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Default Prof. Fred Freitas Centro de Informática - CIn Universidade Federal de Pernambuco - UFPE

Roteiro • • • Motivãção Mundo Fechado Circunscrição Lógica Default Lógica Auto-epistêmica

Problemas comuns em KR • Seres humanos têm 2 pernas. • Uma KB deduziria que estes ao lado não são humanos • No cálculo de situações decidir o que não muda eh muito relevante. . . • Há ainda os casos “na fornteira” e os imaginários. . .

Imaginários e “de Fronteira” • Cavalos não têm chifres? • Uma colher não tem dentes?

Mais problemas. . . • x prof(x) ensina(x) teria que ser trocada por • x prof(x) ^ ￢anormal ensina(x) • Isso só da para tratar com NAF ou teríamos que dizer que cada professor é normal! • Normalmente tomamos decisões plausíveis default sem saber (= sem ter conhecimento para tal) • Numa ontologia é preciso decidir o que é genérico (=geralmente verdade com exceções) do que é universal (=sempre verdade)

Variety of Basis for Default Knowledge • Statistical: almost all objects of class C satisfy property P, e. g. , almost all living mammals give birth to live offsprings • Group confidence: all known objects of class C satisfy property P, e. g. , all known giant planet has large satellites • Prototypical: an object which is typical representative of class C satisfies property P, e. g. , a pigeon, a typical bird, can fly • Normality: under normal circumstances, an object of class C satisfies property P, e. g. , a healthy pigeon with both functioning wings can fly • Lack of contrary evidence: e. g. , a person that is talking clearly, walking straight, neither excessively laughing nor behaving aggressively is not drunk • Inertia: an object of class C that satisfies property P at time t, will satisfy it at time t+n unless some event affect it, e. g. , a book on a shelve will remain there until someone take it out or a strong earthquake occurs

Monotonic vs. Non-monotonic Reasoning: Logical Perspective • Monotonic reasoning KB, NK, Q ML (KB |=ML Q) (KB NK |=ML Q) • Non-Monotonic Reasoning (NMR) KB, NK, Q NML (KB |=NML Q) (KB NK | NML Q) also called Defeasible Reasoning

Monotonicidade • Definição fraca: – Se KBi├ H, então KBj├ H – Não perder o que é dedutível • Definição forte: – Se KBi├ H e j>i, – então KBj├ H e KBj KBi – KB só aumenta

Mundo Fechado •

Propriedades de Mundo Fechado •

Consistência • KB ⊭p, se ￢p ∈ KB+. Se ￢q ∈ KB+. e • KB+ ⊆ {( p ∨ q), ￢p, ￢q} KB é inconsistente. • Solução: aplicar a regra so para átomos “sem controvérsia” • Ex: GCWA • KB = KB ∪ {￢p | para as coleções de átomos q 1, …, qn, se KB |= ( p ∨ q 1 ∨. . . ∨ qn), então • KB |= (q 1 ∨. . . ∨ qn)}

Quantificadores e CWA •

Circunscrição •

Circunscrição •

Circunscrição •

Circunscrição: Problema •

Lógica default • Se não conseguimos provar a negação de um predicado, ele é aceito como verdade! • Mas se não inferimos p nem q, – sem inferir q, p é verdade – sem inferir p, q é verdade • Então, não há teoremas, mas extensões

Lógica default • Regras Default: α : β / δ – – pré-requisito α, justificação β, conclusão δ. Ex: Bird(tweety) : Flies(tweety) / Flies(tweety) • Idéia: se não fato em contrário, δ é aceita.

Extensões • E é uma extensão se para toda sentença π, : • π ∈ E sse F ∪ Δ|= π, onde • Δ={δ | α : β / δ ∈ D, α ∈ E, ￢β ∈ E} • D é o conjunto de regras default • Tiram-se conclusões por default.

Extensões • F = {Bird(tweety), Bird(chilly), ￢Flies(chilly)} • D = {Bird(x) ⇒ Flies(x)}. • Única extensão: Δ = Flies(tweety) – tweety é o único t para D em que • Bird(t) ∈ E e ￢Flies(t) ∉ E. • F = {Republican(dick), Quaker(dick)} • D = {Republican(x)⇒￢Pacifist(x), Quaker(x) ⇒ Pacifist(x)}. • E 1 = Pacifist(dick). • E 2 = ￢Pacifist(dick)

Tipos de raciocínio default • Raciocínio crédulo: escolhe uma extensão aleatoriamente, e aceita todas as conclusões derivadas dela • Raciocínio cético: aceita as sentenças comuns a todas as extensões • Regras defaults para evitar conflitos: • ‹ Quaker(x) : Pacifist(x) ^ ￢Republican(x) / Pacifist(x) › • Cuidado com as interações entre as regras!

Lógica auto-epistêmica • Não se pode raciocinar sobre as regras default: • α: β/δ (α∧α’): β/δ e α: β/(δ∨δ’) e ￢δ : β /￢α • Solução: expressar defaults como sentenças modais de crenças • Para cada sentença a, temos Ba • Ba = “Acredita-se que a“ • Ex: ∀x[Bird(x)∧￢B￢Flies(x)].

Lógica auto-epistêmica • • E é uma expansão estável sse: 1. Fechada por raciocínio: se E |= α, então α ∈ E. 2. Introspecção Positiva : se α ∈ E, então Bα ∈ E. 3. Introspecção Negativa : se α ∈ E, então ￢Bα ∈ E.

Lógica auto-epistêmica • Expansão estável (Moore) : • π ∈ E sse KB∪Δ |= π, Δ={Bα | α ∈ E}∪{¬Bα |α ∉E} • Ex: KB = {Bird(chilly), Bird(tweety), (tweety≠ chilly), ￢Flies(chilly), ∀x[Bird(x)∧￢B￢Flies(x) Flies(x)]} • Única expansão estável: Flies(tweety) • Como em lógica default, pode haver mais de uam expansão estável.

Enumeração de Expansões • Obs: Procedimento pode gerar 2**n expansões!

Exemplo de Enumeração • • KB = {Bird(chilly), Bird(tweety), ￢Flies(chilly), [Bird(tweety)∧￢B￢Flies(tweety)], [Bird(chilly)∧￢B￢Flies(chilly)]. 2 fbfs: B￢Flies(tweety) e B￢Flies(chilly) 4 casos e só um satisfaz às condições: B￢Flies(tweety) = ￢TRUE e B￢Flies(chilly) = TRUE KB° tem (Bird(tweety) Flies(tweety)) e deduz Flies(tweety)

Como escolher entre as expansões estáveis? • Definição de Konolige : • Uma expansão estável bem fundamentada é mínima em relação ao conjunto de sentenças sem os Bs. – Só dá margem a uma expansão • Podem ser criadas definições ainda mais fortes. • Ex: equivalência com a definição de extensão de Reiter's em lógica default