GENLER GEN ETLER EKENAR GEN KZKENAR GEN DK

ÜÇGENLER

ÜÇGEN ÇEŞİTLERİ • EŞKENAR ÜÇGEN • İKİZKENAR ÜÇGEN • DİK ÜÇGEN

EŞKENAR ÜÇGEN TANIM : Üç kenarı eş olan üçgene eşkenar üçgen denir. Yandaki şekilde ABC üçgeninde; [AB] = [AC] = [BC] = a olduğundan ABC eşkenar üçgendir. Eşkenar Üçgende Özellikler : 1) iç açıları eşittir. 2) Dış açıları eşittir. 3) Her köşeden çizilen yükseklik, içaçıortya ve kenarortay eşiet olup çakışıktırlar. Ayrıca her köşeden çizilen yükseklikler eş olduğundan sonuç olarak ; h = h =Va=Vb=Vc= A = B = C olup herbiri h ile gösterilir.

4) Eşkenar üçgenin her yüksekliği bir simetri eksenidir. 5) Bir kenarının uzunluğu a birim olan eşkenar bir üçgenin ; Yüksekliği : h = a birimdir. Çevresi : Ç = 3 a birimdir. 6) Yükseklikler, kenar orta dikmeleri, içaçıortaylar ve kenarortayları çakışık olduğundan; Diklik merkezi, Çevrel çemberin merkezi, İç teğet çemberin merkezi ve ağırlık merkezi aynı nokta olup yüksekliklerin kesim noktasıdır.

ABC üçgeninde ; G noktası, ağırlık merkezidir, iç teğet İç teğet çemberin merkezidir, çevrel Çemberin merkezidir ve diklik Merkezidir. [AD] = [BE] = [CF] =h olmak üzere; B C Çevrel çemberin yarı çapı : [GA] = [GB] = [GC] = R = 2 h tür. İç teğet çemberin yarıçapı: [GD] = [GE] = [GF] = r = h tür. [GA] = 2. [GD] olduğundan dir.

İKİZKENAR ÜÇGEN • İki kenarı eş olan üçgene ikizkenar üçgen denir. Diğer kenara taban, tabanı içine alan açılara taban açıları ve eş kenarların kesiştiği noktaya tepe denir • İkizkenar Üçgende Özellikler : • 1)Taban açıları eştir. Üçgende m. B = m. C dir. 2)Tabana ait yüksekli tabanı ve tepe açısını iki eş parçaya böler. O halde tabana ait yükseklik, kenarortay ve içaçıortay çakışıktır.

• 3)Tabana ait yükseklik üçgen'inin simetri eksenidir. Şekildeki üçgenin simetri ekseni [AH] doğru parçasıdır. NOT : Geometrik bir şekil bir doğru üzerinde kaplandığında tam olarak çakışıp üste geliyorsa katlanma doğrusuna simetri ekseni denir. 4)Eş iki kenara ait yükseklikler eştir. Şekildeki üçgende IBPI = ICRI veya h = h dir. 5)Eş iki kenara ait kenar ortaylar eştir. Şekildeki üçgende; IBDI = ICEI veya Vb = Vc dir. 6)Eş iki açıyra ait iç ortaylar eştir. Şekildeki üçgende; IBFI =ICKI veya B = C dir. 7)İkizkenar bir üçgenin tabanı üzerinde

DİK ÜÇGEN • Dik üçgen, iç açılarından biri 90° olan üçgendir. Çemberde çapı gören çevre açı 90°'dir. Bir dik üçgende kenarlar arasında a 2 = b 2 + c 2 bağıntısı vardır. Pisagor Teoremi Pisagor teoremi, herhangi bir dik üçgende kenarlar arasındaki bağıntıya verilen addır. Bu bağıntıya göre, dik kenarların karelerinin toplamı, hipotenüsün karesine eşittir. Öklid Bağıntıları Ana madde: Öklid Bağıntıları, bir dik üçgende hipotenüse indirilen dikme sonucunda oluşan dik üçgenler arasındaki çeşitli benzerliklerden çıkan bağıntılara verilen isimdir. Örneğin indirilen dikmenin karesi, hipotenüsün dikme tarafından ayrılan parçalarının çarpımına eşittir.

