INSTITUTO TECNOLGICO DE AERONUTICA Diviso de Engenharia Aeronutica

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE AERONÁUTICA _______________________ Divisão de Engenharia Aeronáutica _______________________ Departamento de Mecânica do Vôo _______________________ Prof. Pedro Paglione paglione@ita. br AB-267 Dinâmica e Controle de Aeronaves Flexíveis Prof. Paglione 2007 / sala 2436

AB-267 : Dinâmica e Controle de Aeronaves Flexíveis 4. As Forças Generalizadas • Forças Generalizadas - Princípio dos Trabalhos Virtuais: onde: coordenada generalizada trabalho

AB-267 : Dinâmica e Controle de Aeronaves Flexíveis Forças Aplicadas (ref. no corpo) • L = sustentação • D = arrasto • S = força lateral • a = ang. ataque • b = ang. derrapagem Ref. ao sistema fixo no corpo componentes propulsivas

AB-267 : Dinâmica e Controle de Aeronaves Flexíveis Princípio dos Trabalhos Virtuais Momento com relação ao origem do sistema inercial. Trabalho virtual realizado pelas forças aerodinâmicas, em relação ao sistema inercial é dado por: Parcela ref. ao avião elástico

AB-267 : Dinâmica e Controle de Aeronaves Flexíveis Princípio dos Trabalhos Virtuais (cont) • Trabalho realizado pelas forças de pressão devido aos deslocamentos virtuais de cada coordenada generalizada elástica. • O conjunto de relações ao lado representa as rotações virtuais em relação a cada eixo do referencial no corpo, relacionando-as aos ângulos de Euler, que referenciam o corpo em relação ao referencial inercial Aplicando : Á relação que define o trabalho virtual, chega-se -as equações de movimento:

AB-267 : Dinâmica e Controle de Aeronaves Flexíveis Eq. do Movimento do Avião Elástico • • Equações já simplificadas (ver Ex. 2. 1), considerando "i" coordenadas generalizadas modais, desconsiderando o amortecimento da estrutura. Note que:

AB-267 : Dinâmica e Controle de Aeronaves Flexíveis Carregamento Aerodinâmico • • • Resta-nos identificar o carregamento aerodinâmico, o qual pode ser através de diversas modelos aerodinâmicos. Como exemplo, vamos empregar a Teoria da Faixas, Assumese que uma superfície de sustentação é dividida em faixas, e para cada seção típica calcula-se o escoamento bidimensional. O carregamento total sobre a superfície de sustentação é obtido através da integração (soma) das contribuições de cada faixa individualmente, desconsiderando qualquer efeito de interferência aerodinâmica entre as faixas. O carregamento total é obtido uma vez que é conhecido um determinado modo de movimento da superfície, para o qual deseja-se calcular o carregamento. (carregamento aerodinâmico generalizado) A priori, imagina-se que o carregamento é devido a deslocamentos físicos, os quais são decompostos nos graus de liberdade de uma seção típica.

AB-267 : Dinâmica e Controle de Aeronaves Flexíveis Teoria das Faixas

AB-267 : Dinâmica e Controle de Aeronaves Flexíveis Seção Típica • • "Fatia" de uma da asa, com espessura finita e corda constante, a partir de onde pode-se calcular a área em planta da seção (pl. x-y); Note que usualmente o sistema de referência é diferente do sistema de coordenadas usualmente empregado em aerodinâmica e aeroelasticidade (eixos "x" e "z" diferentes do sistema de coordenadas aerodinâmico);

AB-267 : Dinâmica e Controle de Aeronaves Flexíveis Carregamento da Seção Típica ngulo de ataque do veículo incidência da seção Devido ao movto. corpo rígido Devido ao movto. corpo elástico

AB-267 : Dinâmica e Controle de Aeronaves Flexíveis Carregamento sobre o veículo Teoria das Faixas • O carregamento sobre o veículo pode ser decomposto entre fuselagem (fus), asas e empenagens (emp). • As superfícies de sustentação (asas, empenagems horizontal e vertical) podem ser modeladas pela teoria das faixas. • Por outro lado, a fuselagem usualmente é modelada por métodos de painéis, de onde se obtem as derivadas de estabilidade associadas aos movimentos característicos do corpo isolado (inclusive modais)

