Colegio Navarra Puente Alto APOYO GUA 2 GEOMETRA

Colegio Navarra Puente Alto APOYO GUÍA 2 GEOMETRÍA (PARTE 2) Volumen de Cuerpos Geométricos 8° Básico

VOLUMEN DE LOS CILINDROS Como ya vimos el volumen de cualquier prisma se calcula: Área de la base x altura del cuerpo = volumen Para el CILINDRO es lo mismo: Área de la base (círculo) x altura del cuerpo = volumen

VOLUMEN DE UN CILINDRO Recuerda que el signo de multiplicación al usar letras no se escribe, por lo que la operatoria seria: Ab x (h) = Ab · (h) = volumen Área de la base (Ab ) x altura del cilindro (h) = Volumen. _______________________ Pasos para calcular el volumen: 1) Calcular el área del círculo. 2) Multiplicar el resultado del área del círculo por la altura del cilindro.

EJEMPLO: paso a) Recuerda que… V = Ab x h EJEMPLO: Paso a) calcular el área del círculo, puesto que esta es la base del cilindro. Recuerda que π (pi) = 3, 14 A b = π · r 2 = Aunque también puede tener Ab = 3, 14 · 22 = otros valores ej: 3 ó 3, 1416 Ab = 3, 14 · (2 · 2) = (esto dependerá de lo que se nos Ab = 3, 14 · 4 = 12, 56 cm 2 pida) Entonces 12, 56 cm 2 es el área de la base. RADIO: Es la distancia que va desde el centro a cualquier punto del círculo y se simboliza con una letra “r”. DIÁMETRO: Es la distancia que pasa por el centro del círculo y tiene sus puntos extremos en el círculo. Se simboliza con una letra “d” _____________ _ El diámetro y el radio se relaciona puesto que: a) El radio es la mitad del diámetro. b) El diámetro es el doble de un radio. Video de apoyo calcular área de un círculo: https: //www. youtube. com/watch? v=i. Na. LG-o 8 ms. E

EJEMPLO: continuación PASO B) EJEMPLO: Paso a) calcular el área del círculo, puesto que esta es la base del cilindro. Ab = π · r 2 = 2 Ab = 3, 14 · 2 = Ab = 3, 14 · (2 · 2) = Ab = 3, 14 · 4 = 12, 56 cm 2 (esta es el área de la base del cilindro) EJEMPLO: Paso B) Ahora multiplicamos el área de la base de la figura x la altura del cilindro. V = Área basal x altura = V= Ab x h = 12, 56 cm 2 x 7 cm = 87, 92 cm 3 Entonces el volumen del cilindro es: Video de Apoyo volumen de un cilindro https: //www. youtube. com/watch? v=Fh. PK 9 c. Dcn. J 4 87, 92 cm 3 Es decir, cabrían 87, 92 cubitos de 1 cm por lado en el cilindro.

EJERCICIO DE LA GUÍA Desarrollo Ejercicio a) Recuerde que π = 3, 14 Paso a) calcular el área de la base del cilindro. Reemplace los valores para área basal = Ab = π · r 2 = Paso b) Multiplicar el resultado del área basal por la altura Volumen → V = Ab x h *** Este será el resultado del volumen del cilindro. Dibujo Es muy importante dibujar la figura con las medidas correspondientes.

EJERCICIO DE LA GUÍA Recuerda dibujar. Luego de lo anterior debes hacer lo mismo que en el ejercicio anterior. Ejercicio b) Recuerde que π = 3, 14 Paso a) calcular el área de la base del cilindro. Reemplace los valores para área basal = Ab = π· r 2 = Paso b) Multiplicar el resultado del área basal por la altura Volumen → V = Ab x h Ø Cuando dibujes te darás cuenta que la medida dada es el diámetro y no el radio. Ø Como ves en el dibujo el diámetro es el doble del radio. Ø Por lo que tendrá que calcular la mitad de 12 cm para saber el radio. *** este será el resultado del volumen del cilindro.

