Esercizi sulla MECCANICA dei FLUIDI MANNA NORMAN 1

Esercizi sulla MECCANICA dei FLUIDI MANNA NORMAN 1

Definizioni preliminari LA DIFFERENZA SOSTANZIALE FRA CORPI SOLIDI, LIQUIDI ED AEREOFORMI (GAS O VAPORI) SONO: 1. UN CORPO SOLIDO HA UN VOLUME ED UNA FORMA PROPRIA 2. UN AEREOFORME NON HA NE’ VOLUME NE’ FORMA PROPRIA 3. UN LIQUIDO POSSIEDE UN SUO VOLUME MA ASSUME LA FORMA DEL RECIPIENTE NEL QUALE E’ CONTENUTO MANNA NORMAN 2

Per i liquidi, in generale, la densità è dappertutto costante e si può vedere che la pressione aumenta linearmente con la profondità. Prendiamo una colonna di liquido di sezione di area A ed altezza h (la risultante delle forze sul piano orizzontale sarà nulla in quanto la colonna considerata si suppone non avere accelerazione in senso orizzontale). La massa di tale colonna liquida è: Alla base della colonna la pressione sarà maggiore di quella alla sommità, perché oltre alla forza di pressione sarà presente il peso della ed il suo peso è: colonna. Indicando con p la pressione sul fondo, la forza verso l'alto esercitata dalla superficie inferiore per bilanciare la forza esercitata dalla parte superiore sarà ( F = p · A ): MANNA NORMAN 3

LEGGE DI STEVINO MANNA NORMAN 4

IL BAROMETRO DI TORRICELLI APPLICANDO la legge di STEVINO PER COSTRUIRE UN BAROMETRO DI TORRICELLI A MERCURIO OCCORRE UN TUBO RETTILINEO CHIUSO AD UNA ESTREMITA’ E COMPLETAMENTE RIEMPITO DI MERCURIO. SI CHIUDA L’ESTREMITA’ LIBERA CON UN DITO E LA SI IMMERGA IN UNA BACINELLA CONTENENTE MERCURIO. TOLTO IL DITO IL MERCURIO SCENDE NEL TUBO DISPOSTO VERTICALMENTE FINO AD UN’ALTEZZA h DI CIRCA 76 cm SOPRA IL LIVELLO DEL MERCURIO CONTENUTO NELLA BACINELLA p 3 ESAMINANDO IL PROBLEMA ALL’EQUILIBRIO POSSIAMO DIRE CHE LA PRESSIONE DEL PUNTO 2 E’ (SE SI TRASCURANO I VAPORI DI MERCURIO) ZERO. I PUNTI 1 E 3 SONO ALLA STESSA QUOTA QUINDI PER PASCAL LA PRESSIONE E’ LA STESSA. QUINDI: MANNA NORMAN 5

UNITA’ DI MISURA DELLA PRESSIONE ATMOSFERICA p=1 atm COINCIDE CON BUONA APPROSSIMAZIONE CON LA PRESSIONE ESERCITATA ALLA BASE DA UNA COLONNA DI MERCURIO ALTA 76 cm Altre unita’ di misura della pressione di uso frequente sono: MANNA NORMAN 6

TRACCIA ESAME: ESERCIZIO APPELLO 8/3/2007 Problema 3 Nell’esperimento di Torricelli per la misura della pressione atmosferica, viene utilizzato come fluido barometrico il mercurio (densità mercurio =13600 kg/m 3). Cosa cambierebbe nell’esperimento se venisse usata l’acqua al posto del mercurio? SOLUZIONE BISOGNA STUDIARE BENE LA TEORIA NON SOLO PER L’ESAME ORALE MA ANCHE PER LO SCRITTO. INFATTI SE UNO STUDENTE HA STUDIATO L’ESPERIMENTO DI TORRICELLI NON HA NESSUNA DIFFICOLTA’ A RISOLVERE QUESTO ESERCIZIO MANNA NORMAN 7

SOLUZIONE SE RIPETIAMO L’ESPERIMENTO DI TORRICELLI UTILIZZANDO UN LIQUIDO DIVERSO RIPETENDO LE STESSE CONSIDERAZIONI ARRIVEREMMO ALLA STESSA FORMULA CAMBIA SOLO IL LIQUIDO UTILIZZATO ACQUA E NON PIU’ MERCURIO MANNA NORMAN 8

SOLUZIONE A QUESTO PUNTO POICHE’ LA PRESSIONE ATMOSFERICA E’ SEMPRE LA STESSA INDIPENDENTEMENTE DA COME LA SI MISURI NELL’EQUAZIONE: L’UNICA INCOGNITA E’ L’ALTEZZA. PRATICAMENTE ABBIAMO ESEGUITO L’ESPERIENZA DI TORRICELLI AL CONTRARIO. NOTA LA PRESSIONE ATMOSFERICAVIAMO L’ALTEZZA DEL LIQUIDO NELLA COLONNINA MANNA NORMAN 9