AB-267 : Dinâmica e Controle de Aeronaves Flexíveis Carregamento sobre a asa flexível • Vamos nos concentrar em um primeiro momento no estudo da asa flexível, e sujeita a movimento de corpo rígido • Note que a expressão para o ângulo da ataque da seção típica que discretiza asa por faixas considera a contribuição em ângulo de ataque resultante dos deslocamentos e velocidades associadas ao seu comportamento de corpo rígido.

AB-267 : Dinâmica e Controle de Aeronaves Flexíveis Carregamento sobre a asa flexível • Uma vez que somente iremos avaliar o carregamento sobre a asa flexível vamos simplificar nossas eqauções de forma que: Lembrando que :

AB-267 : Dinâmica e Controle de Aeronaves Flexíveis Contribuição dos modos • Resta-nos agora calcular os termos : e • Dado: • Note que a contribuição do movimento elástico está contribuindo para os esforços globais da asa.

AB-267 : Dinâmica e Controle de Aeronaves Flexíveis Coeficientes - Forças • Os coeficientes da relação para as forças atuantes na asa, por exemplo, são definidos como:

AB-267 : Dinâmica e Controle de Aeronaves Flexíveis Coeficientes - Momentos • Os coeficientes da relação para os momentos atuantes na asa, por exemplo, são definidos como:

AB-267 : Dinâmica e Controle de Aeronaves Flexíveis Esforços Generalizados • No que até agora calculamos os esforços globais na asa, faltando ainda responder a seguinte questão: • Também do princípio dos trabalhos virtuais pode-se obter:

AB-267 : Dinâmica e Controle de Aeronaves Flexíveis Esforços Generalizados (cont. ) • Aqui vamos assumir a hipótese que: • Isto simplifica io desenvolvimento e representa a idéia de que os termos em azul: • • são pequenos uma vez que o nosso contexto de análise é de pequenas perturbações. Assim o carregamento generalizado devidos às coordenadas generalizadas elásticas é dado aproximadamente por: onde:

AB-267 : Dinâmica e Controle de Aeronaves Flexíveis Coef. de Esforços Generalizados

AB-267 : Dinâmica e Controle de Aeronaves Flexíveis Coef. de Esforços Generalizados Onde: E os demais coeficientes tipo “Bi” e “Ci” são obtidos de forma análoga, observando como cada um deles é definido.

AB-267 : Dinâmica e Controle de Aeronaves Flexíveis Forças atuantes

AB-267 : Dinâmica e Controle de Aeronaves Flexíveis Modelo de Theodorsen • Assume-se que a seção típica pode possuir três graus de liberdade (3 gdl): Movimento vertical ngulo de ataque Deflexão do comando OBS: Devemos tomar cuidado com o sistema de referência adotado por Theodorsen, os eixos "x" e "z" estão em sentido contrário! +z Figura originalmente extraída de NACA Rept 496, T. Theodorsen

AB-267 : Dinâmica e Controle de Aeronaves Flexíveis Equações de Theodorsen (2 gdl) caso estacionário; • onde: c = 2 b é a corda da seção típica, r é a densidade do fluido, e Cl é a derivada de sustentação da seção típica. No caso da placa plana este resultado deve ser 2 p.

AB-267 : Dinâmica e Controle de Aeronaves Flexíveis ngulo de Ataque Efetivo • No caso não estacionário, pode-se rearranjar os termos circulatórios colocando a velocidade do escoamento não perturbado em evidência, chegando-se claramente à expressão para o ângulo de ataque efetivo: • Este ângulo de ataque representa bem como o carregamento de origem circulatória (responsável pela sustentação em escoamento não perturbado) é dependente de todos velocidades e deslocamentos associados aos graus de liberdade. E a ação da função de deficiência de sustentação é evidente, ou seja, altera a amplitude e a fase do carregamento por esta ser uma função complexa. •

AB-267 : Dinâmica e Controle de Aeronaves Flexíveis Relação com Theodorsen Deslocamento normal (z) associado ao modo de movimento O ângulo de ataque é representado pela derivada de “h” em “x”, porém no modelo de Theodorsen, esta informação é representada por “a”.