EJERCICIO DE LA GUÍA Dibuje el cilindro con las medidas Para calcular el área basal: Ahora lo último: a) Se sabe que π = 3, 14, entonces para conocer numéricamente cuanto es el área de la base debes multiplicar: Paso b) Ø Cómo ya tenemos el área de la base (el resultado de 9 x 3, 14). 9 x 3, 14 = ? ? ? (también se puede 3, 14 x 9) El resultado es el área basal Ø Ahora multiplicamos el resultado de la base por la altura (h). Ubique el área de la base y la altura

EJERCICIO DE LA GUÍA ¿Cómo resuelvo si conozco el área lateral y no la altura del cilindro? a) Paso a) calcular el área de la base Ab = π· r 2 (área del círculo). Dibujo y ubico los valores b) Ahora debes recordar que el área de cualquier rectángulo se calcula multiplicando: lado x lado o largo x ancho c) También debo recordar que el lado del rectángulo que rodea el círculo mide lo mismo que el perímetro de ese círculo. Lado del rectángulo que coincide con el contorno del círculo Este lado del rectángulo mide lo mismo que el contorno del círculo puesto que lo rodea. Perímetro del círculo (contorno) Continúa en la siguiente hoja…

EJERCICIO DE LA GUÍA Continuación… d) Para calcular el perímetro del círculo y de esa forma obtener cuanto mide el lado del rectángulo se aplica la siguiente fórmula: 2 Dibujo y ubico los valores πr e) Para el radio sería 4 cm y lo multiplico por el 2 de la fórmula. Es muy importante reserva el número pi (π), puesto que el resultado está expresado como 64π (donde no se multiplicó el valor de π = 3, 14) 2·π· 4=8π 2· π· r= f) Una vez que tengas este resultado (8 π ) sabrás cuanto mide ese lado del rectángulo para luego calcular la altura. Este lado del rectángulo mide lo mismo que el contorno del círculo puesto que lo rodea. ------------- 8 π ----------------- Continua página siguiente….

EJERCICIO DE LA GUÍA Continuación… g) Si ya sé que el lado del rectángulo que coincide con el borde del círculo, entonces ahora debo preguntarme: Dibujo y ubico los valores ------------- 8 π ----------------¿Qué número multiplicado por 8 me da como resultado 64? (este número corresponde a la altura) 8 π x ? ? ? = 64 π h) El número que reemplaza a los signos ? ? ? Será el Este lado del rectángulo mide lo mismo que el contorno del círculo puesto que lo rodea. número de la altura (h) del cilindro. i) Finalmente multiplico el área de la base (resultado del paso “a”) por la altura (resultado del paso “h”). Este resultado corresponde al volumen del cilindro.

EJERCICIO DE LA GUÍA Se resuelve igual que el ejercicio a. Área de la base circular por la altura del cilindro.

EJERCICIO DE LA GUÍA Si ya sabemos que el área de cualquier cuerpo se calcula cómo el área de la base por la altura del cuerpo, entonces: (Siendo “x” un valor desconocido). (Este resultado me lo dieron). x mm · 5 mm = 75 cm 3 (Área basal) (altura) Ø Puedo multiplicar el 5 por 5 que son lo valores que conozco. Ø Teniendo este resultado, puedo ver ¿Qué número multiplicado por ese resultado me da 75 que es el resultado? Ø El número que obtengo es el valor de la medida “x” que me falta.

EJERCICIO DE LA GUÍA Paso a) Calculo el área de la base (π · r 2 ). Recuerda que para este problema el valor de π = 3. b) Una vez que tengo este resultado ordeno mis datos: Área de la base Resultado paso “a” por altura = volumen · x = 240 cm 3 Entonces me pregunto: pregunto ¿Qué número (altura que es la letra “x”) multiplicado por el área de la base (resultado del paso “a”) da como resultado 240 cm 3 (volumen dado)? R: Ese número que obtengo es la altura del cilindro?

EJERCICIO DE LA GUÍA Primero dibujo el prisma para ordenar los datos. Paso a) Calculo el área de la base según el problema está dada (no tengo que calcularla (Ab = 2, 6). b) Ahora que tengo la medida de la altura del prisma (el triple de la arista). Debo calcularlo (observa el dibujo). c) Aplico la fórmula general: Volumen = Área de la base x la altura V = Ab x h

EJERCICIO DE LA GUÍA Primero dibujo el prisma para ordenar los datos. Luego cálculo el área de la base para multiplicarla por la altura (según información del problema) Volumen = Área de la base x la altura V = Ab x h

EJERCICIO DE LA GUÍA Dibujamos el prisma rectangular: Recordemos que el valor de las 3 aristas debemos multiplicarlos (área de la base por la altura): (área de la base) · (altura) = Volumen 1°Arista · 2° Arista · 3° Arista = Volumen a+a por a + a = Volumen (doble) (triple) 2 a · 3 a = 384 cm 3 Entonces tengo que pensar en: Un número (a) que al multiplicarlo por su doble (2 a) y al multiplicarlo por su triple (3 a) me de como resultado 384. Continúa en la siguiente página:

