Corso di Elettrotecnica Allievi aerospaziali Reti Elettriche Parte

Corso di Elettrotecnica Allievi aerospaziali Reti Elettriche – Parte II Revisione aggiornata al 7 4 2011 (www. elettrotecnica. unina. it)

Circuiti in regime lentamente variabile Analisi dei circuiti in regime sinusoidale

Bipoli elementari lineari

Bipoli resistenza e induttanza

Bipoli capacità e generatori ideali di tensione e di corrente

Esempi di realizzazione del bipolo induttanza La spira γ è attraversata da i(t) che crea B(t); insorge la f. e. m. e(t): φγ è il flusso d’autoinduzione Li. LKT fornisce: v+e=Ri Trascurando R:

Esempi di realizzazione del bipolo induttanza S

Esempio di realizzazione del bipolo capacità Dato il condensatore piano C la LKT fornisce: v-v. C=Ri≈0 C v(t) v=v. C q=cv. C

Realizzazione di generatori di tensione sinusoidale

Richiami sulle funzioni periodiche Si dice periodica una funzione del tempo y=f(t) che assume valori che si ripetono a "intervalli" regolari T. Si ha: Si dice periodo il valore minimo di T (se esiste) che soddisfa tale relazione.

Richiami sulle funzioni periodiche La frequenza è il numero di cicli in un secondo: f=1/T [Hertz] La pulsazione è la quantità: ω=2πf=2π/T [Rad/sec] Si dice valore medio di f(t) nel periodo T la quantità: indipendente da t 0. Se Fm=0, f(t) si dice alternata o alternativa. Si dice valore efficace di f: (valore quadratico medio)

Funzioni periodiche: significato fisico del valore efficace Regime periodico Regime stazionario p=vi=Ri 2 Energia assorbita nell’intervallo T I 2 regimi sono equivalenti se WP=WS P=VI=RI 2

Grandezze sinusoidali AM ampiezza α fase Valore efficace: Se f=50 Hz, T=20 ms, ω=100π rad/s

Richiami sui numeri complessi Rappresentazione geometrica nel piano complesso z è l’affissa complessa di P Rappresentazione algebrica z=x+jy dove j è l’unità immaginaria definita da j 2=-1. x è la parte reale di z y la parte immaginaria z è indicato anche come (x , y). P è l’immagine di z. Gli assi x (asse reale) e y (asse immaginario) contengono le immagini di tutti i numeri reali e puramente immaginari.

Richiami sui numeri complessi Rappresentazione vettoriale di z sul piano complesso Complesso coniugato di z=x+jy: z*=x-jy Modulo di z: Argomento di z (anomalia del vettore OP) ρ e θ sono le coordinate polari di z che si può indicare anche come z=[ρ, θ]

Richiami sui numeri complessi Rappresentazione trigonometrica di z=x+jy: z=ρ(cosθ+jsin θ) Per la formula di Eulero ejθ=cosθ+jsinθ si ha la formulazione esponenziale complessa di z: z=[ρ, θ]= ρ ejθ

Operazioni sui numeri complessi SOMMA

Prodotto di numeri complessi Rappresentazione algebrica Rappresentazione polare

Divisione di numeri complessi Rappresentazione algebrica Rappresentazione polare

I vettori rotanti La grandezza sinusoid. è compiutamente identificata da A, α e ω, come la grandezza: Si ha quindi una corrispondenza biunivoca tra le a(t) e le. Si ha:

I fasori Fissata ω, è compiutamente identificata da A e α, come il fasore definito da: Si ha quindi una corrispondenza biunivoca tra le a(t) nel dominio del tempo ed i fasori nel campo complesso. α

Relazioni di fase tra grandezze sinusoidali b(t) è sfasata in ritardo rispetto ad a(t) dell’angolo φ

Relazioni di fase tra grandezze sinusoidali b(t) è sfasata in anticipo rispetto a a(t) dell’angolo φ

Relazioni di fase tra grandezze sinusoidali a(t) e b(t) sono in fase

Le operazioni sulle grandezze sinusoidali Date dove: O

Prodotto di una grandezza sinusoidale per una costante Date: ed una costante reale k>0, α

Derivata temporale di una grandezza sinusoidale Data α

Prodotto di un fasore per un numero complesso

Prodotto di grandezze sinusoidali

Bipolo resistenza in regime sinusoidale Dominio dei fasori Dominio del tempo impedenza

Bipolo induttanza in regime sinusoidale Dominio dei fasori Dominio del tempo impedenza Reattanza

Bipolo capacità in regime sinusoidale Dominio dei fasori Dominio del tempo Impedenza Reattanza

Bipolo R-L in regime sinusoidale Dominio del tempo LKT Dominio dei fasori

Bipolo R-L in regime sinusoidale Dominio del tempo i(t) costituisce un integrale particolare dell’equazione differenziale φ=arctg(ωL/R)

Bipolo R-L in regime transitorio L’integrale generale dell’equazione differenziale: è dove ip(t) è un integrale particolare e λ è la radice dell’equaz. caratteristica dell’equaz. omogenea associata R+λL=0 (T=L/R costante di tempo) (trascurabile per t>5 T)

Bipolo R-L in regime transitorio Se ad es. R=10 Ω, X=ωL=10 Ω, per f=50 Hz ω=100π rad/s, L=0, 1/π Henry, T=L/R=0, 01/π=3, 18 ms e dopo circa 16 ms il termine transitorio ke-t/T è trascurabile. Per il calcolo di k occorre imporre la condizione iniziale per t=0+. Se I 0=[i(t)]t=0 - essendo i(0+)=i(0 -) si ha: Se il circuito è inizialmente a riposo I 0=0