Corso di Elettrotecnica Allievi aerospaziali Reti Elettriche Parte

Corso di Elettrotecnica Allievi aerospaziali Reti Elettriche – Parte I Revisione aggiornata al 13 -3 -2013 (www. elettrotecnica. unina. it)

Oggetto del corso • Studio delle reti elettriche - reti in regime stazionario - reti in regime lentamente variabile ed in particolare sinusoidale • Elementi di impianti elettrici - il trasformatore - elementi di sicurezza elettrica

Supporti didattici • Giulio Fabricatore: “Elettrotecnica ed applicazioni” Liguori Editore • Appunti integrativi su: - Trasformatore - Esercizi numerici • Slides del corso

Tipologia delle reti elettriche considerate Reti di bipoli Definizione preliminare di bipolo: Oggetto elettrico facente capo a due morsetti terminali A e B, che sono attraversati dalla corrente i e a cui è applicata la tensione v. Si considera il funzionamento dei singoli bipoli “a scatola chiusa”, partendo dalle relazioni tra v ed i.

Richiami preliminari Corrente elettrica, tensione elettrica e forza elettromotrice

La corrente elettrica (di conduzione) Δq carica netta che, nell’intervallo di tempo Δt, transita nel verso diretto dalla sez. A alla sez. B attraverso la sez. S.

Vettore densità di corrente (di conduzione) Il vettore densità di corrente di conduzione da A verso B attraverso la superficie S è definito da:

Corrente elettrica in un conduttore filiforme Definizione di Ampére. In 2 conduttori filiformi, rettilinei, paralleli e indefiniti posti in aria circola la corrente di un A, se tra di essi si esercita una forza pari a 2· 10 -7 N per metro di lunghezza.

Misura della corrente (amperometro ideale) L’amperometro ha 2 morsetti, uno + ed uno Misura della corrente da A verso B. Misura della corrente da B verso A.

Diversi tipi di corrente Corrente nei conduttori metallici, costituita da un flusso di elettroni (e=1. 6· 10 -19 coulomb) (1 coulomb=1 A * 1 sec) Corrente nei conduttori elettrolitici costituiti da un flusso di ioni positivi e negativi

La corrente nei semiconduttori Struttura cristallina del silicio Conduzione di tipo p (positiva) costituita da un flusso di “buchi”

La corrente di spostamento j. S attraverso una superficie S invariata nel tempo ed immersa in un mezzo lineare di costante dielettrica ε è data da: La quantità rappresenta il vettore densità di corrente di spostamento

Un esempio di corrente di spostamento v

La corrente totale La somma della corrente di conduzione i e della corrente di spostamento j. S: itot=i+j. S è detta corrente totale. Il corrispondente vettore densità è solenoidale: Pertanto la somma delle correnti di conduzione i e di spostamento j. S uscenti dalla (o entranti nella) superficie chiusa Σ è nulla.

La tensione elettrica Data una linea ϒ di estremi A e B si dice tensione da A a B lungo ϒ, la quantità che rappresenta il lavoro compiuto dal campo elettrico per spostare l’unità di carica positiva da A a B lungo ϒ. L’unità di misura della tensione è il volt [V]. 1 volt=1 joule/coulomb. (1 coulomb =1 ampére·secondo). Se il campo elettrico è conservativo la tensione è

La tensione elettrica indipendente da γ. Il campo elettrico è dotato di potenziale: La d. d. p. tra A e B può essere formalmente indicata come

Misura della tensione elettrica (voltmetro ideale) Il voltmetro ha 2 morsetti, uno + ed uno Misura della d. d. p. VAB Misura della d. d. p. VBA

Forza elettromotrice Si dice forza elettromotrice (f. e. m. ) agente lungo una linea chiusa orientata γ la quantità scalare algebrica: Essa è diversa da zero solo se non è conservativo sulla linea γ o almeno su di una sua parte e quindi se γ è immersa in tutto o in parte in una regione dello spazio R sede di fenomeni fisici di trasformazione d’energia.

L’esempio della pila (funzionamento a vuoto) Sia KT la forza totale agente sull’unità di carica. dove è il campo elettrostatico creato dalla distribuzione di cariche sugli elettrodi e è il campo di natura

L’esempio della pila (funzionamento a vuoto) elettrochimica presente solo all’interno della soluz. elettrolitica, dove: Nell’aria si ha:

F. e. m derivante dall’induzione elettromagnetica Solenoidalità del vettore induzione magnetica

F. e. m derivante dall’induzione elettromagnetica Flusso concatenato con una linea chiusa orientata γ Per la solenoidalità del vettore induzione magnetica i due integrali di superficie estesi a S 1 e S 2 sono indipendenti dalla superficie purché questa sia orlata da γ. Dati il vettore induzione magnetica ed una linea chiusa orientata γ si definisce pertanto flusso di tale vettore concatenato con γ la quantità: in cui Sγ è una qualsiasi superficie orlata da γ e la normale Sγ è orientata in maniera congruente all’orientazione di γ. a

