Sminaire 2 CRISTALLOGRAPHIE Indexation et reprsentation des plans

Séminaire 2 CRISTALLOGRAPHIE Indexation et représentation des plans réticulaires 2011 SGM Auteur : ESNOUF

Introduction Vous êtes autorisé : • A reproduire, distribuer et communiquer, au public, ce

Accès aux autres séminaires 1 - Séminaire « Rappels cristallographie 1 » 2 -

INDEXATION et REPRESENTATION des PLANS RETICULAIRES Plan réticulaire = plan de réseau (plan qui

NON (1 1 0, 5) (221) OUI (2 2 1) h, k, l entiers

Quelques plans simples : z z (100) (010) (100) y x Si cubique :

Quelques plans simples (suite) : z z (110) (-110) y x Si cubique :

Quelques plans simples (suite) : z z (1 -11) (111) y x Si cubique

Q : Comment reconnaître les plans d’une même famille ? R : Ceux qui

AXES Remarque : x 3 wc D[uvw] vb ua x 1 x 2 D

Cas particulier de l’hexagonal (le notation à 4 indices) : (110 ) (1 -10)

Cas particulier de l’hexagonal (suite) : Notations 4 indices : (hkl) (hkil) avec i

Cas particulier de l’hexagonal (suite) : Notations 4 indices directions : (UVW) (uvtw) avec

Changements d’axes ? [uvw] (hkl) (HKL) [UVW] Ancien Nouveau [ ] Matrice si [M]

Changements d’axes (suite) : Soit un vecteur : d’où : ce qui s’écrit :

Tableau d’application : [M] ~ M { { { MT (M) anciens { {

Tableau d’application : [M] M-1 { { { ~ (M-1) nouveaux { { M-1

ESPACE et RESEAU RECIPROQUES Direct Réciproque compatibles avec : Exemple : HEXAGONAL 60° 18

Réseau réciproque PROPRIETES : PROPRIETES 1 - Produit scalaire : Produit scalaire 2 –

Réseau réciproque Soit : Or : D’où : ghkl plan p (hkl) g =

Réseau réciproque 3 – Espace réciproque – Espace de Fourier : Rappel : Notion

Réseau réciproque Soit une fonction tripériodique , qui se développe de la manière suivante

Une application directe : NORMALE à un PLAN (hkl) : 1 - Systèmes à

Normale à un plan (suite) 2 - Système à base hexagonale : 60° En

LES FORMULES USUELLES Les distances interréticulaires 25 © [C. Esnouf], [2011], INSA de Lyon,

LES FORMULES USUELLES Les angles entre plans 26 © [C. Esnouf], [2011], INSA de

LES FORMULES USUELLES Les volumes de maille Séminaire suivant : « Emission, détection, propagation,

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Séminaire 2 CRISTALLOGRAPHIE Indexation et représentation des plans réticulaires 2011 SGM Auteur : ESNOUF Claude CLYM

Introduction Vous êtes autorisé : • A reproduire, distribuer et communiquer, au public, ce document, • A modifier ce document, selon les conditions suivantes : Vous devez indiquer la référence de ce document ainsi que celle de l’ouvrage de référence : ESNOUF Claude. Caractérisation microstructurale des matériaux : Analyse par les rayonnements X et électronique. Lausanne: Presses polytechniques et universitaires romandes, 2011, 596 p. (METIS Lyon Tech) ISBN : 978 -2 -88074 -884 -5. • Vous n'avez pas le droit d'utiliser ces documents à des fins commerciales. • Vous pouvez accédez au format PDF de ce document à l’adresse suivante : http: //docinsa-lyon. fr/polycop/download. php? id=170621&id 2=1 2 © [C. Esnouf], [2011], INSA de Lyon, tous droits réservés

Accès aux autres séminaires 1 - Séminaire « Rappels cristallographie 1 » 2 - Séminaire « Rappels cristallographie 2 » 3 - Séminaire « Emission, détection, propagation, optique des rayons X » 4 - Séminaire « Méthode des poudres en DRX » 5 - Séminaire « Méthodes X rasants et mesure des contraintes » 6 - Séminaire « Emission électronique – Conséquence sur la résolution des microscopes » 7 - Séminaire « Diffraction électronique » 8 - Séminaire « Projection stéréographique » 9 - Séminaire « Imagerie CTEM » 10 - Séminaire « HAADF » 11 - Séminaire « HRTEM » 12 - Séminaire « Ptychographie » 13 - Séminaire « EELS » © [C. Esnouf], [2011], INSA de Lyon, tous droits réservés 3

INDEXATION et REPRESENTATION des PLANS RETICULAIRES Plan réticulaire = plan de réseau (plan qui passe par les nœuds du réseau) Les homologues parallèles et équidistants passent par tous les nœuds du réseau. INDICES DE MILLER : MILLER h, k, l pour représenter les plans, x 3 PLANS u, v, w pour représenter les directions. c/l (111) b/k a/h x 2 x 1 4 © [C. Esnouf], [2011], INSA de Lyon, tous droits réservés.

Quelques plans simples : z z (100) (010) (100) y x Si cubique : (100), (010), (001) sont indiscernables du point de vue de la symétrie : on dit qu’ils appartiennent à la famille {100} Si quadratique : {100} comprend (100), (010) mais pas (001) etc. . . Le plan hkl est noté (hkl) et par {hkl}, les plans de même symétrie. 6 © [C. Esnouf], [2011], INSA de Lyon, tous droits réservés.

