Elektrostatyka RHW t 3 rozdz 22 26 Prawo

Elektrostatyka R/H/W t. 3, rozdz. 22 -26 Prawo Coulomba Pole elektryczne Prawo Gaussa dla pola elektrycznego Elektryczna energia potencjalna Potencjał pola elektrycznego Kondensatory dr hab. inż. Monika Lewandowska

Prawo Coulomba - przykłady Przykład 22. 1 m Znajdź wartość i kierunek wypadkowej siły elektrostatycznej działającej na cząstkę 1 w przypadkach a-c przedstawionych na rysunkach. Ładunki cząstek wynoszą q 1 = +e, q 2 = +2 e, q 3 = q 4 = -2 e. Odległość między cząstkami 1 i 2 wynosi R = 0. 03 m, zaś między cząstkami 1 i 3 oraz 1 i 4 wynosi R/2, q = 60 o. a) b) c) d) Przykład 22. 2 W którym punkcie (poza nieskończenie odległymi) należy umieścić proton w sytuacji przedstawionej na rys. d, aby znajdował się on w stanie równowagi? Czy jest to stan równowagi trwałej czy nietrwałej? Przyjąć q 1 = +8 e, q 2 = -2 e Przykład 22. 4 Jądro żelaza zawiera 26 protonów i ma promień ok. 4 fm. Jaka jest wartość a) elektrostatycznej siły odpychającej, b) siły grawitacji działającej między 2 dwoma protonami znajdującymi się w odległości 4 fm.

Pole elektryczne - przykłady Przykład 23. 2 Znaleźć wypadkowe natężenie pola elektrycznego w punkcie P. Ładunki cząstek wynoszą q 1 = +2 q, q 2 = -2 q, q 3 = -4 q. Odległość każdej cząstki od punktu p wynosi L, zaś kąt a = 30 o. 3

Ładunek punktowy w polu elektrycznym Na cząstkę naładowana umieszczoną w zewnętrznym polu elektrycznym działa siła elektrostatyczna określona wzorem: gdzie q jest ładunkiem cząstki (z uwzględnieniem znaku), a jest natężeniem zewnętrznego pola elektrycznego w punkcie, w którym znajduje się cząstka (natężenie to nie uwzględnia pola wytworzonego przez sama cząstkę) Przykład (Sprawdzian 23. 4) Jak skierowana jest siła elektrostatyczna działająca na elektron pochodząca od pola elektrycznego o natężeniu przedstawionym na rysunku? W którym kierunku elektron będzie przyśpieszał jeśli przed wejściem w obszar pola elektrycznego poruszał się równolegle do osi y? Jeśli elektron początkowo poruszał się w prawo, to czy jego prędkość wzrośnie, zmaleje, czy pozostanie stała? 4

Prawo Gaussa dla pola elektrycznego (I) Powierzchnia Gaussa jest umowną zamkniętą powierzchnią. Może mieć ona dowolny kształt, ale w praktyce jej kształt powinien odpowiadać symetrii zagadnienia. Strumień elektryczny F przenikający przez powierzchnie Gaussa jest proporcjonalny do liczby linii sil pola elektrycznego przechodzących przez tę powierzchnię - wektor powierzchni, o wartości równej polu d. S, skierowany prostopadle na zewnątrz powierzchni Gaussa 5

Prawo Gaussa dla pola elektrycznego (II) Prawo Gaussa określa związek między natężeniem pola elektrycznego w punktach na zamkniętej powierzchni Gaussa i całkowitym ładunkiem zawartym wewnątrz tej powierzchni Przykład Korzystając z prawa Gaussa znaleźć natężenie pola elektrycznego wytworzonego w odległości r od ładunku punktowego q Jest to to samo wyrażenie, które otrzymalibyśmy korzystając z prawa Coulomba. Rys. 24. 8. Sferyczna powierzchnia Gaussa o promieniu r, w której środku Prawo Gaussa jest równoważne prawu znajduje się w ładunek punktowy q Coulomba 6

Elektryczna energia potencjalna Siła elektrostatyczna jest siłą zachowawczą. Zmiana elektrycznej energii potencjalnej ładunku punktowego przy jego przesunięciu z punktu początkowego do punktu końcowego w polu elektrycznym jest równa co do wartości pracy wykonanej przez siłę elektrostatyczną nad tym ładunkiem podczas tego przesunięcia: DEp = Ep konc - Ep pocz = - W Jeśli przyjmiemy, że elektryczna energia potencjalna ładunku w nieskończoności jest równa 0 to energia potencjalna w danym punkcie pola jest równa pracy wykonanej nad ładunkiem punktowym przez siłę elektrostatyczną przy przesunięciu go z nieskończoności do danego punktu: Ep = - W ∞ 7

Elektryczna energia potencjalna Przykład (Sprawdzian 25. 1) Proton porusza się z punktu A do punktu B w jednorodnym polu elektrycznym pokazanym na rysunku. Czy pole elektryczne wykonuje dodatnia, ujemną, czy równą zero pracę na protonem? Czy energia potencjalna protonu wzrasta, nie zmienia się, czy maleje? 8