AB-267 : Dinâmica e Controle de Aeronaves Flexíveis Relação com Theodorsen (cont) • • • O modelo apresentado até agora pode ser classificado como um modelo quasi-estacionário, pois os deslocamentos associados aos graus de liberdade da seção típica são exclusivamente velocidade no plano normal e a velocidade associada, e ângulo de ataque associado ao movimento modal, resultante da combinação da velocidade vertical com a velocidade na direção do vôo. Desta forma, pode-se notar que os coeficientes do conjunto de equações anteriores podem ser escrito exclusivamente como uma função de , a qual é uma característica do aerofólio e pode variar de acordo com os efeitos de tridimensionalidade do escoamento; Porém vamos relacionar o modelo de Theodorsen com o modelo até entâo empregado:

AB-267 : Dinâmica e Controle de Aeronaves Flexíveis Relação com Theodorsen (cont) • • • Os efeitos de massa aparente podem ser desprezados, principalmente neste caso, quando se estuda a dinâmica do vôo da aeronave flexível, pois as frequências de movimento usualmente são baixas. O último termo entre colchetes é o ângulo de ataque efetivo, e pode-se notar que o mesmo é função também da derivada temporal do ângulo de ataque; Comparando o ângulo de ataque efetivo como foi apresentado com o ângulo de ataque efetivo na formulação de Theodorsen temos:

AB-267 : Dinâmica e Controle de Aeronaves Flexíveis Comprimentos de Referência • Note que:

AB-267 : Dinâmica e Controle de Aeronaves Flexíveis Associação com Theodorsen • Assumindo que o centro aerodinâmico encontra-se a ¼ da corda: • Portanto: • Ou seja, o termo “a mais” refere-se a contribuição da derivada do ângulo de ataque em relação ao tempo.

AB-267 : Dinâmica e Controle de Aeronaves Flexíveis Efeitos Não Estacionários • Retornando para a representação empregada para o avião elástico:

AB-267 : Dinâmica e Controle de Aeronaves Flexíveis Efeitos Não Estácionários (cont) • E portanto: • e:

AB-267 : Dinâmica e Controle de Aeronaves Flexíveis Efeitos Não Estácionários (cont) • Derivadas temporais: • E o mesmo desenvolvimento pode ser repetido para o momento. E os demais coeficientes tipo “Bi” e “Ci” são obtidos de forma análoga, observando como cada um deles é definido.

AB-267 : Dinâmica e Controle de Aeronaves Flexíveis Comentários • • • Note que os termos não estacionários agora estão mais completos, pois o ângulo de ataque efetivo, obtido de acordo com o desenvolvimento de Theodorsen, é ponderado pela função C(k); Lembre-se que os efeitos de massa aparente foram desprezados. Uma vez que a contribuição não estacionária agora é representada de forma mais completa, o nosso modelo será capaz de representar fenômenos aeroelásticos onde a participação do atraso aerodinâmico pode ser importante; Um exemplo seria o próprio flutter que pode ocorrer a partir da coalescência entre modos de corpo rígido e modos elástico de baixa frequência. Esta coalescência ocorre pela “facilitação”de transferência de energia entre modos, através do efeito do atraso aerodinâmico. Como exemplo de uma possível coalescência, imaginemos o modo de curto período coalescendo com o primeiro modo de flexão simétrica das asas de um A-380.

AB-267 : Dinâmica e Controle de Aeronaves Flexíveis Tempo X Frequência • • Porém, resta-nos agora entender como vamos considerar a função de Theodorsen, definida no domínio da frequência, neste contexto onde as equações estão escritas no domínio do tempo. Note que, agrupando os termos semelhantes (vide slide 19): • e que; • onde os coeficientes associados aos modos são os redefinidos considerando a variação do ângulo de ataque com o tempo.

