SINAIS Prof Marcelo de Oliveira Rosa Sinais Funo

SINAIS Prof. Marcelo de Oliveira Rosa

Sinais Função de uma ou mais variáveis que carrega informação sobre um determinado fenômeno � 1 variável �sinal unidimensional � n variáveis � sinal multidimensional Exemplos: � Sinal de voz/fala e sinais biológicos � Sinal de vídeo � Precificação de ações (séries temporais) � Movimentação de máquinas elétricas (vibração)

Sinais Quanto à(s) variável(is) independente(s) � Contínuo (analógico) � Discreto Quanto à amplitude: � Contínuo (analógico) � Discreto Quanto a aleatoriedade em amplitude: � Determinístico � Aleatório (Random)

Sinais Classificação � Depende da discretização ou não da amplitude e da variável independente Geralmente a variável independente será tempo (t) � Casos: Amplitude contínua com tempo contínuo Sinal analógico Amplitude contínua com tempo discreto Amplitude discreta com tempo contínuo Amplitude discreta com tempo discreto Sinal digital

Sinais Para facilitar � Sinais com tempo discreto �Seqüência Amplitude contínua com tempo discreto Amplitude discreta com tempo discreto

Sinais Notações � Tempo contínuo: x(t) = tempo (em segundos) �(t ∈ R) O sinal x(t) é função do tempo t � Tempo discreto: x[n] = instante (adimensional) �(n ∈ Z) A seqüência x[n] é função do instante Reforçando: não existe n = 1, 5, por exemplo. n

Sinais Pode apresentar descontinuidades!!! continuidade está ligada a (t ∈ R) � Existem instante t 0 tal que: �A

Sinais periódicos e não-periódicos � Inclui exponenciais complexas

Sinais periódicos e não-periódicos � x(t) = x(t + T), para todo t ∈ R. é o período “fundamental” do sinal (T ∈ R+) f = 1/T � freqüência “fundamental”. T ω Em Hertz = 2π/T Em radianos/s

Sinais periódicos e não-periódicos � Exemplos: x(t) = cos(300π t + π/3) x(t) = 10 cos(1 G π t) Sinais senoidais puros x(t) = A cos(2 π f 0 t + θ) θ� fase (em radianos) x(t) = 10 e-10 t x(t) = 10 -6 e-1000 t cos(3000 π t – π/2) Sinais exponenciais complexos x(t) = A e-σ0 t [cos(2 π f 0 t) + j sen(2 π f 0 t)] σ0 � constante de amortecimento

Sinais periódicos e não-periódicos � Lembre-se: Relação de Euler e±jωt = cos(ωt) ± j sen(ωt) + cos(ωt) = Re{e±jωt} ± sen(ωt) = Im{e±jωt} Relações trigonométricas sen(a ± b) = sen(a) cos(b) ± sen(b) cos(a ± b) = cos(a) cos(b) ∓ sen(a) sen(b)

Sinais periódicos e não-periódicos � Exemplos/Exercícios

Sinais com descontinuidades/singularidades � Sinais Em com descontinuidades algum t 0: � Representação Chave de fenômenos como: liga-desliga Sinais discretos/digitais Variações lineares Amostragem de sinais contínuos

Sinais com descontinuidades/singularidades � Degrau unitário: unitário Descontinuidade tem t=zero. Formulação consistente com séries e transformadas de Fourier para representação de chaves liga-desliga.

Sinais com descontinuidades/singularidades � Representações Formas Se alternativas do Degrau unitário: ligadas a fenômenos físicos Carecem de rigor formal (teoria de Fourier) excitarem um sistema qualquer Produzem mesmo resultado!!! resultado

Sinais com descontinuidades/singularidades � Degrau unitário Exemplos/Exercícios Demonstre que Degrau unitário formal e suas variações alternativas são equivalentes.

Sinais com descontinuidades/singularidades � Sinal unitário � Indica o sinal de t � Matematicamente: sgn(t) = 2 u(t) – 1 Admite versão alternativa, como u(t)

Sinais com descontinuidades/singularidades � Rampa unitária � Este sinal é definido por:

Sinais com descontinuidades/singularidades � Impulso unitário � Representação gráfica Área = 1 δ(t) t

Sinais com descontinuidades/singularidades � Impulso unitário Derivações importantes: Relação entre sinal impulso e sinal degrau unitário Extração de valor pontual de função genérica

Sinais com descontinuidades/singularidades � Impulso unitário Derivações importantes: Extração de valor pontual de função genérica Propriedade de escala

Sinais com descontinuidades/singularidades � Trem de impulsos Note Período T = T 0 Útil que o trem de impulsos é periódico para representar matematicamente a amostragem. Conversão AD Impossível de criar fisicamente.