F. e. m derivante dall’induzione elettromagnetica Flusso concatenato con una linea chiusa orientata γ Congruenza del verso della normale alla superficie S rispetto a quello della linea γ

F. e. m derivante dall’induzione elettromagnetica Legge di Faraday Per effetto della variabilità nel tempo dell’induzione magnetica, nella linea chiusa orientata γ insorge una f. e. m. data da: in cui vale il segno – se il flusso concatenato con γ è calcolato con la stessa orientazione di γ con cui è definita la f. e. m e.

Definizione di bipolo Si definisce bipolo un oggetto elettrico racchiuso da una superficie S, da cui fuoriescano due morsetti A e B; S sia scelta in maniera tale che: 1) i. A=i. B; 2) sia conservativo su S e nelle sue immediate vicinanze; 3) vi sia assenza di forze di natura non elettrica. Il regime di funzionam. è stazionario o lentamente variabile

Esempi di bipoli A B Pila ideale

Esempi di bipoli: la capacità i A v B

Convenzioni dei segni in un bipolo

Potenza assorbita da un conduttore Convenz. utilizzatore Il lavoro d. L secondo la direzione della forza per spostare la carica positiva dq da A a B (lavoro assorbito) è: La potenza corrispond. è pass=vi: tale espressione è esatta in regime staz. ed approssim. in regime lentamente variab.

Tale potenza è erogata dal resto della rete a monte del conduttore e trasferita a questo che la assorbe. Se si considera il lavoro elementare d. L da B ad A, si ha: d. L=-vidt e p=-vi questa potenza, derivante da un lavoro secondo una direzione opposta alla forza, si dice erogata dal conduttore. Se si considera un qualsiasi bipolo e si adopera la convenzione dell’utilizzatore si può dimostrare che continuano a valere le precedenti relazioni: Passorbita=vi Perogata=-vi Se v·i>0 si può dimostrare che una potenza positiva entra nella superficie limite del bipolo utilizzatore.

Potenza erogata o assorbita da un bipolo (convenzione del generatore) Perogata=-vi=vi’ Passorbita=vi=-vi’

Potenza assorbita o erogata da un bipolo Convenzione dell’utilizzatore p assorbita =vi p erogata =-vi Convenzione del generatore p erogata =vi p assorbita =-vi

Misura della potenza La misura della potenza assorbita (o erogata) da un bipolo si fa con il wattmetro, che presenta 2 coppie di morsetti: una coppia amperometrica attraversata da i ed una voltmetrica, cui è applicata v. Ciascuna coppia ha un morsetto +.

I principio di Kirchhoff (Legge di Kirchhoff delle correnti -LKC) Per la definizione di bipolo: In generale: m numero lati confluenti nel nodo

II principio di Kirchhoff (Legge di Kirchhoff delle tensioni -LKT) Per la definizione di bipolo: In generale: m è il numero di lati della maglia

Reti in regime stazionario Analisi delle reti

Caratteristica statica di un bipolo Si dice caratteristica statica di un bipolo la relazione: V=f(I)) che lega la tensione V applicata ai morsetti A e B alla corrente I che lo attraversa in regime stazionario. Due bipoli si dicono equivalenti se hanno la stessa caratteristica

Dipendenza della caratteristica dalle convenz. dei segni di V ed I

Dipendenza della caratteristica dalle convenz. dei segni di V ed I

Classificazione dei bipoli: bipoli lineari e non lineari Si dice lineare un bipolo la cui caratteristica è lineare. Si dice non lineare nel caso contrario

Classificazione dei bipoli: bipoli inerti e bipoli non inerti Si dice inerte un bipolo la cui caratteristica la caratteristica passa per l’origine degli assi. Si dice non inerte nel caso contrario

Classificazione dei bipoli: bipoli passivi Si dice passivo un bipolo per il quale la potenza assorbita è maggiore o eguale a zero. Esso funziona sempre da utilizzatore. V·I≥ 0

Classificazione dei bipoli: bipoli attivi Si dice attivo un bipolo non passivo. In alcune regioni del piano V, I esso funziona da generatore in altre da utilizzatore. V·I>0 V·I≤O V·I≥ 0 Convenzione utilizzatore

Una rete elementare

Bipoli lineari ideali

Bipolo Resistenza G

Potenza assorbita dal bipolo Resistenza Convenzione utilizzatore Pass=V∙I=(R∙I)∙I=R∙I 2; Pass= V 2/R=G V 2. Convenzione generatore Pass=-V∙I=-(-R∙I)∙I=R∙I 2; Pass= V 2/R=G V 2.

