2] Langkah 5 (kembali ke langkah 2) Dari titik 3 S 3 = {4} § Karena titik 1 sudah berlabel § Titik 5, kapasitas=0 c 34 = C 34 = 10 k = 4 karena C 34 = 10 i = 4 a 4 = 10 label titik 4 [10, 3]

Langkah 6 (kembali ke langkah 2) Dari titik 4 S 4 = {5} c 45 = C 45 = 20 k = 5 karena max dari C 45 = 20 i = 5 a 5 = 20 label titik 5 [20, 4] Jalur terpilih 2 [1, 2, 3, 4, 5] dg max aliran f 2=min {a 1, a 2, a 3, a 4, a 5} = min {∞, 20, 40, 10, 20} = 10 Sisa(Residu) kapasitas : c 12 = 20 -10 = 10 c 21 = 0 +10 = 10 c 23 = 40 -10 = 30 c 32 = 0 +10 = 10 c 34 = 10 -10 = 0 c 43 = 5 +10 = 15 c 45 = 20 -10 = 10 c 54 = 0 +10 = 10 Ø

Iterasi 3 : Jaringan Residu : Ø Ø Ø Langkah 1 Tentukan label tabel 1 dengan [∞, -] Label (aj, i) aj = Kapasitas dari i ke j titik 1: Label [∞, -] Langkah 2 Menentukan himpunan titik yang terdiri dari i, i=1 dari titik 1 S 1 = {2, 3, 4} Langkah 3 Tentukan ukuran k S 1 shg : cik = max{Cij} c 12 = C 12 = 10 c 13 = C 13 = 10 c 14 = C 14 = 10 k = 4 karena C 14 = 10 max dari {c 12, c 13, c 14} i = 4 a 4 = 10 label titik 4 [10, 1]

Ø Ø Langkah 4 (kembali ke langkah 2) Dari titik 4 S 4 = {3, 5} c 43 = 15 c 45 = 10 k = 3 karena c 43 = 15 max dari {c 43, c 45} i = 3 a 3 = 10 label titik 3 [15, 4] Langkah 5 (kembali ke langkah 2) Dari titik 3 S 3 = {2} § Karena titik 1 sudah berlabel § Titik 5, kapasitas=0 c 32 = 10 k = 2 karena C 32 = 10 i = 2 a 2 = 10 label titik 2 [10, 3]

Langkah 6 (kembali ke langkah 2) Dari titik 2 S 2 = {5} c 25 = 30 k = 5 karena max dari C 25 = 30 i = 5 a 5 = 30 label titik 5 [30, 2] Jalur terpilih 3 [1, 4, 3, 2, 5] dg max aliran f 3=min {a 1, a 4, a 3, a 2, a 5} = min {∞, 10, 15, 10, 30} = 10 Sisa/Residu kapasitas : c 14 = 10 -10 = 0 c 41 = 0 +10 = 10 c 43 = 15 -10 = 5 c 34 = 0 +10 = 10 c 32 = 10 -10 = 0 c 23 = 30 +10 = 40 c 25 = 30 -10 = 20 c 52 = 0 +10 = 10 Ø

Iterasi 4 : Jaringan Residu : Ø Ø Ø Langkah 1 Tentukan label tabel 1 dengan [∞, -] Label (aj, i) aj = Kapasitas dari i ke j titik 1: Label [∞, -] Langkah 2 Menentukan himpunan titik yang terdiri dari i, i=1 dari titik 1 S 1 = {2, 3} Langkah 3 Tentukan ukuran k S 1 shg : cik = max{Cij} c 12 = C 12 = 10 c 13 = C 13 = 10 k = 4 karena C 13 = 10 max dari {c 12, c 13} i = 3 a 3 = 10 label titik 3 [10, 1]

Langkah 4 (kembali ke langkah 2) Dari titik 3 S 3 = {4} c 34 = 10 k = 3 karena max dari c 34 = 10 i = 4 a 4 = 10 label titik 4 [10, 3] Ø Langkah 5 (kembali ke langkah 2) Dari titik 4 S 4 = {5} Ø § Karena titik 1 sudah berlabel c 45 = 10 k = 5 karena C 45 = 10 i = 5 a 5 = 10 label titik 5 [10, 4]

Jalur terpilih 4 [1, 3, 4, 5] dg max aliran f 4=min {a 1, a 3, a 4, a 5} = min {∞, 10, 10} = 10 Sisa/Residu kapasitas : c 13 = 10 -10 = 0 c 31 = 20 +10 = 30 c 34 = 10 -10 = 0 c 43 = 5 +10 = 15 c 45 = 10 -10 = 0 c 54 = 10 +10 = 20

Iterasi 5 : Jaringan Residu : Ø Ø Ø Langkah 1 Tentukan label tabel 1 dengan [∞, -] Label (aj, i) aj = Kapasitas dari i ke j titik 1: Label [∞, -] Langkah 2 Menentukan himpunan titik yang terdiri dari i, i=1 dari titik 1 S 1 = {2} Langkah 3 Tentukan ukuran k S 1 shg : cik = max{Cij} c 12 = C 12 = 10 k = 2 karena C 12 = 10 max dari {c 12} i = 2 a 2 = 10 label titik 2 [10, 1]

Ø Ø Langkah 4 (kembali ke langkah 2) Dari titik 2 S 2 = {3, 5} c 23 = 40 c 25 = 20 k = 3 karena max dari {c 23, c 25} = 40 i = 3 a 3 = 40 label titik 3 [40, 2] Langkah 5 (kembali ke langkah 2) Dari titik 3 S 3 = {2} § Karena titik 1 sdh diberi label § Karena semua tujuan cij=0 c 32 = 0 k = 2 karena C 32 = 0 i = 2 a 2 = 0 label titik 2 [0, 3]

Langkah 6 (kembali ke langkah 2) Dari titik 2 S 2 = {5} c 25 = 20 k = 5 karena max dari C 25 = 20 i = 5 a 5 = 20 label titik 5 [30, 2] Jalur terpilih 5 [1, 2, 3, 2, 5] dg max aliran f 5=min {a 1, a 2, a 3, a 2, a 5} = min {∞, 10, 40, 0, 20} = 10 Sisa/Residu kapasitas : c 12 = 10 -10 = 0 c 21 = 10 +10 = 20 c 25 = 20 -10 = 10 c 52 = 10 +10 = 20 Ø

Iterasi 6 : Jaringan Residu : Jalur Maksimum : ftotal = f 1 + f 2 + f 3 + f 4 + f 5 = 20 + 10 = 60