Curso de Processamento Digital de Sinais e Imagens

Curso de Processamento Digital de Sinais e Imagens DFT e Sinais Aleatórios Mestrado de Instrumentação do CBPF Profs: Marcelo Portes de Albuquerque e Márcio Portes de Albuquerque A 4 Aula 04

Transformada de Fourier Discreta - DFT • A Transformada de Fourier Discreta tem um papel importante em várias aplicações do PDS – Filtragem linear – Análise de correlação – Análise espectral • Alguns algoritmos para calcular a DFT são muito eficientes • Um algoritmo importante é chamado de FFT porque computa a DFT quando o tamanho N da sequência é uma potência de 2 A 4 2

Transformada de Fourier Discreta - DFT A DFT e algumas de suas propriedades A 4 A 04 3

Transformada de Fourier Discreta - DFT Algumas propriedades da DFT A 4 A 04 4

Transformada de Fourier Discreta - DFT Algumas propriedades da DFT Multiplication of Two DFTs and Circular Convolution A 4 A 04 5

Transformada de Fourier Discreta - DFT Algumas propriedades da DFT Exemplo: Multiplication of Two DFTs and Circular Convolution A 4 A 04 6 6

Transformada de Fourier Discreta - DFT Algumas propriedades da DFT Exemplo ilustrando o cálculo de x 3(n) através da DFT e da IDFT A 4 A 04 7

Transformada de Fourier Discreta - DFT Algumas propriedades da DFT A 4 8

Transformada de Fourier Discreta - DFT Algumas propriedades da DFT A 4 A 04 9

Transformada de Fourier Discreta - DFT Filtragem Linear Baseada na DFT • DFT provides a discrete frequency representation of a Finite Duration sequence • We can explore its use as a computational tool for linear system analysis and for linear filtering • A system with frequency response H( ), when excited with an input signal X( ), possesses an outup spectrum Y( )= H( )X( ) • The output sequence y(n) is determined from its spectrum via the inverse Fourier transform • The DFT allow us a computation of the TF on a digital computer • We will see a computational procedure that serves as an alternative to time domain convolution A 4 10

Transformada de Fourier Discreta - DFT Uso da DFT na Filtragem Linear A 4 A 04 11

Transformada de Fourier Discreta - DFT Exemplo: DFT na Filtragem Linear A 4 A 04 12 12

Transformada de Fourier Discreta - DFT Exemplo: DFT na Filtragem Linear A 4 13

Transformada de Fourier Discreta - DFT Exemplo: DFT na Filtragem Linear A 4 A 04 14

Sinais Aleatórios Fenômenos Aleatórios • Muitos fenômenos físicos encontrados na natureza são caracterizados de forma mais adequada por funções estatísticas – Exemplo: fenômenos meteorológicos como a temperatura do ar e a pressão atmosférica variando aleatóriamente como uma função do tempo • Os sinais aleatórios são modelizados como sinais de duração infinita e energia infinita A 4 15

Sinais Aleatórios Função de Distribuição de Probabilidade • Uma variável aleatória X é uma variável que pode ter valores aleatórios • Uma variável aleatória pode ser pensada como sendo a saída de algum exerimento aleatório • A maneira de especificarmos a probabilidade para os diferentes valores obtidos por uma variável aleatória é através da utilização da função de distribuição de probabilidade F(x) = Pr(X x) • Ou pela função de densidade de probabilidade f(x) = d. F(x) / dx A 4 16

Sinais Aleatórios Função de Distribuição de Probabilidade • A relação inversa da função de densidade de probabilidade f(x) é: x F(x) = - f(u) du • Uma característica evidente da função de densidade de probabilidade é F( ) = - f(u) du = 1 função de densidade de probabilidade função de distribuição de probabilidade A 4 17

Sinais Aleatórios Esperança de uma Variável Aleatória A esperança de uma variável aleatória é definida como sendo a soma de todas os valores que esta pode ter ponderada pela probabilidade destes valores E[X] = - x f(x) dx Esta esperança é tambem chamada de média de X, ou média da distribuição de X ou ainda o primeiro momento de X Isto é definido como sendo o número para o qual X “tende” quando o número de observações aumenta A 4 18