Una diversa caratterizzazione del bipolo resistenza Vn , P n 10 V, 20 W 500 V, 50 k. W

Equivalenza di bipoli • Due bipoli si dicono equivalenti se hanno la stessa caratteristica statica

Corrente nei conduttori metallici e=-1. 6· 10 -19 coulomb V=RI

Resistenza reale di un conduttore La resistenza di un conduttore cilindrico di sezione S e lunghezza l è dato da: dove ρ è la resistività variabile con la temperatura T: ρ= ρ0(1+αT) ρ0 resistività a 0 0 C

Generatore ideale di tensione V=E

Generatore ideale di corrente I=J

Corto circuito ideale V=0 Può essere derivato dal bipolo resistenza ponendo R=0 o dal bipolo generatore ideale di tensione ponendo E=0

Aperto ideale I=0 Può essere derivato dal bipolo resistenza ponendo G=0 o dal bipolo generatore ideale di corrente ponendo J=0

Serie e parallelo di bipoli A A B B

Resistenze in serie

Resistenze in parallelo Se n=2 Se

Generatori ideali di tensione in serie e in parallelo E=E 1=E 2 I=I 1+I 2

Equivalenza di bipoli

Equivalenza di bipoli

Equivalenza di bipoli V=E I=J

Bipolo di Thévenin LKT Caratteristica statica

Bipolo di Norton LKC Caratteristica statica

Equivalenza del bipolo di Norton al bipolo di Thévenin Norton Il bipolo di Norton è equivalente al bipolo di Thévenin se:

Generatore reale di tensione Pila reale sotto carico Circuito equivalente A B

Generatore reale di tensione A P B O

Potenza utile erogata dal generatore reale di tensione Potenza utile Il massimo di Pu al variare di Ru si ha se:

Bilancio delle potenze e rendimento LKT

Caduta di tensione nel generatore reale di tensione Caduta di tensione

Parallelo di generatori reali di tensione Ic=0 se E 1=E 2

Una particolarizzazione della LKT per una generica maglia a m lati Generico lato k-esimo

Un esempio

Formule del partitore di tensione Ripartizione della tensione V applicata a 2 resistenze in serie

Formule del partitore di corrente Ripartizione della corrente I tra due resistenze in parallelo

Trasformazioni triangolo-stella e stella-triangolo

Equivalenza di tripoli di resistenze

Condizioni di equivalenza tripoli di resistenze

Condizioni di equivalenza tripoli di resistenze

Condizioni di equivalenza tripoli di resistenze

Equazioni delle trasformazioni triangolo-stella e stella-triangolo Eliminando J dalle equazioni precedenti si ottiene il sistema:

Equazioni delle trasformazioni triangolo-stella e stella-triangolo Trasformazione triangolo-stella Trasformazione stella-triangolo

Un caso particolare

Analisi di una rete elettrica LKT per le maglie 1, 2, 3 1) 2) 3) LKC per il nodo A (o B)

Analisi di una rete elettrica, grafo, albero e coalbero Data una generica rete elettrica di bipoli lineari costituita da l lati e n nodi: Si dice grafo l’insieme costituito da tutti i lati e nodi della rete. Si dice albero il sottoinsieme del grafo costituito da tutti i nodi e da n-1 lati che congiungono tali nodi senza formare maglie chiuse. Il coalbero è l’insieme complementare dell’albero. Esso è costituito da l- (n-1) lati

Esempi di grafi, alberi e coalberi l=3 n=2

Esempi di grafi, alberi e coalberi l=10 n=6

Analisi di reti resistive con sorgenti di tensione Data la generica rete, con l lati ed n nodi: il calcolo delle correnti si effettua risolvendo il sistema di l eq. lineari nelle n incognite Ik costituito da: l-(n-1) LKT n-1 LKC

Un esempio numerico E 1=30 V Sistema risolvente Forma matriciale E 2=60 V Risultato I 1=0 I 2=1, 5 A I 3=1, 5 A

Una rete con sorgenti di tensione e di corrente E 1=30 V I 1=-0, 25 A J=2 A I 2=1, 75 A

Analisi di reti con sorgenti di tensione e di corrente Data la generica rete, con sorgenti di tensione e di corrente, con n nodi ed l lati (l è definito non considerando i lati contenenti i generatori di corrente in cui la corrente è nota), il calcolo delle l correnti incognite Ik si effettua risolvendo il sistema di l eq. lineari, linearmente indipendenti costituito da: l-(n-1) LKT n-1 LKC

Sovrapposizione degli effetti

Sovrapposizione degli effetti, un esempio numerico E 1=30 V I 1=I’ 1+I” 1=-0, 25 A I 3=I’ 3+I” 3=2 A J=2 A I 2=I’ 2+I” 2=1, 75 A

