Cristallographie Gomtrique D ZAKARIA PLAN DU COURS I

Cristallographie Géométrique( D. ZAKARIA) PLAN DU COURS I – INTRODUCTION II – CRISTALLOGRAPHIE GEOMETRIQUE 1 – RESEAU DIRECT OU REEL (R. D. ) 2 – RESEAU RECIPROQUE (R. R. ) 3 – SYMETRIE DU RESEAU CRISTALLIN a – Symétries d’orientation (symétries ponctuelles) b – Symétries de position (symétrie de recouvrement) III – RAYONS X ET PHENOMENE DE DIFFRACTION

Cristallographie Géométrique( D. ZAKARIA) II – CRISTALLOGRAPHIE GEOMETRIQUE Pr. Driss ZAKARIA Vos remarques et suggestions seront les bienvenues « zdriss@hotmail. com »

Cristallographie Géométrique( D. ZAKARIA) 1 – RESEAU DIRECT OU REEL (R. D. ) Matière - Cristallisés - Non cristallisés (Amorphe) - Intermédiaire * Forme cristallisée : Arrangement ordonné des atomes, des ions ou des molécules (sels, métaux, céramiques, …) * Forme non cristallisée : Arrangement non ordonné des éléments (le verre, le bois, le caoutchouc, …) * Forme intermédiaire : Arrangement ordonné dans certaines directions uniquement (les cristaux liquide, )

Cristallographie Géométrique( D. ZAKARIA) a - Cristal D'origine grecque « kruos » (froid) et « stellesoai » (solidifier). Un cristal est constitué par un arrangement ordonné d'atomes, d'ions ou de molécules dans l'espace. RESEAU CRISTALLIN b – Réseau ponctuel B A c b Réseau cristallin bidimensionnel Réseau ponctuel bidimensionnel a a b a Réseaux ponctuels Uni, bi et tridimensionnel Réseau ponctuel = Entité géométrique Un ensemble de nœuds qui se déduisent les un des autres par la translation t : t=ua+vb+wc u, v et w des entiers relatifs a, b et c des vecteurs directeurs du réseau

Cristallographie Géométrique( D. ZAKARIA) c - Maille élémentaire z Réseau ponctuel Nœud Maille c a Repère b y x le plus petit parallélépipède qui permet de reconstruire le réseau par des translations dans les trois directions de l’espace

Cristallographie Géométrique( D. ZAKARIA) z c α β a b y γ x * Maille élémentaire est définie par : - Trois paramètres de longueur a, b et c - Trois paramètres angulaires α, β et γ * Maille élémentaire est simple (primitive) si elle n’est occupée qu’en ses sommets. * Maille élémentaire est multiple si elle est occupée en ses sommets et en d’autres lieux (faces, arêtes ou à l’intérieur).

Cristallographie Géométrique( D. ZAKARIA) d - Motif z c Motif a b y x Elément de base dont la répartition suivant le réseau ponctuel engendre le cristal. Il peut être un atome ou un groupement d’atome

Cristallographie Géométrique( D. ZAKARIA) Exemple récapitulatif : Maille élémentaire Motif (4 triangles) Réseau cristallin bidimensionnel = molécule triangulaire Unité assymétrique

Cristallographie Géométrique( D. ZAKARIA) e - Rangée réticulaire [u v w] (ou direction cristallographique) z [1 1 1 ] [0 2 1 ] c a b y x Toute droite passant par au moins deux nœuds du réseau, elle est notée [u v w] si la distance entre deux nœuds consécutifs de la rangée est donnée par : n = ua+vb+wc Les indices u, v et w sont des entiers premiers entre eux, ils peuvent être déterminés en faisant passer par l’origine une droite qui lui est parallèle, les coordonnées du nœud le plus proche de l’origine constituent les indices de la rangée

Cristallographie Géométrique( D. ZAKARIA) f - Plan réticulaire (h k l) z (3 2 0) (1 1 1) c a b y x Tout plan passant par au moins trois nœuds non colinéaires du réseau, il est désigné par les indices de MILLER h, k et l entiers premiers entre eux représentant les inverses des longueurs numériques découpées par le plan sur les axes de référence. Ces inverses sont multipliés ou divisés par un facteur convenable pour que h, k et l soient des entiers premiers entre eux.