Quelques plans simples (suite) : z z (110) (-110) y x Si cubique : (110), (-110), (011), (01 -1), (101), (-101) (et leurs opposés) appartiennent à la famille {110}, Si quadratique : seuls (110), (-110) (et leurs opposés) appartiennent à la famille {110}. 7 © [C. Esnouf], [2011], INSA de Lyon, tous droits réservés.

Quelques plans simples (suite) : z z (1 -11) (111) y x Si cubique : (111), (-111), (1 -11), (11 -1), (et leurs opposés) appartiennent à la famille {111}, Si quadratique : (111), (11 -1), (1 -11), (-111) (et leurs opposés) appartiennent à la famille {111}. 8 © [C. Esnouf], [2011], INSA de Lyon, tous droits réservés.

Q : Comment reconnaître les plans d’une même famille ? R : Ceux qui ont la même symétrie et donc la même distance réticulaire, par exemple. Exemple : Cubique {125} {251} {152} . . . . Quadratique {125} {215} {-215} {512} Monoclinique {125} {1 -25} {-125} {12 -5} . . . 9 © [C. Esnouf], [2011], INSA de Lyon, tous droits réservés.

AXES Remarque : x 3 wc D[uvw] vb ua x 1 x 2 D appartient à p si : hu + kv + lw = 0 en toutes bases De même, mais n’a pas pour composantes h, k, l !!!!! 10 © [C. Esnouf], [2011], INSA de Lyon, tous droits réservés.

Cas particulier de l’hexagonal (le notation à 4 indices) : (110 ) (1 -10) (01 -10) (010 A 6 Ajout d’un 4ème axe ) -(x+y) y (1 0) 10 (100) (10 -10) x (100) Plans d’une même famille {100} Plans d’une même famille { 11 © [C. Esnouf], [2011], INSA de Lyon, tous droits réservés.

Cas particulier de l’hexagonal (suite) : Notations 4 indices : (hkl) (hkil) avec i = - (h+k) Par exemple : (125) devient (12 -35) La permutation des 3 premiers indices est autorisée pour les plans d’une même famille (symétrie 6 oblige) : (2 -315) {12 -35} c’est à dire que : ou que : d 2 -315 = d 12 -35 = d-3215 d 2 -35 = d 125 = d-325 12 © [C. Esnouf], [2011], INSA de Lyon, tous droits réservés.

Cas particulier de l’hexagonal (suite) : Notations 4 indices directions : (UVW) (uvtw) avec t = - (u+v) Par exemple : [123] devient [01 -13] Le passage d’une notation à l’autre est résumée par le tableau : 3 indices Directions U = 2 u + v V = 2 v + u W=w 4 indices u = (2 U - V)/3 v = (2 V - U)/3 t = - (u + v) w=W 13 © [C. Esnouf], [2011], INSA de Lyon, tous droits réservés.

Réseau réciproque PROPRIETES : PROPRIETES 1 - Produit scalaire : Produit scalaire 2 – Indices de Miller : Indices de Miller x 3 * c/l lc* DIRECT o H o b/k a/h x 1 RECIPROQUE ha* x 2 p OH = dhkl kb* x 2 * x 1 * 19 © [C. Esnouf], [2011], INSA de Lyon, tous droits réservés.

Réseau réciproque Soit : Or : D’où : ghkl plan p (hkl) g = 1/dhkl (dhkl : distance interréticulaire) R. R. Espace de points Application : Droite [uvw] d’un plan (hkl) est telle que : est à la droite et donc : hu + kv + lw = 0 20 © [C. Esnouf], [2011], INSA de Lyon, tous droits réservés.

Réseau réciproque 3 – Espace réciproque – Espace de Fourier : Rappel : Notion de série de Fourier f(t) = - + F(n). exp(2 pint) T F(n) = t=0 f(t). exp(-2 pint) dt f(t) F(n) T n t Périodique 1/T Discret 21 © [C. Esnouf], [2011], INSA de Lyon, tous droits réservés.

Réseau réciproque Soit une fonction tripériodique , qui se développe de la manière suivante : avec = Transformée de FOURIER (TF) Si est la période dans l’espace des : Si on identifie à un vecteur de l’espace réciproque : * Conclusion : R. R. Espace de Fourier En tout point de l’espace réciproque d’un cristal, est associé un coefficient de FOURIER d’une série à 3 dimensions. Cette série est égale à une fonction décrivant une propriété f( ) de l’espace direct. © [C. Esnouf], [2011], INSA de Lyon, tous droits réservés. 22

Une application directe : NORMALE à un PLAN (hkl) : 1 - Systèmes à bases orthogonales : ( , etc. . ) à une constante près Mais, donc : = [h/a 2, k/b 2, l/c 2] Le cas particulier du système cubique entraîne que la normale à un plan (hkl) s’indexe [hkl]. Exemple du quadratique a = 2 c : Le plan (401) admet pour normale [4/a 2, 0, 4/a 2], c’est à dire : [101]. 23 © [C. Esnouf], [2011], INSA de Lyon, tous droits réservés.

Normale à un plan (suite) 2 - Système à base hexagonale : 60° En notation 4 indices, u = (2 U-V)/3 , . . . , il vient : u = 2(4 h+2 k-2 k-h)/9 a 2 = 2 h/3 a 2 v = 2(4 k+2 h-2 h-k)/9 a 2 = 2 k/3 a 2 w = l/c 2 Finalement, le plan (hkil) prend pour normale : = [h, k, i, 3/2(a/c)2 l] 24 © [C. Esnouf], [2011], INSA de Lyon, tous droits réservés.