• Özel Dik Üçgenler Açıya Göre İkizkenar dik üçgen 45 -45 -90 Üçgeni 45 -45 -90 üçgeni bir ikizkenar dik üçgendir. Üçgenin dik kenarları birbirine eşit ve hipotenüsü dik kenarların katıdır. Oran aşağıdaki gibidir: İspatı ise çok basittir. Bir dik kenara 1 cm denilirse, ikizkenarlıktan dolayı diğer dik kenar da 1 cm olmak zorundadır. Pisagor Teoremi'nden de hipotenüs çıkar.

• 30 -60 -90 Üçgeni 30 -60 -90 üçgeni ve ispatı Açıları 30 -60 -90 olan bir dik üçgende hipotenüs, 30°'nin karşısındaki kenar ve 60°'nin karşısındaki kenar arasında sırasıyla aşağıdaki oran vardır: Yani 30°'nin karşısındaki kenar hipotenüsün yarısı ve 60°'nin karşısındaki kenar da 30°'nin karşısındaki kenarın katıdır. İspatı ise eşkenar üçgen vasıtasıyla yapılır. Kenarları 2 cm olan bir eşkenar üçgende köşeden indirilen dikme kenarı iki eş parçaya bölecektir. Aynı zamanda da açıortay olacaktır. Kenarortay olduğu için oluşan dik üçgenin alt dik kenarı 1 cm olacaktır. Açıortay olduğu için de dik üçgenin bir açısı 30° olacaktır. Eşkenar üçgenin bir kenarı, oluşan dik üçgenin hipotenüsü olacağından yapılacak Pisagor bağıntısı ile de indirilen dikme cm bulunacaktır. 22, 5 -67, 5 -90 Üçgeni Bu üçgende ise 22, 5°'lik açının karşısındaki dik kenar 1 cm ise, 67, 5 cm'lik kenarın karşısındaki kenar cm olur. İspatı ise 67, 5°'lik açıyı 45° ve 22, 5° şeklinde parçalayarak yapılır. Bu şekilde altta oluşan ikizkenar dik üçgende alt dik kenar 1 cm olursa hipotenüs cm olur. Yukarıda oluşacak ikizkenar üçgende de parçalanan kenarın diğer üst tarafı hipotenüse eşit olur. Alt parçası da ikizkenar dik üçgenden dolayı 1 cm bulunacağından elde edilir.

• 15 -75 -90 Üçgeni Bu üçgende 15°'lik açının karşısındaki kenar 1 cm ise 75°'lik kenarın karşısındaki kenar cm olur. İspatı ise 22, 5 -67, 5 -90 üçgenindeki gibidir. Tek farkı, 75°'lik açının 15° ve 60°'lik açılarara bölünmesidir. Ayrıca bu üçgende hipotenüse indirilen dikme, hipotenüsün katıdır. Kenara Göre Kenarlara göre özel dik üçgenler genelde okullarda soru yazılırken işlem kolaylığı sağlamak amacıyla kullanılır. Bazı özel üçgenler şunlardır: Bu üçgenlerin kenar uzunlukları aynı oranda artırılarak yine uygun dik üçgenler elde edilebilir (örneğin, 3 -4 -5 ve 6 -8 -10).

KAZANIMLAR Üçgenin iki kenar uzunluğunun toplamı veya farkı ile üçüncü kenarının uzunluğu arasındaki ilişkiyi belirler. Dik üçgendeki dar açıların trigonometrik oranlarını belirler. Üçgenlerde benzerlik şartlarını açıklar. Üçgenin kenarları ve açıları arasındaki ilişkileri ispatlar, uygulamalar yapar.

HAZIRLAYAN • ÖZGÜN ULUDAĞ 120403110 İLKÖĞRETİM MAT. ÖĞRT. 2 -B GÜNDÜZ