EJERCICIO DE LA GUÍA Dibujamos el prisma rectangular: En la tabla podremos probar valores: ***recuerda que para calcular el doble de un número se multiplica por 2 y para calcular el triple de un número se multiplica por 3. 1° Arista (doble de a) 2° Arista 3° Arista (triple de a) 2 a a 3 a 2 x 2=4 2 3 x 2=6 Operación Volumen 384 cm 3 4 x 2 x 6 = 48 384 cm 3 Como el resultado no es 384, entonces quiere decir que los números no son: 2, 4 y 6. 2 x 3= 3 4 3 x 3= Como los números anteriores no corresponden, entonces pruebo con el 3 y resuelvo como en el caso anterior. 384 cm 3 Si no funcionó el número anterior, entonces hago los cálculos hasta que el resultado sea 384 cm 3

EJERCICIO DE LA GUÍA Pasos para resolver: 1° Dibujo los 3 prismas. 2° Me doy el valor de la medida del área basal (puede ser cualquiera, pero siempre es mejor trabajar con números pequeños (1 o 2 dígitos). Por ejemplo podríamos decir que las tres áreas basales valen 3 cm² o 4 cm² o 5 cm² o el número que uno). 3° Debo asignar una altura para cada uno de los dos primeros prismas (también puede ser cualquier número pequeño para que sea fácil de resolver). 4° Ahora que tengo el área basal y la altura de los dos primeros prismas, cálculo su volumen (multiplicación del área basal por la altura). 4° Ahora que tengo el volumen de los dos primeros prismas, los debo sumar (eso me indican en el problema). 5° La suma de los dos volúmenes anteriores es igual al volumen del 3° prisma. 6° Como ya tengo el área basal del 3° prisma y conozco su volumen (la suma de los dos volúmenes anteriores), entonces puedo buscar la altura viendo que número multiplicado por el área basal me da como resultado ese volumen. 7° Ahora que tengo las 3 alturas de los 3 prismas, entonces veo como se relacionan (si comparten alguna característica o patrón)

EJERCICIO DE LA GUÍA Dibujo el prisma: 1° Las medidas de los catetos, corresponden a los lados del triángulo que están en la base 3° Debo buscar un número que al multiplicarlo por el resultado del área de la base triangular (resultado anterior) me de como resultado 1920. 4° Este número corresponderá a la altura del prisma. 5° Ahora que tengo las medidas de todas las aristas del prisma triangulo puedo calcular el área de cada cara y sumarlas para conseguir el área total del prisma. 2° para calcular el área de la base (triángulo): Base x altura = área basal (triángulo) 2 (24 x 10) = (base por altura): 2 = resuelvo y 2 busco el resultado.

EJERCICIO DE LA GUÍA Dibujo el prisma: 2° Entonces tenemos que descontar estas medidas para calcular la capacidad del contenedor: 20 cm – 4 cm = 16 cm 30 cm – 4 cm = _______ 50 cm – 4 cm = _______ 3° Con estas 3 nuevas medidas podemos calcular la capacidad del contenedor (volumen). 1° Como cada pared tiene 2 cm de espesor, hay que descontarle 4 cm a cada medida, puesto que son 2 cm por dos paredes de la misma medida (la de arriba y la de abajo miden lo mismo, también la de la izquierda y la derecha y la de adelante y la de atrás). Área de la base x altura = volumen.

EJERCICIO DE LA GUÍA 1° Si me fijo en la base del cilindro, está dividido en 4 partes, por lo que me están pidiendo calcular la cuarta parte del cilindro. 4° Si sólo me piden la cuarta parte del cilindro ¿Por cuánto debo dividir el resultado para tener sólo el volumen que me piden? 2° Como tengo el radio del círculo, puedo calcular el área de su base = π r ² (recuerda que π es 3, 14 para reemplazar los valores y el radio está dado). 5° Realizo la división. 3° Una vez teniendo la medida del área del círculo, entonces debo multiplicarla por la altura para saber el volumen del cilindro completo.

EJERCICIO DE LA GUÍA 1° El área de la base es un triángulo, por lo que debo multiplicar el área del triángulo equilátero (que tiene los 3 lados iguales). Cada lado mide 6 cm y su altura mide 5 cm. Aplico la fórmula: base x altura 2 2° El resultado del área de la base la multiplico por la altura del prisma. 3° Recuerde dibujar el prisma armado con las medidas correspondientes.