Sinais Aleatórios Valor Médio Quadrático de uma Variável Aleatória Um outro parâmetro estatistico importante que descreve a distribuição de X é o seu valor médio quadrático O valor esperado do quadrado de X é: E[X 2] = - x 2 f(x) dx E[X 2] também é chamado de segundo momento de X O valor RMS (root mean square) de X é a raiz quadrada de E[X 2] A variância de uma variável aleatória é o desvio médio quadrático da variável aleatória de sua média O desvio padrão de uma variável aleatória é a raiz quadrada da variância O valor RMS e o desvio padrão são iguais somente para variáveis aleatórias de média zero A 4 19

Sinais Aleatórios Soma e Produto de Variáveis Aleatórias Outras funções de interesse povêm da soma ou do produto de variáveis aleatórias O valor esperado da soma de variáveis aleatórias é a soma dos valores esperados sendo ou não as variáveis independentes O valor esperado do produto de variáveis aleatória é igual ao produto dos valores esperados somente se as variáveis forem independentes A variância da soma de variáveis aleatórias é a soma das variâncias se as variáveis forem independentes A 4 20

Sinais Aleatórios Correlação Estatística entre Variáveis Aleatórias • Um conceito importante é a correlação estatística entre variáveis aleatórias • A covâriancia é a indicação parcial do nível de realação entre variáveis aleatórias • O termo E[XY] é o segundo momento de X e Y A 4 21

Sinais Aleatórios Covariância Normalizada • A covariância normalizada pelos desvios padrões de X e Y é chamada de coeficiente de correlação • O coeficiente de correlação é a medida do grau de dependência linear entre X e Y • Se X e Y são independentes =0 • Se Y é uma função linear de X, = 1 A 4 22

Sinais Aleatórios Função de Distribuição de Probabilidade Normal e Uniforme A 4 A 04 23

Sinais Aleatórios Processos Aleatórios • Um processo aleatório pode ser pensado como um conjunto (ensemble) de funções no tempo • A notação {x(t)} é um conjunto de funções • Uma função do conjunto é x(t) • O valor observado de uma função em um conjunto no determindado tempo é x(t 1) • A probabilidade de x(t 1) assumir um valor em um intervalo é dada pela função de distribuição de probabilidade • Neste caso a dependencia do tempo é evidenciada F(x 1, t 1 )= Pr[x(t 1) x 1 ] A 4 24

Sinais Aleatórios Processos Aleatórios • As funções de probabilidade são utilizadas na definição do intervalo de amplitude que o processo aleatório pode apresentar • A função de distribuição de probabilidade de segunda ordem é definida como F(x 1, t 1 ; x 2, t 2 )= Pr[x(t 1) x 1 and x(t 2) x 2 ] • Função de distribuição de probabilidade conjunta de ordem superior pode ser estendida usando a formula acima para t 3, t 4, . . . • Entretanto estas funções são raramente utilizadas A 4 25

Sinais Aleatórios Função de Correlação A 4 26

Sinais Aleatórios Processos Estacionários • Processos estacionários são aqueles que as propriedades estatísitcas são invariantes no tempo • Isto implica que a função de densidade de probabilidade do processo F(x 1, t 1) é independente do tempo de observação t 1 • Todos os momento desta distribuição, como por exemplo E[x(t 1)] e E[x 2(t 1)] são constantes • A função de densidade de probabilidade de segunda ordem, neste caso é independente do valor absoluto dos tempos de observação t 1 e t 2, porém é dependente da diferença entre eles A 4 27

Sinais Aleatórios Processos Ergódicos member • Um conceito associado a processos aleatórios e estacionários é a hipotése de ergodicidade • A média dos membros em um determinado tempo pode ser calculada pela média de uma representação em todo tempo • Uma única função representa o todo • Se um função particular do experimento representa estatísticamente o todo, esta deve mostrar em vários pontos no tempo todo o intervalo de amplitude, taxa de variação da amplitude etc. O que também é encontrada dentre todos os membros do experimento A 4 Another member 28

Sinais Aleatórios Exemplo de um Processo Estacionário e Ergódico A 4 A 04 29

Sinais Aleatórios Densidade Espectral de Potência A 4 A 04 30

Sinais Aleatórios Ruído Branco A 4 A 04 31

Resumo • A DFT tem um papel importante no Processamento Digital de Sinais • Vimos que a multiplicação de duas DFTs tem como conseqüência uma convolução circular • Filtragem Linear Baseada na DFT • Apresentamos a função de densidade de probabilidade e a função de distribuição de probabilidade • Introduzimos os conceitos de processos aleatórios, estacionários e ergódicos. • Ruído Branco e sua DSP A 4 32