TRACCIA UN RECIPIENTE CILINDRICO HA UN DIAMETRO INTERNO DI D=10 cm ED E’ INIZIALMENTE RIEMPITO CON ACQUA SINO AD UN ALTEZZA h=20 cm. CALCOLARE IL VOLUME DI OLIO (NON MISCIBILE, ρ=0. 92 g/cm^3) DA VERSARE SULL’ACQUA PERCHE’ SUL FONDO DEL RECIPIENTE SI APPLICHI UNA PRESSIONE INDROSTATICA COMPLESSIVA PARI A p=610^3 Pa. LA SUPERFICE SUPERIORE DEL RECIPIENTE E’ CHIUSA. MANNA NORMAN 10

SOLUZIONE LA SUPERFICE SUPERIORE DEL CILINDRO E’ CHIUSA QUINDI IN QUESTO CASO NON DOBBIAMO CONSIDERARE LA PRESSIONE ATMOSFERICA DOPO AVER LETTO ATTENTAMENTE LA TRACCIA PASSIAMO AL DISEGNO UTILIZZANDO LA LEGGE DI STEVINO ABBIAMO: C B A MANNA NORMAN 11

SOLUZIONE POSSIAMO RISOLVERE QUESTA EQUAZIONE PERCHE’ L’UNICA INCOGNITA E’ L’ALTEZZA DELL’OLIO DOPO AVER FATTO IL CONTROLLO DIMENSIONALE MANNA NORMAN 12

LEGGE DI ARCHIMEDE: UN FLUIDO ESERCITA SU UN CORPO IMMERSO IN ESSO UNA FORZA VERTICALE DIRETTA VERSO L’ALTO, OPPOSTA AL PESO DEL FLUIDO SPOSTATO DAL CORPO UN CORPO IMMERSO IN UN FLUIDO E’ SOGGETTO A DUE FORZE VERTICALI DI VERSI CONTRARI: UNA E’ LA SPINTA DI ARCHIMEDE E L’ALTRA E’ IL PESO DEL CORPO S P MANNA NORMAN 13

a e g sono concordi Il corpo scendera’ sempre nel fluido di moto uniformemente accelerato fino a raggiungere il fondo dove si fermerà Il corpo salira’ sempre nel fluido di moto uniformemente accelerato fin quando raggiunge la superfice dove galleggierà Il corpo resta in equilibrio nel fluido MANNA NORMAN 14

TRACCIA UNA PERSONA DI MASSA m = 78 Kg SALE SU UNA LASTRA DI GHIACCIO CHE GALLEGGIA SOPRA L’ACQUA LIBERA DI UN LAGO. SI CALCOLI LA MASSA MINIMA DEL GHIACCIO NECESSARIA AFFINCHE’ LA PERSONA NON SI BAGNI MANNA NORMAN 15

SOLUZIONE POICHE’ LA DENSITA’ DEL GHIACCIO E’ MINORE DI QUELLA DELL’ACQUA IL GHIACCIO GALLEGGIA. SE UN UOMO SALE SUL GHIACCIO IL SISTEMA NON E’ PIU’ IN EQUILIBRIO. IL SISTEMA GHIACCIO+UOMO TENDERA’ A SCENDERE. QUESTO MOTO SI ARRESTERA’ QUANDO LA SPINTA DI ARCHIMEDE EQUILIBRERA’ IL PESO DEL SISTEMA. LA TRACCIA CI CHIEDE LA MASSA MINIMA DEL GHIACCIO NECESSARIA AFFINCHE’ LA PERSONA NON SI BAGNI. CIOE’ L’EQUILIBRIO SI RAGGIUNGERA’ QUANDO TUTTA LA LASTRA DI GHIACCIO SARA’ IMMERSA NELL’ACQUA (SITUAZIONE LIMITE) S P MANNA NORMAN 16

SOLUZIONE MANNA NORMAN 17

TRACCIA UNA SFERA DI RAGGIO R=10 cm E MASSA M=500 gr, IMERSA IN PARTE IN ACQUA, SOSTIENE CON UN FILO UN CORPO DI VOLUME 5. 210^(-4) m^3 E MASSA m=3 Kg. CALCOLARE LA TENSIONE DEL FILO E IL VOLUME DELLA PARTE DI SFERA CHE EMERGE DALL’ACQUA MANNA NORMAN 18