Le potenze in gioco Potenza erogata da E 1: Pe 1=E 1 I 1=-7, 5 W Potenza erogata da J: Pe. J=VJJ=150 W Potenze assorbite dalle resistenze: PR 1=R 1 I 12=1, 25 W PR 2=R 2 I 22=61, 25 W PR 3=R 2 I 32=80 W Prtot=142, 5 W VJ=75 V

Sovrapposizione degli effetti, un esempio numerico E 1=30 V Req=R 1+R 2//R 3=30 Ω I’ 1= 1 A E 2=60 V

Sovrapposizione degli effetti, un esempio numerico Req=R 2+R 1//R 3=30 Ω I 1=I’ 1+I” 1=0 I 2=I’ 2+I” 2=1, 5 A Pe 2=60 x 1, 5=90 W I 3=I’ 3+I” 3=1, 5 A PRtot=20 x 1, 52+20 x 1, 52=90 W

Non applicabilità della sovrapposizione degli effetti al calcolo delle potenze Posto: la potenza Pk assorbita dalla resistenza Rk non è pari alla somma di P’k e P”k; infatti:

Principio di conservazione delle potenze elettriche Ipotesi: La stessa convenzione dei segni su tutti gli l lati della rete. Siano P 1, . . Pi, …Pn gli n nodi della rete Tesi Somma parziale relativa al nodo Pi Generico bipolo costituente il k-esimo lato della rete

Una formulaz. del principio di conservazione nelle reti lineari La somma delle potenze erogate dai generatori di tensione e di corrente è eguale alla somma delle potenze assorbite dalle resistenze

Un corollario dei principi di Kirchhoff Ipotesi Nel generico nodo P’ confluiscono solo bipoli passivi Tesi Tra i nodi contigui esiste almeno un nodo P” a potenziale U≥U(P’) e almeno uno a potenziale U≤U(P’). Da questo corollario scaturisce il principio di non amplificazione delle tensioni. Se I 1, I 2>0 si ha V 1, V 2≥ 0 e U(P” 1)≤U(P’) e U(P” 2)≤U(P’) Se I 3, I 4<0 si ha V 3, V 4 ≤ 0 e U(P” 3) ≥ U(P’) e U(P” 4) ≥ U(P’)

Principio di non amplificazione delle tensioni Tale principio prevede che ai capi dell’unico lato attivo di una rete in regime stazionario, in cui vi siano tutti lati passivi tranne uno, è applicata la tensione massima. Si consideri infatti l’insieme di n elementi costituito dai potenziali degli n nodi della rete. Per il precedente corollario il potenziale dei nodi in cui confluiscono solo lati passivi non può essere né il massimo né il minimo di tale insieme. Conseguentemente i potenziali massimo e minimo devono essere relativi ai nodi posti agli estremi dell’unico lato attivo.

Analisi di reti con sorgenti di tensione e di corrente Data la generica rete con n nodi ed l lati il calcolo delle l correnti incognite Ik si effettua risolvendo il sistema di l eq. lineari, linearmente indipendenti costituito da: l-(n-1) LKT n-1 LKC

Metodo dei potenziali nodali Sostituendo le correnti nelle n-1 LKC: si ha il sistema di n-1 eq. nelle n incognite Upk: Se poniamo eguale a zero il potenziale di uno degli n nodi, si ottiene:

Metodo dei potenziali nodali, la formula di Millmann La LKC fornisce dove:

Formula di Millmann: un esempio numerico E 1=30 V E 2=60 V G 1=G 2=G 3=G=0, 05 Ω-1 I 1=(E 1 -UA)G 1=0 I 2=(E 2 -UA)G 2=1, 5 A I 3=(-UA)G 3=-1, 5 A

Teorema di Thévenin: enunciato Se s’isola un lato AB di una rete lineare, il bipolo a monte dei morsetti A, B è equivalente ad un bipolo di Thévenin, in cui V 0 è la tensione a vuoto tra A e B e Req è la resistenza equivalente dello stesso bipolo reso passivo.

Teorema di Thévenin: dimostrazione

Teorema di Thévenin: dimostrazione

Teorema di Thévenin: una conseguenza

Un esempio numerico E 1=30 V E 2=60 V V Req=R 1//R 2=10 Ω

Teorema di Norton: enunciato Se s’isola un lato AB di una rete lineare, il bipolo a monte dei morsetti A, B è equivalente ad un bipolo di Norton, in cui Icc è la corrente di corto circuito tra A e B e Req è la resistenza equivalente dello stesso bipolo reso passivo.

Teorema di Norton: dimostrazione Caratteristica comune ai bipoli di Thévenin e Norton

Teorema di Norton: una conseguenza

Un esempio numerico E 1=30 V Icc=E 1/R 1+E 2/R 2=4, 5 A E 2=60 V Req=R 1//R 2=10 Ω