Sinais com descontinuidades/singularidades � Pulso retangular unitário � Pulso triangular unitário

Sinais especiais � Sinc unitário Usado na reconstrução de sinais analógicos a partir de seqüências discretas (conversão DA) Gerador do fenômeno de Gibbs Veremos em transformada de Fourier

Sinais especiais � Sinc unitário

Sinais especiais � Sinal de Dirichlet Serve para representação matemática da conversão AD Similaridade com sinc(t) N ímpar �soma infinita de sinc(t) igualmente espaçados. N par �soma alternada de sinc(t) Compare: sinal de Dirichlet �trem de impulsos

Sinais especiais � Sinal de Dirichlet

Sinais pares e ímpares � Equivalente � Sinal a idéia de funções pares e ímpares par: = x*(–t), para todo t ∈ R. Conjugado simétrico x(t) � Sinal ímpar: = – x*(–t), para todo t ∈ R. Conjugado assimétrico x(t) � Todo x(t) = xp(t) + xi(t) Como obter as partes par e ímpar de x(t)?

Sinais pares e ímpares � Exemplos/Exercícios

Sinais Operações básicas � Soma e subtração de sinais � Multiplicação e quociente de sinais Multiplicação � Observações �Modulação importantes: São realizadas ponto-a-ponto Equivalente a operações envolvendo funções Exemplo: w(t) = x(t) op y(t) � op = +, -, *, / w(t 0) = x(t 0) op y(t 0) w(t 1) = x(t 1) op y(t 1). . .

Sinais Operações básicas � Soma e subtração de sinais � Multiplicação e quociente de sinais Exemplos/Exercícios

Sinais Operações básicas � Deslocamento temporal Operação de atraso ou avanço de sinais f(t) = g(t + t 0) �f(t) está adiantado em relação a g(t) h(t) = g(t – t 0) �h(t) está atrasada em relação a g(t) Dado g(t) e t 0 (tempo de atraso/avanço) Exemplos: Efeito Doppler Representação de eco Atraso de propagação em meios de comunicação

Sinais Operações básicas � Deslocamento temporal Exemplos/Exercícios

Sinais Operações básicas � Escala em amplitude h(t) = α g(t) Dado g(t) e α (fator de ganho) Pode representar: Amplificação Atenuação Reflexão

Sinais Operações básicas � Escala em amplitude Exemplos/Exercícios

Sinais Operações básicas � Escala no tempo h(t) = g(t/A) Dado g(t) e A(≠zero) (fator de encolhimento/dilatação) Pode representar: Amplificação Atenuação Reflexão (ou inversão temporal) Disco sendo tocado de trás para frente.

Sinais Operações básicas � Escala em amplitude Exemplos/Exercícios

Sinais Operações básicas � Integração/diferenciação Diferenciação Inclinação de g(t) no instante t. Integração de g(t) Acumulação de g(t) até o instante t qualquer.

Sinais Operações básicas � Integração/diferenciação Diferenciação Filtragem passa-alta Integração Filtragem passa-baixa Genericamente Diferenciação e integração são operações opostas Lembrar da constante de integração por se tratar de sinais de duração infinita.

Sinais Operações básicas � Integração/diferenciação

Sinais Operações básicas � Integração/diferenciação

Sinais Operações básicas � Integração/diferenciação Exemplos/Exercícios

Sinais Energia e Potência de Sinais � Abstração matemática Tentativa de avaliar energia transferida pelo sinal Exemplos: Corrente, fluxo de nêutrons, força aplicada, temperatura � Energia de sinal Calculada para sinais para o qual Ex converge!

Sinais Energia e Potência de Sinais � Potência de sinal Propício para sinais periódicos Para esses, Ex não converge (Ex oscila) Neste caso, T = T 0 (período do sinal)

Sinais Energia e Potência de Sinais � Classe de sinais: Sinais com energia finita Sinais com potência finita Com energia “infinita” Sinais com energia e potência infinitas

Sinais Energia e Potência de Sinais � Exemplos/Exercícios