Potencjał elektryczny jest to energia potencjalna przypadająca na jednostkowy ładunek. Jest właściwością samego tylko pola elektrycznego, którym się zajmujemy (bez względu na obecność w nim naładowanego ciała). Definicja różnicy potencjałów elektrycznych (napięcia): Jeśli przyjmiemy, że potencjał odniesienia w nieskończoności jest równy 0, wtedy możemy zdefiniować potencjał elektryczny w dowolnym punkcie pola jako: Potencjał jest wielkością skalarną Jednostką potencjału jest wolt 1 V = 1 J/C = 1 (kg∙m 2)/(A∙s 3) 9

Obliczanie potencjału na podstawie natężenia pola elektrycznego Jeśli przyjmiemy, że w punkcie końcowym Vkonc = 0, wówczas 10

Obliczanie potencjału na podstawie natężenia pola elektrycznego Przykład (Sprawdzian 25. 2 b) Proton porusza się z punktu A do punktu B w jednorodnym polu elektrycznym pokazanym na rysunku. Czy proton porusza się do punktu o większym czy mniejszym potencjale elektrycznym? 11

Obliczanie potencjału elektrycznego Przykład 25. 2 a Oblicz różnicę potencjałów pomiędzy dwoma punktami odległymi o d leżącymi na jednej linii jednorodnego pola elektrycznego o natężeniu (przez przesunięcie ładunku próbnego q 0 wzdłuż linii pola elektrycznego). Przykład – potencjał pola ładunku punktowego Obliczyć potencjał elektryczny w odległości R od nieruchomej cząstki o ładunku +q względem potencjału zerowego w nieskończoności. 12

Potencjał pola układunków punktowych Wypadkowy potencjał układunków punktowych w danym punkcie możemy obliczyć korzystając z zasady superpozycji: gdzie qi jest wartością i-tego ładunku, a ri jest odległością danego punktu od i -tego ładunku. Suma w powyższym wzorze jest sumą algebraiczną, a nie wektorową, ponieważ potencjał jest wielkością skalarną. Sprawdzian 25. 4 Na rysunku przedstawiono 3 układy, zawierające po 2 protony. Uszereguj te układy według wypadkowego potencjału pola elektrycznego w punkcie P (od największego do najmniejszego) 13

Potencjał pola układunków punktowych Wypadkowy potencjał układunków punktowych w danym punkcie możemy obliczyć korzystając z zasady superpozycji: gdzie qi jest wartością i-tego ładunku, a ri jest odległością danego punktu od i -tego ładunku. Suma w powyższym wzorze jest sumą algebraiczną, a nie wektorową, ponieważ potencjał jest wielkością skalarną. Przykład 25. 3 Oblicz potencjał elektryczny w środku kwadratu, w którego wierzchołkach umieszczone sa ładunki punktowe q 1=+12 n. C, q 2 = -24 n. C, q 3 = +31 n. C, q 4 = +17 n. C. Długość boku kwadratu wynosi d = 1. 3 m. 14

Obliczanie natężenia pola elektrycznego na podstawie potencjału Wektor natężenia pola elektrycznego skierowany jest zgodnie z kierunkiem największego spadku potencjału elektrycznego (przeciwnie do gradientu potencjału elektrycznego) Sprawdzian 25. 6 Na rysunku przedstawiono 3 pary równoległych naładowanych płyt znajdujących się w jednakowej odległości d = 10 cm oraz potencjał każdej płyty. Pole elektryczne pomiędzy płytami jest jednorodne. Określ wartość kierunek i zwrot wektora dla każdego układu. Jak będzie zachowywał się elektron swobodny umieszczony w połowie odległości miedzy płytami? 15

Kondensator to element elektryczny (elektroniczny) służący do magazynowania energii w postaci energii potencjalnej w polu elektrycznym 16

Kondensator płaski Bezwzględną wartość ładunków na okładkach q nazywamy ładunkiem kondensatora (q nie jest całkowitym ładunkiem zgromadzonym w kondensatorze, bo ten wynosi 0) 17

Pojemność elektryczna Ładunek q i różnica potencjałów (napięcie) pomiędzy okładkami kondensatora U są do siebie proporcjonalne Stałą proporcjonalności C nazywamy pojemnością kondensatora. Jej wartość zależy wyłącznie od geometrii kondensatora nie zaś od zgromadzonego ładunku, czy różnicy potencjałów. Pojemność jest miarą ilości ładunku jaki należy umieścić na okładkach aby wytworzyć określoną różnicę potencjałów – im większa pojemność tym więcej potrzeba ładunku. Jednostką pojemności jest farad (F) 1 F = 1 C/V. Farad jest bardzo dużą jednostką, w praktyce używane sa często m. F, n. F, p. F Sprawdzian 26. 1 Jak zmieni się pojemność kondensatora a) jeśli ładunek q wzrośnie dwukrotnie, b) jeśli różnica potencjałów U wzrośnie trzykrotnie? 18