SOLUZIONE PRIMA COSA: FACCIAMO IL DISEGNO SECONDA COSA: SCEGLIAMO UN SISTEMA DI RIFERIMENTO: IN QUESTO CASO IL MOTO SARA’ UNIDIMENSIONALE TERZA COSA: ORA POSSO FARE IL DIAGRAMMA DEL CORPO LIBERO SUI DUE CORPI SEPARATAMENTE S T P MANNA NORMAN 19

SCOMPONGO NEL MIO SISTEMA DI RIFERIMENTO SCRIVERE LA SECONDA LEGGE IN FORMA VETTORIALE PER IL CORPO A E B DALLA TRACCIA SAPPIAMO CHE IL CORPO B E’ COMPLETAMENTE IMMERSO IN ACQUA MENTRE QUELLO A SOLO IN PARTE QUINDI IL SISTEMA DIVENTA MANNA NORMAN 20

HO UN SISTEMA DI DUE EQUAZIONI IN DUE INCOGNITE: IL VOLUME DEL CORPO A IMMERSO E LA TENSIONE DEL FILO LA TRACCIA MI CHIEDE IL VOLUME DELLA SFERA CHE EMERGE IO HO CALCOLATO IL VOLUME IMMERSO QUINDI MANNA NORMAN 21

TEOREMA DI BERNOULLI: LA SOMMA, DELLA PRESSIONE, DELL’ENERGIA POTENZIALE PER UNITA’DI VOLUME E DELL’ENERGIA CINETICA PER UNITA’ DI VOLUME, E’ COSTANTE IN TUTTI I PUNTI DI UN TUBO DI UN FLUSSO ELEMENTARE DI UN FLUIDO NON VISCOSO, INCOMPRIMIBILE E IN CONDIZIONI DI REGIME MANNA NORMAN 22

TRACCIA UN RECIPIENTE ALTO h 1 0. 5 m E’ POSTO AD UNA QUOTA h 2=2 m. IL RECIPIENTE CONTIENE DEL LIQUIDO FINO ALL’ORLO. IL LIQUIDO FUORIESCE DA UN FORO, DI AREA MOLTO PICCOLA RISPETTO ALL’AREA S DELLA SUPERFICE LIBERA DEL LIQUIDO, PRATICATO SULLA SUPERFICE LATERALE ALL’ALTEZZA DELLA BASE INFERIORE DEL RECIPIENTE. CALCOLARE A CHE DISTANZA DAL CONTENITORE IL LIQUIDO TOCCA IL SUOLO MANNA NORMAN 23

SOLUZIONE SCEGLIAMO UN SISTEMA DI RIFERIMENTO PER PRIMA COSA FACCIAMO IL DISEGNO CARTESIANO IL PROBLEMA SI DIVIDE IN DUE FASI DOBBIAMO: CALCOLARE LA VELOCITA’ DI FUORIUSCITA DEL LIQUIDO CALCOLARE LA DISTANZA ALLA QUALE IL LIQUIDO TOCCA IL SUOLO MANNA NORMAN 24

SOLUZIONE FASE 1(VELOCITA’ DI FUORIUSCITA DEL LIQUIDO) 1 2 POSSIAMO APPLICARE IL TEOREMA DI BERNULLI AD UN TUBO INFINITESIMO DI FLUSSO CHE COLLEGHI LA SUPERFICE LE PRESSIONI E (2) COINCIDONO LIBERA (1) CONINIL(1) GETTO (2) APPENA CON LA PRESSIONE ATMOSFERICA P 0; ALL’USCITA DEL FORO LA VELOCITA’ DEL LIQUIDO IN (1) E’ PRATICAMENTE NULLA PERCHE’ ESSENDO LA SUPERFICE LIBERA MOLTO GRANDE RISPETTO AL FORO IL LIVELLO DEL LIQUIDO SI ABBASSA MOLTO LENTAMENTE MANNA NORMAN QUESTO RISULTATO E’ NOTO ANCHE COME TEOREMA DI TORRICELLI: COME SEMPRE SE LO STUDENTE STUDIA PUO’ RISPARMIARSI UN PO’ DI CONTI 25

SOLUZIONE FASE 2 (DISTANZA DI CADUTA DEL LIQUIDO) LA VELOCITA’ CALCOLATA NELLA FASE PRECEDENTE DIVENTA VELOCITA’ INIZIALE NELLA SECONDA FASE y L’ACQUA DESCRIVERA’ UN MOTO PARABOLICO DEL QUALE CONOSCIAMO IL PUNTO DI PARTENZA E LA VELOCITA’ INIZIALE x COME PIU’ VOLTE RIBADITO NON UTILIZZATE LE FORMULE PRONTE MA RICAVATELE MANNA NORMAN QUANDO L’ACQUA CADRA YF SARA’ NULLO 26

SOLUZIONE FINALE MANNA NORMAN 27