AB-267 : Dinâmica e Controle de Aeronaves Flexíveis Tempo X Frequência (cont) • • Pode-se obter agora o conjunto de forças atuantes no veículo elástico representando também os efeitos não estacionários associado ao atraso aerodinâmico; Entretanto, a formulação passou a ser dependente da frequência reduzida. Para a solução do problema de flutter, o qual consiste em avaliar a estabilidade do sistema aeroelástico, dada a variação de um parâmetro de referência, pode-se transformar todas as equações para o domínio de frequência e empregar uma técnica padrão de solução do problema de flutter (ex. Método K). Entretanto, pode-se avaliar a estabilidade deste mesmo sistema representando-o no espaço de estados; Pode-se aplicar uma transformada de Laplace e representar o sistema no plano complexo; Para isto requer-se que a função de Theodorsen seja aproximada por funções racionais na variável de Laplace. O motivo desta funções serem racionais é a necessidade de se quantificar o atraso aerodinâmico.

AB-267 : Dinâmica e Controle de Aeronaves Flexíveis Tempo X Frequência (cont) • • A tarefa não é elementar uma vez que a frequência reduzida depende da corda de cada faixa empregada para discretizar a asa, sendo assim necessário aproximar uma função de Theodorsen para cada faixa, supondo também um conjunto de frequências reduzidas locais para cada faixa. Dentre algumas aproximações por funções racionais, pode-se citar o método de Roger (ref. ) onde se usa polinômios de Padé (Ver Karpel, e Vepa); ou mesmo a forma clássica já aproximada de R. T. Jones (NACA Rept 681). Isto tudo para se resolver o problema empregando a teoria das faixas! Portanto é desejável que se recorra a métodos mais adequados para resolver o problema aerodinâmico não estacionário, tais como os métodos de painéis do tipo “Doublet Lattice” (DLM)

AB-267 : Dinâmica e Controle de Aeronaves Flexíveis Método Doublet Lattice • • O método Doublet Lattice é um método de painéis baseado em soluções elementares da equação do potencial aerodinâmico linearizado, na forma nõa estacionária. As soluções elementares sâo representadas por painéis dispostos sobre a superfície a ser modelada.

AB-267 : Dinâmica e Controle de Aeronaves Flexíveis Método Doublet Lattice • A forma de se resolver o problema de calcular o carregamento aerodinâmico não estacionário empregando este método consiste em estabelecer primeiramente condições de contorno que caracterizam o movimento da superfície a ser modelada: (é o que se emprega no DLM) associado as condições de contorno

AB-267 : Dinâmica e Controle de Aeronaves Flexíveis Método Doublet Lattice • • Ou seja, a forma como é apresentada por Waszac está bem relacionada como é estabelecida a condição de contorno no DLM. Relação entre a pressão e o downwash é ada pela sistema de equações: Note que o DLM é desenvolvido no domínio da frequência !

AB-267 : Dinâmica e Controle de Aeronaves Flexíveis Carregamento aerodinâmico • Relação entre a pressão, a condição de contorno, e o carregamento: • Como a formulação das equações de movimento para aeronave flexível é função do tempo, deveremos transformar o nosso modelo aerodinâmico.

AB-267 : Dinâmica e Controle de Aeronaves Flexíveis Carregamento Generalizado • O vetor de forças generalizadas: • Mas o nosso vetor de forças generalizadas era:

AB-267 : Dinâmica e Controle de Aeronaves Flexíveis Transformação para o tempo • Aplicando a inversa da transformada de Laplace (L) ao termo no domínio da frequência:

AB-267 : Dinâmica e Controle de Aeronaves Flexíveis Transformação para o tempo • Para que o lado direito seja Laplace-transformável (inversão), devemos aproximar os coeficientes generalizados por polinômios de Padé: • Uma vez temos uma função comtínua representando a aerodinâmica não estacionária, pode-se transformar para o domínio do tempo. Note que : sendo "s" a variável complexa de Laplace. •