Ładowanie kondensatora Jedną z metod ładowania kondensatora jest umieszczenie go w obwodzie elektrycznym zawierającym źródło prądu. Obwód na rys. 26. 3 jest obwodem otwartym. Jeśli klucz S zostanie zamknięty, obwód zostanie zamknięty i nastąpi przepływ elektronów wzdłuż przewodów. Elektrony z okładki h sa przesuwane przez pole elektryczne do dodatniego bieguna źródła, zaś dokładnie tyle samo elektronów z ujemnego bieguna źródła jest przesuwane na okładkę l kondensatora. W ten sposób okładka l (gromadząc elektrony) staje się naładowana ujemnie, w takim samym stopniu jak okładka h (tracąc elektrony) ładuje się dodatnio. Gdy okładki sa nienaładowane, różnica potencjałów pomiędzy nimi wynosi 0. W miarę ładowania okładek, napięcie pomiędzy nimi wzrasta aż osiągnie wartość różnicy potencjałów między biegunami źródła. Wtedy kondensator staje się całkowicie naładowany i ustaje przepływ elektronów pomiędzy biegunami 19 źródła a okładkami.

Pojemność elektryczna kondensatora płaskiego 1. Zakładamy, ze na okładkach znajduje się ładunek q 2. Korzystając z prawa Gaussa obliczamy odpowiadające temu ładunkowi natężenie pola elektrycznego miedzy okładkami 3. Znając obliczamy różnice potencjałów miedzy okładkami 4. Obliczamy pojemność kondensatora płaskiego Sprawdzian 26. 2 a Jak zmieni sie ładunek zmagazynowany na kondensatorze płaskim naładowanym 20 przez to samo źródło jeśli odległość między okładkami wzrośnie dwukrotnie?

Kondensatory połączone równolegle i szeregowo (a) c) (c) 21

Przykład 26. 2 Oblicz równoważną pojemność układu kondensatorów przedstawionego na rysunku. Przyjmij C 1 = 12 m. F, C 2 = 5, 3 m. F, C 3 = 4, 5 m. F. Oblicz ładunek na kondensatorze C 1 , jeżeli napięcie przyłożone do zacisków wejściowych wynosi U = 12, 5 V Przykład 26. 3 Do kondensatora C 1 = 3, 55 m. F przyłożono różnicę potencjałów U 0 = 6, 3 V. Po naładowaniu kondensatora C 1 odłączono źródło i przyłączono nienaładowany kondensator o pojemności C 2 = 8, 95 m. F. Następnie zamknięto klucz S, co spowodowało przepływ ładunków pomiędzy kondensatorami tak długo, aż uzyskały jednakowa różnicę potencjałów U. Oblicz U. 22

Energia zmagazynowana w polu elektrycznym Aby naładować kondensator konieczne jest przenoszenie elektronów z jego jednej okładki na drugą, co wymaga wykonania pracy przez siłę zewnętrzną. W miarę, jak ładunek gromadzi się na okładkach musimy wykonywać coraz większą prace przy przenoszeniu kolejnych elektronów. Praca wykonana podczas ładowania kondensatora zostaje zmagazynowana w postaci elektrycznej energii potencjalnej, Ep, w polu elektrycznym miedzy okładkami. Można odzyskać tę energię przez rozładowanie kondensatora w obwodzie elektrycznym. Załóżmy, ze w pewnej chwili ładunek kondensatora C wynosi q’, a napięcie miedzy jego okładkami wynosi U’ = q’/C. Wówczas, przeniesienie dodatkowego ładunku dq’ wymaga wykonania pracy: Praca potrzebna do przeniesienia całkowitego ładunku kondensatora (q) jest równa: Praca ta zostaje zmagazynowana w kondensatorze jako energia potencjalna Ep 23

Zadanie 25. 24 Płaski kondensator powietrzny o polu powierzchni okładek S = 40 cm 2 i ich odległości d = 1 mm jest naładowany do napięcia U = 600 V. Znajdź a) pojemność tego kondensatora, b) wartość ładunku na każdej okładce, c) energię zmagazynowaną w kondensatorze, d) natężenie pola elektrycznego między okładkami. 24

Pole magnetyczne (t. 3 rozdz. 29) Przykład 29. 1 W komorze pomiarowej wytworzono jednorodne pole magnetyczne o indukcji B = 1. 2 m. T której wektor skierowany jest pionowo do góry. Proton o energii kinetycznej 5. 3 Me. V wpada do tej komory, poruszając się w kierunku poziomym z południa na północ. A) Znajdź wartość, kierunek i zwrot siły Lorentza działającej na proton w komorze? B) Jakie przyspieszenie uzyskuje proton w komorze? Masa protonu wynosi 1. 67∙ 10 -27 kg. C) Oblicz promień toru oraz częstość cyklotronowa dla tego protonu. 25