Cristallographie Géométrique( D. ZAKARIA) d 0 1 0 d 1 0 0 (0 1 0) (1 0 0) - A chaque plan réticulaire (h k l) une famille de plans réticulaires (h k l) - dhkl (distance inter-réticulaire) est la plus courte distance entre deux plans réticulaires d’une même famille (h k l). Remarque : Un réseau ponctuel renferme une infinité de familles de plans réticulaires (h k l).

Cristallographie Géométrique( D. ZAKARIA) g - les 7 systèmes cristallins - Un système cristallin est un parallélépipède qui permet par juxtaposition de remplir totalement l’espace. Il n’existe que sept (7) systèmes cristallins. c c c b b a a TRICLINIQUE a b c 90° ORTHORHOMBIQUE a b c = = = 90° MONOCLINIQUE a b c = = 90° PSEUDOMAILLE a c a a a QUADRATIQUE a=b c = = = 90° a RHOMBOEDRIQUE a=b=c = = 90° a a a HEXAGONALE a=b c = = 90° = 120° CUBIQUE a=b=c = = = 90°

Cristallographie Géométrique( D. ZAKARIA) En fonction de la répartition des atomes (ions ou molécules) dans un système cristallin on distingue plusieurs types de réseaux, Réseau simple ou primitif (Mode P) Réseau à faces centrées (Mode F) Réseau centré (Mode I) Réseau à base centrée (Mode C) Pour les 7 systèmes cristallins on dénombre au total 14 réseaux appelés « RESEAUX DE BRAVAIS »

Cristallographie Géométrique( D. ZAKARIA) h - Les 14 réseaux de Bravais Mode P TRICLINIQUE Mode P Mode I Mode C MONOCLINIQUE Mode F Mode P ORTHORHOMBIQUE Mode P HEXAGONALE RHOMBOEDRIQUE Mode P Mode I QUADRATIQUE Mode I CUBIQUE Mode F

Cristallographie Géométrique( D. ZAKARIA) PLAN DU COURS I – INTRODUCTION II – CRISTALLOGRAPHIE GEOMETRIQUE 1 – RESEAU DIRECT OU REEL (R. D. ) 2 – RESEAU RECIPROQUE (R. R. ) 3 – SYMETRIE DU RESEAU CRISTALLIN a – Symétries d’orientation (symétries ponctuelles) b – Symétries de position (symétrie de recouvrement) III – RAYONS X ET PHENOMENE DE DIFFRACTION

Cristallographie Géométrique( D. ZAKARIA) 2 – RESEAU RECIPROQUE (R. R. ) Le réseau réciproque n'a pas de signification physique réelle, mais il est commode pour représenter les familles de plans réticulaires et simplifier certains calculs géométriques. II est quasiment indispensable pour l´interprétation des phénomènes de diffraction (P. P. EWALD - 1921). a – Définition du réseau réciproque : Le réseau réciproque (imaginaire) est défini par les 3 vecteurs de base a*, b*, c* reliés aux vecteurs a , b , c du réseau direct par les relations : a*. a = 1 ; a*. b = 0 ; a*. c = 0 a* au plan (b , c) b*. b = 1 ; b*. a = 0 ; b*. c = 0 b* au plan (c , a) c*. c = l ; c*. a = 0 ; c*. b = 0 c* au plan (a , b)

Cristallographie Géométrique( D. ZAKARIA) Ou bien a* = (b c)/V b* = (c a)/V c* = (a b)/V avec V (volume de la maille direct) = a. (b c) Exemple 1 a*= a. cos<a, a*> c c* a b γ* γ a* b* γ* = - γ

Cristallographie Géométrique( D. ZAKARIA) b – Propriété fondamentale du réseau réciproque : - Le R. R. est une représentation des plans réticulaires du R. D. (chaque nœud du R. R. représente une famille de plan réticulaire (h k l) du R. D. ) - Tout plan (h k l) du R. D. est à la rangée [h k l] du R. R. - La distance interréticulaire dhkl est l’inverse de la longueur du vecteur réciproque r*hkl de coordonnées h k l. dhkl = 1 r*hkl Le R. R. permet de faire le lien entre les figures observées par les techniques de diffraction des rayons X et les plans formés par les atomes dans la structure cristalline.